精品解析：湖南省衡阳市祁东县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

祁东县2024年上期期末教学质量监测试题 数学 时量： 120分钟 分值： 120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上，直接在该问卷上作答无效． 一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列分式中 最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．找出分式分子分母没有公因式的即可． 【详解】解：A、原式为最简分式，符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：A． 2. 平面直角坐标系中，点所在的位置是（ ） A. 第二象限 B. 第四象限 C. x轴上 D. y轴上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据点的坐标特征求解即可． 【详解】解：平面直角坐标系中，点所在的位置是第四象限， 故选：B． 3. 下列条件中，能判定是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A.当时，不是菱形，故选项A不符合题意； B. 当时，四边形是菱形，故选项B符合题意； C.当时，不是菱形，故选项C不符合题意； D. 当时，不是菱形，故选项D不符合题意． 故选：B． 4. 已知：，，，则a，b，c大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、0指数和乘方运算．分别求出各数的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， 故选：A． 5. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0求解即可得． 【详解】解：∵分式有意义， ， 解得， 故选：B． 6. 已知一组数据：，，，，，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，据此解答即可． 【详解】解：数据：，，，，的众数是， 故选：D． 7. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别对k进行分类讨论，然后结合反比例函数和一次函数的图象性质进行分析即可． 【详解】解：当时，那么， 则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，那么， 则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质等知识内容，正确掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键． 8. 若点，，，在反比例函数 的图像上，则，，的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．先根据函数解析式判断出函数图像所在的象限，再根据各点的横坐标判断出各点所在象限，由函数图像在各象限内的增减性即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 此函数图像在一、三象限， ， 点在第三象限， ， ，在第一象限， 反比例函数在第一象限中随的增大而减小，， ， ． 故选：C． 9. 下面性质中矩形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线相等 B. 邻边相等 C. 对角线垂直 D. 对边相等 【答案】A 【解析】 【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．据此即可得到答案． 【详解】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有； （B）邻边相等是菱形具有，矩形不一定具有； （C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有； （D）对边相等是矩形和菱形共同具有． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形与矩形性质，掌握各种平行四边形的性质并区分是解题的关键． 10. 如图，在ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长． 【详解】解：连接AP，在ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴AM＝AP， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短， ∴S△ABC＝， ∴， ∴AP最短时，AP＝， ∴当AM最短时，AM＝AP＝． 故选：B 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度． 二、填空题 （共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 测得某人的头发直径为米，这个数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数变为时小数点向右移动的数位的相反数，由此即可求解．确定的取值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 初三（）班名同学在一次测试中数学成绩（单位： 分）如下：，，，，，，，． 这组数据的中位数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数的求解．熟记相关定义是解题的关键．根据中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，求解即可． 【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，． 中位数为：， 故答案为：． 13. 已知菱形的边长为，一条对角线长为，则另一条对角线长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质是解题的关键．根据题意作出图形，根据勾股定理求得，进而求得另外一条对角线的长． 【详解】解：设菱形两条对角线交于点，如图所示： 四边形是菱形，边长是， ，，，， ， ； 故答案：． 14. 一次函数的图象经过．且y随x增大而减小，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质．根据一次函数的图象过点，可以求得m的值，由y随x增大而减小，可以得到，从而可以确定m的值． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得：或， ∵y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如果关于的分式方程 有增根，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握增根的概念，可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此解答即可． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 关于的分式方程有增根， ，即， ， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则_________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可得到，推出，根据三角形的外角性质和，可得，由，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富．坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一．已知游船在静水中的最大航速，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设江水流速为，则游船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，再根据时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设江水流速为， 根据题意可得：， 故答案为：． 18. 如图，E、F分别是正方形的边上的点，且相交于点G，下列结论中正确的是______． ①； ②； ③； ④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵与的数量关系不确定， ∴无法得与的数量关系，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键． 三、解答题 （共8小题，满分66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．根据零指数幂的意义，有理数的乘方，二次根式的意义，负整数指数幂的意义运算即可； 【详解】解： 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为：． 21. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若平分，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定： （1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 22. 有一道题 “先化简再求值： ，其中”，王小虎同学做完这道题后说：“原式的值与的取值无关！”请判断王小虎同学的说法是否正确，并说明理由． 【答案】王小虎同学的说法正确，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，最后化简的式子是常数，与的取值无关，即可求解． 【详解】解：王小虎同学的说法正确，理由如下： ， ， ， ， 原式的值与的取值无关，王小虎同学的说法正确． 23. 为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，祁东县某中学每年冬季都会举办全体师生冬季长跑活动．为激励学生积极参与，学校用元购买，两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材价格是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材的费用相同． （1）求购买一件 种器材和一件种器材各需多少元 （2）若学校还需购买， 两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少元? 【答案】（1）购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元 （2）至少要花元钱 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，利用数量总价单价，结合学校用元购买了、两种体育器材共件，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出购买一件种器材所需费用，再将其代入中，即可求出购买一件种器材所需费用； （2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，根据再次购买的种器材的数量不多于种器材数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设学校再次购买两种器材共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元； 【小问2详解】 设学校还需购买件种器材，则还需购买件， 根据题意得：， 解得：． 设学校再次购买两种器材共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，最小值． 答：至少要花元钱． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图像交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）将直线沿着轴向下平移个单位长度，与轴、轴分别交于、两点，是直线上的一动点，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，函数与不等式，函数图像的平移，三角形的面积．运用数形结合思想，方程思想是解题的关键． （1）把点代入反比例函数中，即可求得反比例函数的表达式，进一步求出点的坐标，用待定系数法即可求得一次函数的表达式； （2）观察图像，当一次函数图像在反比例函数图像下方时的取值范围即可； （3）连接，根据即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图像过点， ， 反比例函数的表达式为：； 点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 一次函数经过点，， ， 解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 根据图像可得，当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 将直线沿着轴向下平移个单位长度，得到直线， 直线的表达式为：， 在中，令， 则，令，则， ，， ， 点在直线上上， 设点， 如图，连接，     ， ． 25. 如图，点E为正方形内一点，，过点B作且使，连接交的延长线于点F． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是正方形，见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意和正方形的性质可得出答案； （2）由（1）知，得，进而可证四边形为矩形，又即可得到答案； （3）过点作，根据垂足为，可得，根据正方形可得，进而可证，再通过（1）和（2）的结论可证出解答． 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是掌握以上的基本性质． 【小问1详解】 解： ，， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，理由如下： ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形． 【小问3详解】 解：． 理由：过点D作，垂足为H． 则， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． 由（2）知：四边形是正方形， ， ， 由（1）知：， ， ， ． 26. 如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． （1）求线段的长 （用含的代数式表示）． （2）当以、、、为顶点四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或 【解析】 【分析】（1）点运动到点时，共用了，总共运动了，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解； （2）若四边形为平行四边形，则，根据题意得，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解； （3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当，则，进行计算即可；当，过点作，则，，在中，根据勾股定理得进行计算即可． 【小问1详解】 解：点运动到点时，共用了，总共运动了， 当时，， 当时，， 综上，； 【小问2详解】 若四边形为平行四边形，则， 由（2）得，， 根据题意得，， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或． 【小问3详解】 过点作于点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 当时， 则， ， 解得：， 当，如图所示，过点作， 则四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理得，即， 解得：或； 综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 祁东县2024年上期期末教学质量监测试题 数学 时量： 120分钟 分值： 120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上，直接在该问卷上作答无效． 一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列分式中 最简分式是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，点所在位置是（ ） A. 第二象限 B. 第四象限 C. x轴上 D. y轴上 3. 下列条件中，能判定是菱形的是（　　） A B. C. D. 4. 已知：，，，则a，b，c大小关系是（ ） A B. C. D. 5. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 已知一组数据：，，，，，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，，在反比例函数 的图像上，则，，的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 9. 下面性质中矩形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线相等 B. 邻边相等 C. 对角线垂直 D. 对边相等 10. 如图，在ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 （共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 测得某人的头发直径为米，这个数据用科学记数法表示为______． 12. 初三（）班名同学在一次测试中数学成绩（单位： 分）如下：，，，，，，，． 这组数据的中位数是_____． 13. 已知菱形的边长为，一条对角线长为，则另一条对角线长为_________． 14. 一次函数的图象经过．且y随x增大而减小，则______． 15. 如果关于的分式方程 有增根，那么的值为_____． 16. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则_________度． 17. 闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富．坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一．已知游船在静水中的最大航速，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程________． 18. 如图，E、F分别是正方形边上的点，且相交于点G，下列结论中正确的是______． ①； ②； ③； ④． 三、解答题 （共8小题，满分66分） 19. 计算： 20. 解方程： 21. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若平分，求的长． 22. 有一道题 “先化简再求值： ，其中”，王小虎同学做完这道题后说：“原式的值与的取值无关！”请判断王小虎同学的说法是否正确，并说明理由． 23. 为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，祁东县某中学每年冬季都会举办全体师生冬季长跑活动．为激励学生积极参与，学校用元购买，两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材价格是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材的费用相同． （1）求购买一件 种器材和一件种器材各需多少元 （2）若学校还需购买， 两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少元? 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数 的图像交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）将直线沿着轴向下平移个单位长度，与轴、轴分别交于、两点，是直线上的一动点，求的面积． 25. 如图，点E为正方形内一点，，过点B作且使，连接交的延长线于点F． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明． 26. 如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． （1）求线段的长 （用含的代数式表示）． （2）当以、、、为顶点四边形为平行四边形时，求的值． （3）如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$