精品解析：湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2025年上学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷考试时量120分钟，满分120分； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是，“相”的坐标是，则“炮”的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 5. 小明统计了他家今年5月份打电话次数及通话时间,并列出了如下的频数分布表: 通话时间 x/min 0<x≤5 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 频数 (通话次数) 20 16 9 5 则通话时间不超过15 min的频率为(　　) A. 0.1 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.9 6. 若函数的图象过，则关于此函数的叙述不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. C. 函数图象经过原点 D. 函数图象过二、四象限 7. 已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( ) A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF 9. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（　　） A. B. 2 C. 1.5 D. 10. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分） 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 12. 在中，，，，则____ 13. 已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是_____． 14. 已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为___________． 15. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____． 16. 如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为__________． 17. 如图，在中，，，的平分线交于点，，分别是线段和上的动点，则的最小值是_________． 18. 如图，正方形的边长为，，是对角线．将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是______． 三、解答题（本题共8个小题，共计66分） 19. 如图，和中，，，与相交于点O． （1）求证：； （2）是何种三角形？证明你结论． 20. 已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3. （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值； （3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 21. 如图，在中，于点，于点，连接，．求证：． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为_____________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)． (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积； (3)直接写出使函数y＝kx－k值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围． 24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积． 25. 如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 26. 【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 (1)证明：AM=AD+MC； (2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷考试时量120分钟，满分120分； 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 3．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效，请勿折叠答题卡，答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．根据轴对称图形的概念及中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是，“相”的坐标是，则“炮”的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应．根据“士”和“相”的坐标可建立合适的平面直角坐标系，然后得到“炮”的坐标． 【详解】解：根据“士”和“相”的坐标可建立如下图所示的平面直角坐标系： ∴“炮”的坐标为， 故选：B． 3. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B、由，及得，故不是直角三角形； C、由三角形三个角度数和是及解得，故是直角三角形． D、由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； 故选：B． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定和性质，根据其判定方法进行判定即可求解． 【详解】解：A、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； B、对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原选项错误，不符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 5. 小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间,并列出了如下的频数分布表: 通话时间 x/min 0<x≤5 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 频数 (通话次数) 20 16 9 5 则通话时间不超过15 min的频率为(　　) A. 0.1 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率． 【详解】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次， ∴通话时间不超过15min的频率为=0.9， 故选D． 【点睛】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大． 6. 若函数的图象过，则关于此函数的叙述不正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. C. 函数图象经过原点 D. 函数图象过二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】将（2，-3）代入一次函数解析式中，求出一次函数解析式，根据解析式得出一次函数图像与性质即可得出答案． 【详解】将（2，-3）代入中 2k=-3，解得 ∴一次函数的解析式为： A：根据解析式可得y随x的增大而减小，故A选项错误，符合题意； B：，故B选项正确，不符合题意； C：为正比例函数，图像经过原点，故C选项正确，不符合题意； D：根据解析式可得函数图像经过二、四象限，故D选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式以及根据一次函数解析式判断函数的图像与性质． 7. 已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意准确列出不等式组，求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 根据点在坐标系中位置得关于不等式组，解不等式组求得的范围，即可判断． 【详解】解：根据题意，得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( ) A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵EF垂直平分BC， ∴BE=EC，BF=CF； ∵BF=BE， ∴BE=EC=CF=BF； ∴四边形BECF是菱形． 当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠EBC=45°； ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°． ∴菱形BECF是正方形． 故选项A不符合题意． 当CF⊥BF时，利用正方形判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意． 当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意． 当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意． 故选D． 9. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（　　） A. B. 2 C. 1.5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE=，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】连接BE，如图所示： 由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线， ∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝， ∴S△BDE＝2S△BOE＝． ∴DE•AB＝， 又∵AB＝2， ∴DE＝， ∴BE＝ 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝． 故选C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】连接AC，延长CB，过点F作CH⊥CB于点H，则根据题意可得：FH=1，CH=2+3=5， 根据勾股定理可得：CF=， 根据正方形的性质可得：∠CAB=45°，则∠CAF=90°，即△CAF为直角三角形， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AM=. 故选D 【点睛】本题主要考查的就是矩形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，解决本题的关键就是通过构造辅助线将所求的线段转化到直角三角形中.在这个问题中，通过直角三角形的勾股定理求出斜边的长度，然后根据正方形和等腰直角三角形的性质得出直角三角形，最后根据直角三角形的性质得出答案. 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分） 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和与外角和，根据题意，设该多边形的边数为，由题意列方程求解即可得到答案．熟记多边形内角和与外角和是解决问题的关键． 【详解】解：设该多边形的边数为， 这个多边形的内角和为， 多边形的内角和是它的外角和的3倍， ，解得， 故答案为：八． 12. 在中，，，，则____ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中含角所对的直角边等于斜边一半是解题的关键，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：5． 13. 已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是_____． 【答案】（3，﹣5）． 【解析】 【分析】首先根据点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，可得点P的横坐标是3；然后根据到x轴的距离为5，可得点P的纵坐标是﹣5，据此求出点P的坐标是多少即可． 【详解】解：∵点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3， ∴点P的横坐标是3； ∵点P到x轴的距离为5， ∴点P的纵坐标是﹣5， ∴点P的坐标（3，﹣5）； 故答案为（3，﹣5）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，要熟练掌握，解答此题的关键是要确定出点P的横坐标和纵坐标各是多少，并要明确：（1）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（2）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 14. 已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象不经过第二象限是解答此题的关键．由于一次函数的图象不过第二象限，则得到不等式组，然后解不等式即可得m的值． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第二象限， ∴， 解得：，而m是整数， 则或． 故答案为：或． 15. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____． 【答案】（﹣5，4） 【解析】 【分析】首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标. 【详解】解：由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上， ∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2 由菱形邻边相等可得AD=AB=5 在Rt△AOD中，由勾股定理得： OD==4 由菱形对边相等且平行得CD=BA=5 所以C（-5,4）． 故答案为：（﹣5，4）． 【点睛】本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，解题的关键是运用勾股定理求出OD的长． 16. 如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的性质；根据中位线的性质得出，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的中点，， ∴ ∴菱形的周长为， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，的平分线交于点，，分别是线段和上的动点，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，交于点，连接交于点，作，证，即可证明，可得，再证明，可得，即可求得，当与重合时最短，由此即可求解． 【详解】解：作交于点，交于点，连接交于点，作与点， 平分， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， 当B、E、G三点共线且与重合时，最短， 即的最小值为的长， ，， ， 即的最小值是 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证和是解题的关键． 18. 如图，正方形的边长为，，是对角线．将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】首先证明，再求出的度数，推出，由此可以一一判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是由旋转得到， ∴，， 在和中， ∴，故②正确， ∴，， ∴， ∴，同理， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确， ∵，故③正确． ∵，， ∴， ∴， ∴，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型． 三、解答题（本题共8个小题，共计66分） 19. 如图，在和中，，，与相交于点O． （1）求证：； （2）是何种三角形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的判定定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20. 已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3. （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值； （3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】（1）m=3；（2）m=1；（3）m＜﹣ 【解析】 【分析】（1）把原点坐标（0，0）代入函数关系式，即可求得m的值； （2）根据图象平行的一次函数的一次项系数相同即可得到关于m的方程，解出即可； （3）根据一次函数的性质即可得到关于m的不等式，解出即可． 【详解】解：（1）由题意得，，解得：； （2）由题意得，，解得：； （3）由题意得，，． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 21. 如图，在中，于点，于点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先依据ASA判定△ADE≌△CBF，即可得出AE=CF，AE∥CF，进而判定四边形AECF是平行四边形，即可得到AF=CE． 【详解】证明：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F， ∴∠AED=∠CFB=90°， ∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBF， 又∵平行四边形ABCD中，AD=BC， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=CF，∠AED=∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE． 【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质，掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是_____________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为_____________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析，4 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质，熟练掌握“平面直角坐标系的知识”是解本题的关键． （1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （2）根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案； （3）由P为x轴上一点，的面积为4，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵、、． ∴在平面直角坐标系中画出如下； ； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为； 故答案为：； 小问3详解】 解：∵P为x轴上一点，的面积为4， 即， ∴， ∴， ∵， ∴点P的横坐标为：或， ∴P点坐标为：或． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)． (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积； (3)直接写出使函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围． 【答案】（1）y=2x﹣2（2）2（3）x＞2 【解析】 【详解】试题分析：（1）先把A（m，2）代入正比例函数解析式可计算出m=2，然后把A（2，2）代入y=kx﹣k计算出k的值，从而得到一次函数解析式为y=2x﹣2； （2）先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算； （3）观察函数图象得到当x＞2时，直线y=kx﹣k都在y=x的上方，即函数y=kx﹣k的值大于函数y=x的值． 试题解析：（1）把A（m，2）代入y=x得m=2，则点A的坐标为（2，2）， 把A（2，2）代入y=kx﹣k得2k﹣k=2，解得k=2， 所以一次函数解析式为y=2x﹣2； （2）把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2，则B点坐标为（0，﹣2）， 所以S△AOB=×2×2=2； （3）自变量x的取值范围是x＞2． 考点：两条直线相交或平行问题 24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，AE⊥BC，则平行四边形AEFD是矩形； （2）先证明△ABE≌△DCF，得出△ABC是等边三角形，在利用面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）证明： ∵ 菱形ABCD ∴AD∥BC ， AD=BC ∵CF=BE ∴BC=EF ∴AD∥EF，AD=EF ∴四边形AEFD是平行四边形 ∵AE⊥BC ∴∠AEF=90° ∴平行四边形AEFD是矩形 （2）根据题意可知∠ABE=∠DCF,AB=CD,CF=BE ∴△ABE≌△DCF (SAS) ∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积 ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形 AC=4，AO=2，AB=4，由菱形的对角线互相垂直可得BO= 矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积= 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的判定，菱形的性质，解题关键在于先求出AEFD是平行四边形. 25. 如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】（1） （2） （3）周长为40cm；面积为80 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定可得：当时，四边形为矩形，进而可得关于t的方程，即可求解； （2）当时，四边形为菱形，进而可得关于t的方程，即可求解； （3）求出菱形的边长，再计算周长和面积即可． 【小问1详解】 ∵在矩形中，， ∴， 由已知可得，， 在矩形中，， 当时，四边形为矩形， ∴，得， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当，即时，四边形为菱形 即时，四边形为菱形，解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 当时，， 则周长为cm； 面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 26. 【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】 (1)证明：AM=AD+MC； (2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)AM=DE+BM成立，证明见解析；(3)①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不成立． 【解析】 【分析】(1)从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，易证△ADE≌△NCE，得到AD=CN，再证明AM=NM即可； (2)过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，易证△ABF≌△ADE，从而证明AM=FM，即可得证； (3)AM=DE+BM需要四边形ABCD是正方形，故不成立，AM=AD+MC仍然成立． 【详解】(1)延长AE、BC交于点N，如图1(1)， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD//BC， ∴∠DAE=∠ENC， ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE， ∴∠ENC=∠MAE， ∴MA=MN， 在△ADE和△NCE中，， ∴△ADE≌△NCE(AAS)， ∴AD=NC， ∴MA=MN=NC+MC=AD+MC． (2)AM=DE+BM成立． 证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1(2)所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB//DC， ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90°， ∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE， 在△ABF和△ADE中，， ∴△ABF≌△ADE(ASA)， ∴BF=DE，∠F=∠AED， ∵AB//DC， ∴∠AED=∠BAE， ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM， ∴∠F=∠FAM， ∴AM=FM． ∴AM=FB+BM=DE+BM． (3)同(1)可得△ADE≌△NCE(AAS)， ∴结论AM=AD+MC仍然成立． 在(2)中，∵AD≠AB， ∴△ABF与△ADE不全等， ∴无法证明AM=FM， ∴结论AM=DE+BM不成立． 【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判断与性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $