精品解析：山东省济南市莱芜区2022-2023学年八年级数学下册期末模拟测试题

2022-2023八年级数学下册期末综合检测绝密押题 （120分钟，150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最小值是（  ）． A. 6 B. 3 C. -3 D. 0 3. 已知，则把它改写成比例式后，错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为( ) A. 30° B. 22.5° C. 15° D. 45° 6. 如图，正五边形的边长为2，连结对角线，线段分别与和相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知，，则的值为（） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，O是菱形的对角线的交点，分别是的中点，下列结论：①；②四边形是菱形；③是轴对称图形；④，其中不正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ． 12. 在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段AB，则AB的长度等于____________． 13. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是__． 14. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=___． 15. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____． 16. 如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”） 17. 如图，中，为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，t的值为__________． 18. 观察下列各数：0,,3,．那么第10个数应是_________． 三、解答题（共78分） 19. （）计算． （）解方程： ① ②． 20. 如图，在中，平分，交于点E，交于点F．求证：． 21. 一元二次方程． （1）若方程有两实数根，求m的范围． （2）设方程两实根为，，且，求m． 22. 如图，若O是菱形对角线的交点，作交于点E，试判断四边形的形状？请说明理由． 23. 某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元． （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费年平均增长率； （2）按照义务教育法规定，教育经费投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由． （参考数据：，，，） 24. 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：△ABM≌△DCM； （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 25. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB． （1）求证：； （2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，FBC中点，求证：四边形ABFD是菱形． 26. 如图所示，在四边形中，，且分别是的中点，与相交于点M． （1）求证：． （2）若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023八年级数学下册期末综合检测绝密押题 （120分钟，150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法运算，先根据二次根式的性质化简各数，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 故选A． 2. 已知，则的最小值是（  ）． A. 6 B. 3 C. -3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0， ∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根， ∴m＋n＝2a，mn＝2， ∴(m－1)2＋(n－1)2 ＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1 ＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2 ＝4a2－4－4a＋2 ＝4(a－)2－3， ∵a≥2， ∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值， ∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6， 故选A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 3. 已知，则把它改写成比例式后，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质逐项分析即可； 【详解】A．由交叉相乘得：，与题干不符，故A错误． B．由交叉相乘得：，与题干一致，故B正确． C．由交叉相乘得：，与题干一致，故C正确． D．由交叉相乘得：，与题干一致，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）． 4. 如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定问题，题中已有一公共角，再添加对应边比值相等即可． 【详解】解：当时， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 5. 如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为( ) A. 30° B. 22.5° C. 15° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD-∠BCE即可求出答案． 【详解】∵正方形ABCD， ∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°， ∵BE=BC， ∴∠BEC=∠BCE=67.5°， ∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°， 故选B． 【点睛】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中． 6. 如图，正五边形的边长为2，连结对角线，线段分别与和相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用等腰三角形的性质，可以得到∠AME度数；②证明 △AEM∽△ADE，可以得到；③利用勾股定理求MN的长度；④图见解析，求出BE=CE=AD的长度，再通过勾股定理求出EH的长度，即可求出． 【详解】解：∵∠BAE=∠AED=108°，AB=AE=DE， ∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°， ∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正确； ∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°， ∴∠AEN=∠ANE， ∴AE=AN， 同理DE=DM， ∴AE=DM． ∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°， ∴△AEM∽△ADE ∴, ∴AE2=AM•AD； ∴AN2=AM•AD；故②正确； ∵AE2=AM•AD，四边形ABCN是平行四边形， ∴22=（2﹣MN）（4﹣MN）， 解得：MN=3﹣；故③正确； 由③可知，AM=ND=2﹣MN=2﹣3+=﹣1， ∴AD=AN+ND=2+﹣1=1+， ∴在正五边形ABCDE中，BE=CE=AD=1+， 如下图所示，作EH⊥BC于点H， ∴BH=BC=1， ∴EH==， ∴S△EBC=BC•EH=×2×=，故④错误； 故正确结论为①②③共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键． 7. 已知，，则的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】将x,y的值代入，然后利用完全平方公式计算，求值即可. 【详解】解：当， 原式= 故选：C. 【点睛】本题考查二次根式的代入求值，掌握完全平方公式进行计算是本题的解题关键. 8. 关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集． 解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根， ∴△≥0， ∴4﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0， ∵x1+x2=﹣2，x1•x2=k+1， ∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1， 解得k＞﹣2， 不等式组的解集为﹣2＜k≤0， 在数轴上表示为： 故选D． 点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键． 9. 如图，O是菱形的对角线的交点，分别是的中点，下列结论：①；②四边形是菱形；③是轴对称图形；④，其中不正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定、轴对称性等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据三角形的直线的性质即可判定①，再证明四边形是菱形可判定②，易得是等腰三角形，即可判定③、④即可解答． 【详解】解：∵E为中点， ∴， ∴，故①正确． ∵四边形是菱形， ∴，且， 又∵分别是的中点， ∴， ∴四边形为菱形，故②正确． ∵为等腰三角形， ∴故③正确，④不正确． 故选A． 10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】设CF=x，则CD=4x， DF=3x，BE=EC=2x，进而可以证明△ABE∽△ECF，得到AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．进而可以证明△ABE∽△AEF，AE⊥EF，从而得到结论． 【详解】∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD， 设CF=x，则CD=4x， ∴DF=3x，BE=EC=2x， ∴AB：EC=BE：CF=2：1． ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABE∽△ECF， ∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC． ∵BE=CE， ∴AB：AE=BE：EF， ∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠AEF=∠B=90°， ∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF， ∴②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，①有两个对应角相等的三角形相似，②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数，分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解． 【详解】解：由题意可得， 解得：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段AB，则AB的长度等于____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知A(6，3)、B(10，0)两点则AB=5，以坐标原点O为位似中心，相似比为，则A′B′：AB=1：3．即可得出A′B′的长度． 【详解】如图所示． 解：∵A(6，3)、B(10，0) ∴AB==5， 又∵相似比为 ∴A′B′：AB=1：3， ∴A′B′=． 故答案为： 13. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是__． 【答案】（50+2x）（80+2x）＝5000． 【解析】 【分析】直接利用矩形的面积公式得出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为xcm，列出x满足的方程是： （50+2x）（80+2x）＝5000． 故答案为：（50+2x）（80+2x）＝5000． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方形的长与宽是解题的关键． 14. 已知菱形ABCD两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=___． 【答案】5 【解析】 【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案． 【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP， 即Q在AB上， ∵MQ⊥BD， ∴AC∥MQ， ∵M为BC中点， ∴Q为AB中点， ∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形， ∴BQ∥CD，BQ=CN， ∴四边形BQNC是平行四边形， ∴NQ=BC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CP=AC=3，BP=BD=4， 在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5， 即NQ=5， ∴MP+NP=QP+NP=QN=5， 故答案为5 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质，熟练掌握其性质是解决此问题的关键． 15. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____． 【答案】m＞﹣4 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0， 解得：m＞﹣4． 故答案为：m＞﹣4． 16. 如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质对角线把矩形面积一分为二即可解得． 【详解】解：∵四边形是矩形， 又∵对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积的面积的面积， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查矩形的性质，解题的关键是熟悉矩形的对角线平分矩形的面积． 17. 如图，中，为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，t的值为__________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解题的关键．求出，分和两种情况分别求得的长，然后再求出时间t即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴, 分两种情况： ①当时，， ∵D为的中点， ∴, ∵E为的中点， ∴, ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴． 综上所述：当是直角三角形时，t的值为2或． 故答案为：2或． 18. 观察下列各数：0,,3,．那么第10个数应是_________． 【答案】 【解析】 【分析】仔细观察被开方数，其规律为，故当时，计算即可；本题考查了二次根式的规律，正确找到规律是解题的关键． 【详解】根据题意，0,,3, 故第n个为， 当时，， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19. （）计算． （）解方程： ① ②． 【答案】（）；（）①，；②，． 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可求解； （）①移项，再利用直接开平方法解答即可求解；②利用公式法解答即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，掌握二次根式的运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）①移项得，， ∴， ∴， ∴，； ②∵， ∴， ∴， ∴，． 20. 如图，在中，平分，交于点E，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明四边形为菱形，根据菱形的对角线相互垂直即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形为菱形． 21. 一元二次方程． （1）若方程有两实数根，求m的范围． （2）设方程两实根为，，且，求m． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个实数根，得出且，求出m的取值范围即可； （2）根据方程两实根为，，求出，，再根据，得出，再代入计算即可． 【小问1详解】 ∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴且，即， 解得且， ∴m的取值范围为． 【小问2详解】 ∵方程两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 经检验是原方程的解． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握相关概念，正确计算是关键. 22. 如图，若O是菱形对角线的交点，作交于点E，试判断四边形的形状？请说明理由． 【答案】矩形，理由见解析 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，首先可证四边形是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直平分可得，即可证明平行四边形是矩形． 此题主要考查了菱形的性质和矩形的判定的综合运用． 【详解】解：四边形是矩形． 理由：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． 23. 某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元． （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）不能达到 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程求解即可； （2）由（1）中的增长率计算出2018年该地区投入的教育经费，再进行判断即可． 【小问1详解】 解：设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴， 答：2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为． 【小问2详解】 不能达到，理由如下： 由题意得，（万元）， ∵， ∴到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元． 24. 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：△ABM≌△DCM； （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）当AB：AD=1：2时，四边形MENF正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）求出∠EMF=90°，根据正方形的判定推出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90°， ∵M为AD中点， ∴AM=DM， △ABM和△DCM， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）； （2）解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形， 理由：当四边形MENF是正方形时，则∠EMF=90°， ∵△ABM≌△DCM， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形， ∴AM=DM=AB， ∴AD=2AB， 即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 25. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB． （1）求证：； （2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案； （2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形． 【详解】证明：（1）∵AB=AD， ∴∠ADB=∠ABE， 又∵∠ADB=∠ACB， ∴∠ABE=∠ACB， 又∵∠BAE=∠CAB， ∴△ABE∽△ACB， ∴， 又∵AB=AD， ∴； （2）设AE=x， ∵AE：EC=1：2， ∴EC=2x， 由（1）得：AB2=AE•AC， ∴AB=x， 又∵BA⊥AC， ∴BC=2x， ∴∠ACB=30°， ∵F是BC中点， ∴BF=x， ∴BF=AB=AD， 又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD， ∴∠ADB=∠CBD=30°， ∴AD∥BF， ∴四边形ABFD是平行四边形， 又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及菱形的判定知识，得出△ABE∽△ACE是解答本题的关键. 26. 如图所示，在四边形中，，且分别是的中点，与相交于点M． （1）求证：． （2）若，求． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，证得成为解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形可得，则，即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，然后再结合已知条件代入数据即可解答． 【小问1详解】 解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$