精品解析：山东省德州市齐河县2024-2025学年七年级下学期数学期末试题

2024-2025学年度第二学期教学质量检测 七年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分 1. M．C．埃舍尔（M．C．，），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家．他的画被称为“迷惑的图画”，数学是他的艺术之魂．他常借助平移等几何变换进行艺术创作．以下作品中，可以由一个基本图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 了解全班同学每周课余用于阅读的平均时间选择抽样调查 B. 调查超市售卖的樱桃农药残留是否超标，选择全面调查 C. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 选出学校短跑最快的学生参加市运动会，选择全面调查 3. 把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某校有600名七年级学生共同参加每分钟跳绳次数测试，并随机抽取若干名学生成绩统计成频数直方图（如图）．若每分钟跳绳次数达到100次以上（包括100次）的学生成绩为“合格”，则参加测试的学生成绩为“合格”的人数约为（ ） A. 40 B. 160 C. 400 D. 560 6. 若是方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 8. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点到x轴的距离小于到y轴的距离，则实数a满足的条件是（ ） A. B. C. D. 或 10. 已知关于 x、y的方程组，给出下列说法： ①当时，x、y的值都相等； ②当时，x、y的值互为相反数； ③无论a为何值，y的值都不变； ④若，则． 其中说法正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，计20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分 11. 请写出一个整数部分为2的无理数___________． 12. 已知1-6月某品牌产品的月销售量，想预测7月该品牌产品的销售量，最适合采用___________图．（填“扇形”、“折线”或“条形”或“直方”或“趋势”） 13. 点P（m﹣1，m+3）在平面直角坐标系的x轴上，则P点坐标是_____． 14. 如图，在长为，宽为的矩形中，有形状、大小完全相同的个小矩形，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16. （1）计算：； （2）解方程组． 17. 解不等式（组） （1）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组并写出x可取的整数值． 18. 如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： （1）过点画直线，与的另一边相交于点； （2）过点画的垂线段，垂足为点； （3）过点画直线，交于点D； （4）点到直线的距离是线段___________的长度． （5）线段和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 19. 《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 20. 为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告． 【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷 请选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．数字孪生□B．人工智能□C．应用5G□D．工业机器人□E．区块链□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； 【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表 （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？ （4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B，D两场报告，补全此次活动日程表． “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C ① ② 设备检修暂停使用 21. 已知是由经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：______，______，_____． （2）在平面直角坐标系中画出和． （3）求的面积= （4）若轴上点，满足的面积的面积，则点坐标是 22. 某学校计划暑假期间建设一间活动教室．需要采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买3张五人桌和5张两人桌需花费2050元；购买4张五人桌和2张两人桌需花费1800元． （1）求每张五人桌和两人桌的价格． （2）学校根据教室布局，计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元，求至少采购几张两人桌？ （3）在（2）的条件下，活动教室至少要容纳50名学生，求所有满足条件的采购方案． 23. 【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①________（用含t的式子表示）； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小； 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期教学质量检测 七年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分 1. M．C．埃舍尔（M．C．，），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家．他的画被称为“迷惑的图画”，数学是他的艺术之魂．他常借助平移等几何变换进行艺术创作．以下作品中，可以由一个基本图形通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移设计图案，关键是掌握平移的特点．确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，进而可得答案． 【详解】解：A、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意； B、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意； C、能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项符合题意； D、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故此选项不合题意； 故选：C 2. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 了解全班同学每周课余用于阅读的平均时间选择抽样调查 B. 调查超市售卖的樱桃农药残留是否超标，选择全面调查 C. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 选出学校短跑最快的学生参加市运动会，选择全面调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查与全面调查的选择．根据调查对象的范围、重要性和可行性判断：当范围小、需精确结果或涉及安全时用全面调查；当范围大、有破坏性或无需精确时用抽样调查． 【详解】A：全班同学人数较少，全面调查可行且结果更准确，采用抽样调查不合理， B：检测樱桃农药残留具有破坏性，全面调查会损毁所有商品，应选择抽样调查， C：航天设备零件质量关乎安全，必须逐一检查，需全面调查， D：选出全校短跑最快的学生需测试所有候选人，避免遗漏最优者，因此选择全面调查合理，正确． 故选：D． 3. 把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 4. 根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若，则，则选项A不符合题意， 若，则，则选项B不符合题意， 若，则，则选项C不符合题意， 若，则，则选项D符合题意， 故选：D． 5. 某校有600名七年级学生共同参加每分钟跳绳次数测试，并随机抽取若干名学生成绩统计成频数直方图（如图）．若每分钟跳绳次数达到100次以上（包括100次）的学生成绩为“合格”，则参加测试的学生成绩为“合格”的人数约为（ ） A. 40 B. 160 C. 400 D. 560 【答案】C 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中的合格率可得结果． 【详解】解：由图可知，抽取的总人数为（人）， 其中合格人数为（人）， ∴合格率， ∴参加测试的学生成绩为“合格”的人数约为（人）． 故选C． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，用样本估计出成绩为“合格”的人数． 6. 若是方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，解一元一次方程，理解方程的解的概念是解题的关键． 将方程的解代入原方程中，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， 故选：D． 7. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 8. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，如图，延长交于，先证明，再利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A 9. 已知点到x轴的距离小于到y轴的距离，则实数a满足的条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 本题考查的是点的坐标，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键． 【详解】解：点到x轴的距离小于到y轴的距离， ， 解得或 故选：D 10. 已知关于 x、y的方程组，给出下列说法： ①当时，x、y的值都相等； ②当时，x、y的值互为相反数； ③无论a为何值，y的值都不变； ④若，则． 其中说法正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，将每个命题代入方程组中，对各选项进行判断，结合不等式的性质，求a的取值范围即可． 【详解】解：①当时，方程组为， 解得：， x，y的值相等，故①正确； ②当时，方程组为， 解得：， x，y的值互为相反数，故②正确； ③解方程组，得， 无论a为何值，y的值不变，故③正确； ④若，则，，即，故④正确， 综上所述，其中说法正确的有①②③④共4个． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，计20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分 11. 请写出一个整数部分为2的无理数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义以及无理数的估算，解题的关键是掌握无理数估算的方法．设这个无理数为，根据题意可得：，即，即可求解． 【详解】解：设这个无理数为 这个无理数的整数部分为2， ，即， （答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知1-6月某品牌产品的月销售量，想预测7月该品牌产品的销售量，最适合采用___________图．（填“扇形”、“折线”或“条形”或“直方”或“趋势”） 【答案】趋势 【解析】 【分析】本题主要考查各种统计图的特点，关键是要牢记各种统计图的特点． 条形或直方统计图能直观反应数据的最大值和最小值，扇形统计图能直观反应每组数据的比例，折线统计图能直观反应数据的变化趋势，趋势统计图用以反映时间与数量之间的关系，观察变量变化发展的趋势及偏差的统计图。根据各种统计图的特点可作出判断． 【详解】解：已知1-6月某品牌产品的月销售量，想预测7月该品牌产品的销售量，最适合采用趋势统计图． 故答案为：趋势． 13. 点P（m﹣1，m+3）在平面直角坐标系的x轴上，则P点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用在x轴上的点坐标特征解答即可． 【详解】解：由题意，得：m+3＝0，解得m＝﹣3， ∴m﹣1＝﹣4， ∴点P的坐标为（﹣4，0）． 故答案为（﹣4，0）． 【点睛】本题考查了x轴上点的坐标特征，掌握在x轴上的点纵坐标为0的特征是解答本题的关键． 14. 如图，在长为，宽为的矩形中，有形状、大小完全相同的个小矩形，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】45 【解析】 【分析】设小矩形的长为x，宽为y，观察图形可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可求出x、y的值，再利用阴影部分的面积=大矩形的面积-5×小矩形的面积，即可求出答案． 【详解】解：设小矩形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴S阴影=15×12-5xy=180-135=45． 故答案为45． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15. 对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式性质的应用；根据题意得到关于a、b、c的方程组，得到用a的代数式表示的b、c；由b非负求得a的范围，把H用a的代数式表示，利用不等式的性质即可求出H的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； ∵，为非负数， ∴， 即， ∴； ∴ ， ∵， ∴， 即； 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16. （1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算及解二元一次方程组，掌握实数混合运算的计算方法，灵活运用加减消元法是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根和绝对值的性质进行化简，然后计算即可； （2）先整理未知数系数，用加减消元法，先消去，可求出的值，将的值代入①或②，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：得： 得： 得： 解得： 把代入得： 解得： 方程组的解为： 17. 解不等式（组） （1）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组并写出x可取的整数值． 【答案】（1），图见解析 （2）；，，，，，， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的性质进行变形是解不等式的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集以及整数解是解（2）的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，根据解集找出整数解． 【小问1详解】 解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 在数轴上表示为： 【小问2详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为： 可取的整数值为：，，，，，，． 18. 如图，已知点在的一边上．按要求画图并填空： （1）过点画直线，与的另一边相交于点； （2）过点画的垂线段 ，垂足为点； （3）过点画直线，交于点D； （4）点到直线的距离是线段___________的长度． （5）线段 和线段长度的大小关系为：___________，理由：___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4） （5） ＜，垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据要求作出图形即可； （4）因为直线，所以，再根据点到直线的距离的定义，即可解决问题； （5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可． 【小问1详解】 解：直线如图所示： 【小问2详解】 解：的垂线段 如图所示： 【小问3详解】 解：直线如图所示： 【小问4详解】 点到直线的距离是线段的长度 【小问5详解】 解：点A到直线的距离是线段 的长度，因为垂线段最短，所以， 故线段 和线段长度的大小关系为：，理由：垂线段最短． 19. 《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】（1）98cm （2） 不能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为r cm， 得， ∵取3， ∴， 解得（负值已舍去） ∵， ∴， ∴不能够裁出来． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）设绣布的长为，宽为，根据面积公式列式得出，解出，即可作答． （2）设完整的圆形绣布的半径为r cm，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【小问1详解】 解：设绣布的长为，宽为，根据题意， 得 即 ∴ ∵ ∴ ∴绣布的长为28cm，宽为21cm， 周长为（cm） 【小问2详解】 略 20. 为提高学生的网络认知，筹备“工业互联网”研学活动，请专家作主题报告． 【收集数据】为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中下发调查问卷． “工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷 请选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项）． A．数字孪生□B．人工智能□C．应用5G□D．工业机器人□E．区块链□ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； 【做出决策】请合理安排报告，补全活动日程表 （3）学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听B、D的报告学生各有多少？ （4）在确保听取报告的每名学生都有座位的情况下，请你合理安排B，D两场报告，补全此次活动日程表． “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C ① ② 设备检修暂停使用 【答案】（1）40人， 补全条形图如图： （2） （3）90人和180人 （4）由（3）知：聆听B报告学生有90人，聆听D报告学生180人，故安排如下： “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C B D 设备检修暂停使用 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用选择A的学生人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出选择D的学生人数补全条形图即可； （2）用360度乘以选择E的学生人数所占的比例进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （4）根据人数进行合理安排填表即可。 【详解】解：（1）本次调查所抽取的学生人数为：（人）； 选择D的学生人数为：，补全条形图如图： （2）领域“E”对应扇形的圆心角的度数为：； （3）选择聆听B报告学生有：（人）； 选择聆听D报告学生有：（人）； （4）由（3）知：聆听B报告学生有90人，聆听D报告学生180人，故安排如下： “工业互联网”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） E A C B D 设备检修暂停使用 21. 已知是由 经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：______，______，_____． （2）在平面直角坐标系中画出 和． （3）求的面积= （4）若轴上点，满足的面积的面积，则点坐标是 【答案】（1），，； （2）见解析； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （）利用点与的纵坐标得到上下平移的方向与距离，利用点和得到左右平移的方向与距离，然后利用此平移规律求、、的值； （）通过描点得到及'''； （）利用割补法即可求得；平移规律即可求得； （）设点坐标为，根据的面积的面积列方程求解即可得解． 【小问1详解】 解：根据表格数据对应点的坐标可知：；； ∴，，， 故答案为，，； 【小问2详解】 解：∵，，， 如图，和'''为所作； 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：设点坐标为， ∵的面积的面积， ∴， 解得或， ∴点坐标为或． 22. 某学校计划暑假期间建设一间活动教室．需要采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买3张五人桌和5张两人桌需花费2050元；购买4张五人桌和2张两人桌需花费1800元． （1）求每张五人桌和两人桌的价格． （2）学校根据教室布局，计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元，求至少采购几张两人桌？ （3）在（2）的条件下，活动教室至少要容纳50名学生，求所有满足条件的采购方案． 【答案】（1）每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元 （2）至少采购8张两人桌 （3）共有三种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为8个；采购两人桌9张，则采购五人桌为7张；采购两人桌10张，则采购五人桌为6张 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的求解，需由二元一次方程组的解法求出五人桌和两人桌的价格是解决本题的关键． （1）设出未知数，根据五人桌和两人桌花费情况列二元一次方程组，由二元一次方程组的求法求解即可． （2）设采购两人桌张，则可表示出采购五人桌的数量，再由第一问求出的单价，由预算不超过4500元列不等式求解即可． （3）由活动教室至少要容纳50名学生列不等式，结合第二问m的取值范围可得具体m的取值，再根据m的取值求采购方案即可． 【小问1详解】 解：设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元． 由题意可得：，解得 答：每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元． 【小问2详解】 解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， 计划采购16张活动课桌，要求预算不超过4500元， 解得， ∴至少采购8张两人桌． 【小问3详解】 解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， ∵活动教室至少要容纳50名学生， ∴， 解得：， ∴， ∵m取整数，∴或9或10， 当时，， 方案为：采购两人桌8张，则采购五人桌为8个； 当时，， 方案为：采购两人桌9张，则采购五人桌为7张； 当时，， 方案为：采购两人桌10张，则采购五人桌为6张． 23. 【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④． 【问题初探】 （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行． 【问题二探】 （2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①________（用含t的式子表示）； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小； 【问题三探】 （3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】（1）垂直；；（2）①；②画图见解析，；（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行 【解析】 【分析】本题考查垂直判定，一元一次方程的实际应用，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． （1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案；②算出当时，，，再根据，得出，即可求出． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】解：（1）如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵如图④所示：， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直；； （2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②如图为大致图形： 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下： 设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； ②当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图， ∴同理可得， ∴， ∴， 解得：，，（不合题意，舍去）， 综上所述：当为10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $