精品解析：河北省邢台市威县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末七年级数学教学质量检测 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出即可． 【详解】解：， 解得：． 故选：A． 2. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定9的平方根，再根据算术平方根的非负性，找出其中的非负根，进而判断选项． 本题考查了算术平方根，掌握算术平方根是一个数的非负平方根是解题的关键． 【详解】解：∵9的平方根为， 又∵算术平方根是非负数， ∴9的算术平方根是3 故选：A． 3. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 对“神舟二十号”飞船零部件的检查 B. 对七年级入学新生进行传染病筛检 C. 某地汛期来临前对河流大坝安全隐患进行排查 D. 调查某品牌汽车的抗撞击能力 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，抽样调查适用于调查对象数量大、范围广或具有破坏性的情况，而全面调查（普查）适用于对象数量少、要求精确的情况，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．对“神舟二十号”飞船零部件的检查，需全面调查，不符合题意； B．对七年级入学新生进行传染病筛检，适合全面调查，不符合题意； C．某地汛期来临前对河流大坝安全隐患进行排查，需全面调查，不符合题意； D．调查某品牌汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，符合题意； 故选：D． 4. 在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为，体育馆所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据家和体育馆的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则学校所在位置的坐标为， 故选：A． 5. 已知，c是有理数，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质逐一分析选项． 【详解】A、 当时，，不等式不成立，故A错误，不符合题意； B、 由，两边乘以得，再两边加得，与选项B矛盾，故B错误，不符合题意； C、 由，两边同时减去，不等式方向不变，即，故C正确，符合题意； D. 当时，两边除以需改变不等号方向，此时，与选项D矛盾；若则无意义，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，，，平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 某班级举行趣味问答活动，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣2分，要使总得分不低于60分，则至少应该答对几道题？若设答对道题，可得不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题抽象出一元一次不等式，设答对x道题，根据总得分不低于60分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道， 由题意可得：． 故选：C． 8. 若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同解方程组，二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．解决本题的关键是根据题意打乱原方程组，构造新的方程组．由于x、y是两个方程组的公共解，所以适合组中的四个方程．先由方程组求得x、y的值，把x、y的值代入方程组求得n、m的值，最后判断点所在的象限即可． 【详解】解：∵x、y是方程组和的公共解， ∴满足方程组 解这个方程组得 把代入 ， 解得 ∴点在第四象限． 故选D． 9. 嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（ ） A. 4.5 B. 14.23 C. 45 D. 142.3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 10. 已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集， 熟练掌握找不等式组的解集的口诀是解题的关键．根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，再结合不等式组的解集即可得出a的范围． 【详解】解：原不等式组为：， 由可得， ∵不等式组的解集是， ∴． 故选：C 11. 某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设安排个工人做螺杆，个工人做螺母，根据“工厂现有95个工人”和“一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套”列出方程组即可． 【详解】设安排个工人做螺杆，个工人做螺母， 由题意得：，即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组． 12. 嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据图1和图2，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 即每个小长方形的面积为． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点到轴的距离是______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据点到轴的距离就是点的横坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点到轴的距离是2 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离与点坐标的关系，熟练掌握相关基本知识是解题的关键． 14. 在数学实践课上，老师拿出五个边长为1的小正方形摆在桌上，让同学们挑战如何将这些零散的正方形裁剪后重新拼接成一个大正方形．嘉嘉看着桌上的图形，反复比划裁剪的线条，终于成功将图形剪开并拼成了如图2所示的正方形，则拼成的正方形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用；根据总面积保持不变，求出图1的面积即可得到图2中的正方形面积，再根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】解：由题意得：图1的面积为， ∴图2中的正方形面积为， ∴拼成的正方形的边长为， 故答案为：． 15. 如图，这是一种骑椅的简化结构示意图，扶手与底座平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点，，的延长线与交于点．当前支架与后支架正好垂直，且时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为_____． 【答案】##123度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义．由可求得的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， 故答案为：． 16. 按如图所示的程序进行运算，并规定：程序运行到“结果是否大于9”为一次运算，且运算进行两次才停止，则可输入的整数的值是____． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式组解实际问题．根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得：， 解得：． ∴x的整数解是：4，5， 故答案为：4或5． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）无解． 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， ，得：， 解得， 将代入②，得：， 解得， 则方程组的解为； （2）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组无解． 18. 已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数． （1）分别求出，，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，无理数的估算； （1）根据算术平方根和立方根的定义可得，的值，然后估算出和的取值范围，结合题意可得的值； （2）先求出的值，再根据平方根的概念得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∵，， ∴，， 又∵且为整数， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴的平方根为． 19. 如图，，，，求的度数．请完成填空． 解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴______（______）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______°． 【答案】；两直线平行，内错角相等；； ；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质填空即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；； ；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 20. 为落实“每天锻炼一小时”的要求，学校组织1500名学生参与“跃动青春”跳绳比赛．赛后，李老师随机抽取了部分学生，并对其跳绳个数（单位：个，采用百分制换算成绩）进行整理、描述和分析，数据分为五组：A．，B．，C．，D．，E．．下面给出部分信息． a．学生成绩的统计图如图所示． b．D组的成绩：80，81，81，82，83，83，84，85，85，85，86，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题． （1）本次调查采用的方式是______，样本容量是______． （2）请补全频数分布直方图． （3）若成绩不低于85分为优秀，请估计该校学生跳绳成绩达到优秀的人数． 【答案】（1）抽样调查，50 （2）见解析 （3）估计该校学生跳绳成绩达到优秀的人数约有600名． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图的信息关联，利用样本估计总体等知识，注重数形结合，加强条形统计图、扇形统计图的数据关联，是解答本题的关键． （1）根据抽样调查的特点即可作答，结合条形统计图和扇形统计图的数据，利用D组的人数除以其百分比即可求解； （2）先求出C组的人数，再补全图形即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数的占比即可作答． 【小问1详解】 解：通过题意可知，此次是抽样调查， D组的人数为14人， 样本容量：， 故答案为：抽样调查，50； 【小问2详解】 解：D组的人数为14人， C组的人数有（名）． 补全频数分布直方图如下： ； 【小问3详解】 解：． 答：估计该校学生跳绳成绩达到优秀的人数约有600名． 21. 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线射向一个水平镜面后被反射，此时． （1）如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置．若，求证：． 【答案】（1） 解：；理由如下： ， ， ， ， ； （2） 证明：， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据，得出，从而得出，最后根据平行线的判定方法，求出结果即可； （2）根据，求出，根据平行线的判定得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将三角形经过平移后得到三角形，三角形中一点平移后的对应点的坐标为． （1）请画出平移后的三角形，并写出，，的坐标： ， ， ． （2）求出平移后三角形的面积． （3）在轴上有一点，且三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，直接写出满足要求的点的坐标． 【答案】（1） 三角形如图所示： ，，， （2）6 （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了平移、坐标与图形等知识点．根据对应点确定平移规律是解题关键． （1）由点A,可得左右平移规律，由点C，可得上下平移规律； （2）计算出三角形的面积即可； （3）根据三角形面积公式列式得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 ∵三角形中一点平移后的对应点的坐标为， ∴平移规律为： 向右平移个单位长度，向下平移：个单位长度， 进而可得三角形； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵三角形的面积正好是三角形的面积的2倍， ∴， 整理得， 解得：或 故点的坐标为或． 23. 问题情境： 数学活动课上，嘉嘉，淇淇两位同学用一张长方形纸带做折纸游戏．已知长方形纸带的边，将一个含角的三角板按如图所示的方式放置（点始终在边上），将纸片沿折痕折叠，点在上，使点，，在同一条直线上，点，的对应点分别为，． 操作探究： （1）如图1，的度数为______． （2）如图2，将一个含角（）的三角板按如图所示的方式放置（两三角板的直角顶点重合），在三角板绕点旋转的过程中，当时，求的度数． 【答案】（1） （2）的度数为或． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质． （1）利用邻补角的性质求得，再利用折叠的性质得，据此求解即可； （2）分两种情况讨论，当点在直线的上方时，利用平行线的性质求得，进一步计算即可求解；当点在直线的下方时，记直线交于点，同理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点在直线的上方时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当点在直线的下方时，记直线交于点， 同理， ∴， 综上，的度数为或． 24. 随着人工智能的不断普及，AI技术的迭代升级，正孕育一场新的产业变革．以DeepSeek为代表的国产技术正引领世界人工智能新方向，AI浪潮正影响着我们生活的方方面面．某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表： 购买批次 甲型号（单位：台） 乙型号（单位：台） 总费用（单位：万元） 第一次 5 3 90 第二次 3 8 116 已知甲型号服务器每台每月数据处理收益为3.8万元，乙型号服务器每台每月数据处理收益为3.2万元，请根据所列数据解答下列问题： （1）甲、乙两种型号的服务器每台的采购价格各为多少万元？ （2）为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过220万元购买两种服务器共20台（两种服务器均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元．请为该公司设计合理的采购方案． （3）如果公司决定投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现月收益最大化的购买方案及最大收益金额． 【答案】（1）甲型号的服务器每台的采购价格为12万元，乙型号的服务器每台的采购价格为10万元； （2）该公司有3种合理的采购方案：①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台，②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台，③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台； （3）可以实现月收益最大化的购买方案为购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台，最大收益金额为万元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲型号的服务器每台的采购价格为x万元，乙型号的服务器每台的采购价格为y万元，根据具体采购数据表，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲型号的服务器m台，则购买乙型号的服务器台，根据投入总资金不超过220万元，且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式组，解不等式组取正整数值即可； （3）设购买甲型号的服务器a台，购买乙型号的服务器b台，根据投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器，结合（1）的结论，列出二元一次方程，求出正整数解即可，然后代入收益表达式，通过比较求出最大收益及对应的购买方案． 【小问1详解】 解：设甲型号的服务器每台的采购价格为x万元，乙型号的服务器每台的采购价格为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号的服务器每台的采购价格为12万元，乙型号的服务器每台的采购价格为10万元； 【小问2详解】 解：设购买甲型号的服务器m台，则购买乙型号的服务器台， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴或9或10， ∴有3种采购方案： ①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台； ②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台； ③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台； 答：该公司有3种合理的采购方案：①购买甲型号的服务器8台、乙型号的服务器12台，②购买甲型号的服务器9台、乙型号的服务器11台，③购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台； 【小问3详解】 解：设购买甲型号的服务器a台，购买乙型号的服务器b台， 由题意得：， ∴， ∵a、b都为正整数， ∴或或， 当购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台时， 月收益为：（万元）， 当购买甲型号的服务器10台、乙型号的服务器10台时， 月收益为：（万元）， 当购买甲型号的服务器15台、乙型号的服务器4台时， 月收益为：（万元）， ∵， ∴可以实现月收益最大化的购买方案为购买甲型号的服务器5台、乙型号的服务器16台，最大收益金额为万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末七年级数学教学质量检测 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 3. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 对“神舟二十号”飞船零部件的检查 B. 对七年级入学新生进行传染病筛检 C. 某地汛期来临前对河流大坝安全隐患进行排查 D. 调查某品牌汽车的抗撞击能力 4. 在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为，体育馆所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，c是有理数，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某班级举行趣味问答活动，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣2分，要使总得分不低于60分，则至少应该答对几道题？若设答对道题，可得不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（ ） A. 4.5 B. 14.23 C. 45 D. 142.3 10. 已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 12. 嘉嘉在拼图时，发现5个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（如图1）．淇淇也随手用8块同规格的小长方形拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个洞，经测量小洞恰好是边长为的小正方形．根据图中信息，计算出小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点到轴的距离是______. 14. 在数学实践课上，老师拿出五个边长为1的小正方形摆在桌上，让同学们挑战如何将这些零散的正方形裁剪后重新拼接成一个大正方形．嘉嘉看着桌上的图形，反复比划裁剪的线条，终于成功将图形剪开并拼成了如图2所示的正方形，则拼成的正方形的边长为_____． 15. 如图，这是一种骑椅的简化结构示意图，扶手与底座平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点，，的延长线与交于点．当前支架与后支架正好垂直，且时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为_____． 16. 按如图所示的程序进行运算，并规定：程序运行到“结果是否大于9”为一次运算，且运算进行两次才停止，则可输入的整数的值是____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 18. 已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数． （1）分别求出，，的值． （2）求的平方根． 19. 如图，，，，求的度数．请完成填空． 解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴______（______）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______°． 20. 为落实“每天锻炼一小时”的要求，学校组织1500名学生参与“跃动青春”跳绳比赛．赛后，李老师随机抽取了部分学生，并对其跳绳个数（单位：个，采用百分制换算成绩）进行整理、描述和分析，数据分为五组：A．，B．，C．，D．，E．．下面给出部分信息． a．学生成绩的统计图如图所示． b．D组的成绩：80，81，81，82，83，83，84，85，85，85，86，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题． （1）本次调查采用的方式是______，样本容量是______． （2）请补全频数分布直方图． （3）若成绩不低于85分为优秀，请估计该校学生跳绳成绩达到优秀的人数． 21. 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线射向一个水平镜面后被反射，此时． （1）如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置．若，求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将三角形经过平移后得到三角形，三角形中一点平移后的对应点的坐标为． （1）请画出平移后的三角形，并写出，，的坐标： ， ， ． （2）求出平移后三角形的面积． （3）在轴上有一点，且三角形的面积正好是三角形的面积的2倍，直接写出满足要求的点的坐标． 23. 问题情境： 数学活动课上，嘉嘉，淇淇两位同学用一张长方形纸带做折纸游戏．已知长方形纸带的边，将一个含角的三角板按如图所示的方式放置（点始终在边上），将纸片沿折痕折叠，点在上，使点，，在同一条直线上，点，的对应点分别为，． 操作探究： （1）如图1，的度数为______． （2）如图2，将一个含角（）的三角板按如图所示的方式放置（两三角板的直角顶点重合），在三角板绕点旋转的过程中，当时，求的度数． 24. 随着人工智能的不断普及，AI技术的迭代升级，正孕育一场新的产业变革．以DeepSeek为代表的国产技术正引领世界人工智能新方向，AI浪潮正影响着我们生活的方方面面．某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表： 购买批次 甲型号（单位：台） 乙型号（单位：台） 总费用（单位：万元） 第一次 5 3 90 第二次 3 8 116 已知甲型号服务器每台每月数据处理收益为3.8万元，乙型号服务器每台每月数据处理收益为3.2万元，请根据所列数据解答下列问题： （1）甲、乙两种型号的服务器每台的采购价格各为多少万元？ （2）为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过220万元购买两种服务器共20台（两种服务器均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于68.5万元．请为该公司设计合理的采购方案． （3）如果公司决定投入220万元购进甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现月收益最大化的购买方案及最大收益金额． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $