一题多变系列讲义第3题 排数问题——2026届高三数学一轮复习

第3题 排数问题 （一题多变） 【2025年6月成都七中2026届零诊T7】用数字组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（ ） A.8个               B.16个                   C.24个                         D.32个 【思路分析】 根据题意，将满足题意的五位数分为两类，先确定数字，再根据特殊位置法进行排序计算，由分类计数原理即可得解. 【详解】 根据题意，满足条件的五位数有以下两类： 第一类，这五个数字为，首位不能是0，所以有个； 第二类，这五个数字为，首位不能是0，所以有个. 所以，满足题意的五位数有个. 故选：D. 【题后反思】 此类问题是常考的排列问题，难度不大，一是要清楚能被3整除的数字的特征；二是需要使用重复数字排列且含有特殊数字“0”，那么特殊数字“0”必然不能出现在首位，所以特殊位置要优先考虑.故从以下几方面进行一题多变的设计. 【变化角度】将典例中重复数字排列问题变为无重复数列排列问题，仍考查能被某数整除问题，如下： 例：用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为 . 【思路分析】 将个数字分为三类，被整除的有、、，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，先确定所选的三个数字，然后确定首位不能排，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】 数字、、、、、、中被整除的有、、， 被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 若所选的个数均能被整除，即所选的三个数为、、，则三位数的首位不能放， 此时，首位数有两种选择，此时，共有个合乎条件的三位数； 若在、中选一个数，在、中选一个数，则需在、、中选一个数， 若在、、中选择，则三位数的首位不能排，首位有两种选择， 此时，满足条件的三位数个数为； 若在、、中选择为或，则首位任排， 此时，满足条件的三位数的个数为. 综上所述，满足条件的三位数的个数为. 故答案为：. 【举一反三】 1．从1，2，3，4，5中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中能被3整除的数有（    ） A．24个 B．30个 C．32个 D．48个 2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 【变换角度】仍以含有特殊数字“0”为背景，改变所求问题，变为能组成多少个偶数问题，如下： 例：由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ） A.144    B.168    C.156    D.192 【思路分析】 分个位上的数字为0和个位上的数字为2或4两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果. 【详解】 若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 故可以组成60＋96＝156个符合条件的数. 故选：C. 【举一反三】 3．用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 4．用0、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个．（用数字作答） 【变换角度】改变典例中的题设条件，将含有特殊数字“0”的排列问题变为不含特殊数字“0”的排列问题，如下： 例：只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ） A.96    B.144    C.240    D.288 【思路分析】 由题意知必有一个重复数字，故先选一个作为重复数字，然后由分步乘法计数原理分三步求解即可. 【详解】 从2，3，4，5四个数字选个作为重复数字，共有种选法， 将不重复的个数字全排列，有种排法， 不重复的个数字排好后形成个空位，从中选个空位插入重复数字， 共有种选法， 根据分步乘法计数原理，可得， 所以这样的五位数有个. 故选：. 【举一反三】 5．从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 6．用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ． 7．从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（    ） A．12个 B．10个 C．8个 D．7个 8．用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 9．用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A．52 B．58 C．56 D．50 10．从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 11．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，则（   ） A．其中能被5整除的数有240个 B．其中偶数有312个 C．其中2，4相邻的数有192个 D．其中1，3不相邻的数有372个 12．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果用数字作答） 13．用1，2，3，4，5这5个数字可以组成 个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有 个（用数字作答）． 14．用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的偶数有 个.（用数字作答）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3题 排数问题 （一题多变） 【2025年6月成都七中2026届零诊T7】用数字组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（ ） A.8个               B.16个                   C.24个                         D.32个 【思路分析】 根据题意，将满足题意的五位数分为两类，先确定数字，再根据特殊位置法进行排序计算，由分类计数原理即可得解. 【详解】 根据题意，满足条件的五位数有以下两类： 第一类，这五个数字为，首位不能是0，所以有个； 第二类，这五个数字为，首位不能是0，所以有个. 所以，满足题意的五位数有个. 故选：D. 【题后反思】 此类问题是常考的排列问题，难度不大，一是要清楚能被3整除的数字的特征；二是需要使用重复数字排列且含有特殊数字“0”，那么特殊数字“0”必然不能出现在首位，所以特殊位置要优先考虑.故从以下几方面进行一题多变的设计. 【变化角度】将典例中重复数字排列问题变为无重复数列排列问题，仍考查能被某数整除问题，如下： 例：用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为 . 【思路分析】 将个数字分为三类，被整除的有、、，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，先确定所选的三个数字，然后确定首位不能排，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】 数字、、、、、、中被整除的有、、， 被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 若所选的个数均能被整除，即所选的三个数为、、，则三位数的首位不能放， 此时，首位数有两种选择，此时，共有个合乎条件的三位数； 若在、中选一个数，在、中选一个数，则需在、、中选一个数， 若在、、中选择，则三位数的首位不能排，首位有两种选择， 此时，满足条件的三位数个数为； 若在、、中选择为或，则首位任排， 此时，满足条件的三位数的个数为. 综上所述，满足条件的三位数的个数为. 故答案为：. 【举一反三】 1．从1，2，3，4，5中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中能被3整除的数有（    ） A．24个 B．30个 C．32个 D．48个 【答案】A 2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【变换角度】仍以含有特殊数字“0”为背景，改变所求问题，变为能组成多少个偶数问题，如下： 例：由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ） A.144    B.168    C.156    D.192 【思路分析】 分个位上的数字为0和个位上的数字为2或4两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果. 【详解】 若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 若个位上的数字为2或4，可以组成个无重复数字的4位数的偶数， 故可以组成60＋96＝156个符合条件的数. 故选：C. 【举一反三】 3．用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【答案】A 4．用0、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个．（用数字作答） 【答案】30 【变换角度】改变典例中的题设条件，将含有特殊数字“0”的排列问题变为不含特殊数字“0”的排列问题，如下： 例：只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ） A.96    B.144    C.240    D.288 【思路分析】 由题意知必有一个重复数字，故先选一个作为重复数字，然后由分步乘法计数原理分三步求解即可. 【详解】 从2，3，4，5四个数字选个作为重复数字，共有种选法， 将不重复的个数字全排列，有种排法， 不重复的个数字排好后形成个空位，从中选个空位插入重复数字， 共有种选法， 根据分步乘法计数原理，可得， 所以这样的五位数有个. 故选：. 【举一反三】 5．从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（    ）． A．24 B．36 C．60 D．120 【答案】C 6．用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ． 【答案】224 7．从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（    ） A．12个 B．10个 C．8个 D．7个 【答案】B 8．用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 【答案】D 9．用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A．52 B．58 C．56 D．50 【答案】A 10．从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（    ） A．52个 B．64个 C．66个 D．70个 【答案】D 11．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，则（   ） A．其中能被5整除的数有240个 B．其中偶数有312个 C．其中2，4相邻的数有192个 D．其中1，3不相邻的数有372个 【答案】BC 12．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果用数字作答） 【答案】72 13．用1，2，3，4，5这5个数字可以组成 个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有 个（用数字作答）． 【答案】 60 24 14．用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的偶数有 个.（用数字作答）. 【答案】52 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$