精品解析：山东省东营市垦利区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年第二学期期末质量检测 七年级数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题．90分；全卷共6页． 2．数学答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 若，且，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，当两边同时乘以一个负数时，不等式方向改变，即可求解． 【详解】解：∵若，且， ∴， ∴的值可能是． 故选：B． 2. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则常数的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，熟知方程的解满足方程是关键． 将方程的解代入原方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴， 解得 故选：A 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到∠A=∠D=65°，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠A=∠D=65°， ∴∠C=180°-∠ABC -∠A=35°， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 4. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 同位角相等 B. 若，那么 C. 的立方根是 D. 直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题、平行线的性质、立方根的定义和一次函数图象的平移等知识； 根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项判断即可得解. 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B、若，那么，故原命题是假命题； C、的立方根是，故原命题是真命题； D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题； 故选：C 5. 划船是一项涉及全身的协调运动，正确的划船动作需要保持正确的姿势和体态．如图，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、邻补角，先根据邻补角定义求得，再根据平行线的性质可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 7. 若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 8. 如图，平分，点，是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，则．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是关键．证明，，得到，则，解得，即可得到的度数． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D 9. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键．如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ， ∴在中， 由勾股定理得：， ， 故选：B． 10. 如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. 关于的方程的解是 C. 关于的不等式的解集是 D. 关于的不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知直线与坐标轴交点求方程的解,根据两条直线的交点求不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 运用待定系数法可求出交点坐标和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解． 【详解】解：根据题意，把交点代入一次函数中得， ，解得，， ∴， 把点代入一次函数图象得，， 根据一次函数的图象可得，，故A选项正确，不符合题意； 当时，，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项错误，符合题意； 由图可知，当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果．） 11. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【解析】 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 13. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 求出阴影部分的面积与整个网格的面积之比，即可得出结果． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则：， 故答案为：． 15. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，等边与关于直线l对称，且的边长为3，D为线段上一动点（可与端点重合），连接，则的最小值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）用适当的方法解方程组：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握相关的解题方法是解题的关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）按照解一元一次不等式组的一般步骤求解即可． 【详解】解：， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解是； （2）， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集是． 18. 如图所示的转盘被分成四个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． （1）转动一次转盘，得到的数字恰好是2的概率是___________，得到的数字恰好是负数的概率是___________； （2）写出此情境下的一个不可能事件． 【答案】（1） （2）得到的数字为0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了古典概型概率计算（​）、不可能事件的定义（概率为0的事件，基于样本空间），理解古典概型概率公式是解题的关键． （1）确定标有数字2的扇形数和标有负数的扇形数，根据概率公式即可求解； （2）根据不可能事件概率为0，基于转盘可能数字范围（如）回答即可． 【小问1详解】 解：总共有4个相同扇形，指针随机停止，每个扇形被指中的概率为 ，​ 数字恰好是2的扇形有1个，因此有利事件数为1，概率为​， ​数字恰好是负数有2个（和），因此有利事件数为2，概率为， ​答案​：； 【小问2详解】 解：不可能事件指在转盘转动中绝对不会发生的事件（概率为0），基于转盘可能数字范围（），数字0不在其中，因此“得到的数字为0是一个不可能事件， ​答案​：得到的数字为0（答案不唯一） 19. 如图，，和相交于点，点在上，点在上，连接EF，使． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质： （1）由平行线的性质得到，则可证明，据此可证明； （2）由平行线的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵的长为，BM的长为， ∴， ∴， ∴， ∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】（1）中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． （2）应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．熟练掌握用二元一次方程组解决实际问题的方法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据“辆中级型汽车、辆紧凑型汽车的进价共计万元”和“辆紧凑型汽车比辆中级型汽车的进价少万元”这两个条件，可以列出二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进货单价． （2）首先根据已知条件表示出购进紧凑型汽车的数量为辆．然后根据利润的计算方法，分别表示出中级型汽车和紧凑型汽车每辆的利润，进而得出总利润关于的函数表达式．再根据“购进中级型汽车的数量不低于辆”确定的取值范围．最后根据一次函数的性质，求出的最大值以及此时的值，从而确定购进两种型号汽车的数量． 【小问1详解】 解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 将两式相加得：，解得． 把代入得：，，解得． 答：中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 【小问2详解】 解：购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车． 中级型汽车每辆的利润为万元，紧凑型汽车每辆的利润为万元． ． 因为，且中，随的增大而减小． ∴当时，有最大值，（万元），（辆）． ∴应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 22. 图案设计 活动1：在数学活动课上小明提出利用边长相等的等边三角形和正方形设计出一些图形如图①． 观察上面的图形，填写表格： 正方形个数 1 2 3 4 5 … 三角形个数 4 7 10 13 … 活动2：同学们观察小明的图形后，发现小明的设计有些参差不齐，于是他们动手设计图形，小芳利用等边三角形和正方形设计出自己称心的图形如图②． 小芳为了探究自己设计的图形中正方形和等边三角形个数的关系，也设计如下表格： 正方形个数 4 6 8 10 … 三角形个数 2 4 6 8 … 问题解决：根据以上活动完成下列问题： （1）_____，_____（用含的代数式表示）； （2）直接写出关于（为正整数）的函数关系式； （3）若小明的某个图形比小芳的某个图形的等边三角形多23个，正方形的个数和为100个，求，的值． 【答案】（1）16， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出关于的一次函数关系式即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据“小明的某个图形比小芳的某个图形的等边三角形多23个，正方形的个数和为100个，”建立二元一次方程组求解． 【小问1详解】 解：由表格数据可知：与成一次函数关系， 设， ∵； ∴， 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：16，； 【小问2详解】 解：由表格数据可得：与成一次函数关系， 设， ∵；， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得，， 即， 解得：． 23. 【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末质量检测 七年级数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题．90分；全卷共6页． 2．数学答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 若，且，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 2. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则常数的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 4. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 同位角相等 B. 若，那么 C. 的立方根是 D. 直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象 5. 划船是一项涉及全身的协调运动，正确的划船动作需要保持正确的姿势和体态．如图，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 7. 若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 如图，平分，点，是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点，则．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数与的图象相交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. 关于的方程的解是 C. 关于的不等式的解集是 D. 关于的不等式的解集是 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果．） 11. 不等式的解集是___________． 12. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 13. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为___________． 14. 如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是___________． 15. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是___________． 16. 如图，等边与关于直线l对称，且的边长为3，D为线段上一动点（可与端点重合），连接，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）用适当的方法解方程组：； （2）解不等式组． 18. 如图所示的转盘被分成四个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． （1）转动一次转盘，得到的数字恰好是2的概率是___________，得到的数字恰好是负数的概率是___________； （2）写出此情境下的一个不可能事件． 19. 如图，，和相交于点，点在上，点在上，连接EF，使． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 21. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 22. 图案设计 活动1：在数学活动课上小明提出利用边长相等的等边三角形和正方形设计出一些图形如图①． 观察上面的图形，填写表格： 正方形个数 1 2 3 4 5 … 三角形个数 4 7 10 13 … 活动2：同学们观察小明的图形后，发现小明的设计有些参差不齐，于是他们动手设计图形，小芳利用等边三角形和正方形设计出自己称心的图形如图②． 小芳为了探究自己设计的图形中正方形和等边三角形个数的关系，也设计如下表格： 正方形个数 4 6 8 10 … 三角形个数 2 4 6 8 … 问题解决：根据以上活动完成下列问题： （1）_____，_____（用含的代数式表示）； （2）直接写出关于（为正整数）的函数关系式； （3）若小明的某个图形比小芳的某个图形的等边三角形多23个，正方形的个数和为100个，求，的值． 23. 【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $