探析向量运算的基底法-解透一题系列讲义-2026届高三数学一轮复习

第1题 探析向量运算的基底法（解透一题） 【2025年6月镇江市高一期末考试T14】 在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则______；若，，则的取值范围是______. 试题聚焦平面向量线性运算与数量积核心知识，强化基底法工具性；设计定点、动点梯度问题，体现从静态到动态、特殊到一般的思维进阶；以平行四边形为载体，渗透“数形结合”核心素养，考查几何与代数转化能力. 试题亮点：平行四边形经典背景，定点、动点分层设置，兼顾基础与能力；全程贯穿“基底法”，强化向量问题通性通法；融合数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，考查知识综合运用能力. 试题直接关联教材中“向量线性运算（平行四边形法则）、数量积定义与运算律”，如向量分解、分配律运用；第二空融合“二次函数单调性与闭区间最值”，体现向量与函数跨模块知识衔接. 基底向量法的基础源自平面向量基本定理，在解决向量相关问题时，先选择一组基底，将问题中涉及的向量都用这组基底表示出来，再通过向量的运算来解决问题.根据题目所给的条件选择合适的基底，然后将已知向量和未知向量都用基底表示，最后通过向量的运算建立方程或等式，从而求解问题.例如人教A必修二教材P26   例1如图，，不共线，且，用，表示. 解：因， 所以 对数量积计算可以选择的极化恒等式，源自人教A必修二教材习题的理解 教材P22 练习3. 1．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】由平面向量的运算性质即可得证. 【详解】证明：由左边右边， 故等式成立． 【点睛】本题考查了平面向量的运算性质，属基础题. 对教材习题深挖，则可总结出极化恒等式几何意义：平行四边形模型：向量数量积等于以向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 . 三角形模型：若 M 是△ABC 中边 BC 的中点，则： 应用用于解决向量数量积的定值、最值、范围等问题 寻源高考  类似考法在高考试题多次出现，例如2023·天津·高考真题 在中，，，记，用表示______；若，则的最大值为______． 解析：空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    向量具有数与形的双重身份，是联系代数与几何的桥梁，尤其是数量积问题的求解更是体现大小与方向的两大要素.在平面几何图形给定后，求解相关的数量积问题，我们可以有一下几种处理问题的策略:向量的三种表示对应三种运算，图形表示即构造几何图形直线与圆、解三角形等;字母表示即基底法;坐标表示即建立平面直角坐标系解析法.、 解题思路分析：的模长和数量积已知，可以选作作基底.用基底表示，，利用数量积的运算律计算即可完成第一空，；第二空，用作基底表示，，结合数量积的运算律，用参数k表示的取值，再结合函数求范围. 方法1  基底向量法 解析：因为，所以， 又，所以， 所以 ； 因为，所以， 所以， ， 所以 ， 又因为，所以.. 故答案为：3;[1，3] 【方法点评】 通过基底的已知模长、夹角或几何关系，利用向量运算律（如数量积、加减法）解决问题，是解决问题的通用方法. 方法2    坐标向量法(代数法) 由已知，． 如图所示，以为原点建立平面直角坐标系， 则 ①当，时， ． ②由已知，， ． ． 即的取值范围为． 【方法点评】 坐标向量法的关键是建立适当坐标系，如果先分析图象特征，比如 又 又 易知作如图 又，以为坐标原点建立直角坐标系如图． 运算会有移动程度的优化. 向量试题，解题方向一般有二，一是基底向量法（几何法）：选取平面内任意一组不共线的非零向量（称为“基底”，如），将平面内任一向量表示为基底的线性组合： 为唯一实数）.通过基底的已知模长、夹角或几何关系，利用向量运算律（如数量积、加减法）解决问题.二是坐标向量法（代数法）：建立平面直角坐标系，以坐标轴上的单位正交基底)i=(1，0)，)j=(0，1)）为固定基底，将向量表示为坐标形式.通过坐标代数运算（如向量加减、数量积的坐标公式）解决问题 坐标向量法的核心是建立坐标系，用坐标表示点和向量，再通过向量坐标运算求解 坐标法的本质是固定基底的基底法.基底法中的基底可以是任意不共线向量，而坐标法强制选择单位正交基底（i，j），因此坐标法是基底法的一种标准化、代数化特例. 坐标向量法与基底向量法同根同源（均基于平面向量基本定理），但分工不同：基底法是“几何灵活版”，坐标法是“代数标准版”.坐标法通过固定基底（单位正交基底）将向量问题转化为代数问题，是基底法的特例；而基底法通过灵活选择基底保留向量的几何意义，是坐标法的推广.两者结合使用，可高效解决平面几何中的向量问题 选择建议：优先坐标法：若问题可建立直角坐标系且涉及大量计算（如面积、夹角）.选用基底法：若几何结构复杂但存在已知基底.若图形对称性强，尝试几何法 【基底法+函数思想类练】 （2018天津高考改编） 2．如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，把向量用坐标表示，进而计算数量积并结合函数性质求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以，. 设，由，，， ，则①； 又，，，，即， 得，代入①式解得，所以. 设，，则， , 所以点坐标为. 则. ， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 【基础训练  平面向量基本定理应用训练】 3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面几何知识求解 【详解】如图，可知 =，选B. 【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用， 【拓展训练   深化平面向量基本定理进行解题】 4．如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 【基础训练  坐标向量法练习应用训练】 5．在平行四边形中，，，，点，分别在边，上（不与端点重合），且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以B为坐标原点，BC为x轴，BC垂线为y轴建立平面直角坐标系，由可设，从而写出E，F的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】以B为坐标原点，BC为x轴，BC垂线为y轴建立平面直角坐标系， 由，可设， 则， ， ， 又，当时，最小值为；当时，最大值为1. 故的取值范围为. 故答案为：. 【拓展训练  高考真题类练】（2023·天津·高考真题） 6．在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1题 探析向量运算的基底法（解透一题） 【2025年6月镇江市高一期末考试T14】 在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则______；若，，则的取值范围是______. 试题聚焦平面向量线性运算与数量积核心知识，强化基底法工具性；设计定点、动点梯度问题，体现从静态到动态、特殊到一般的思维进阶；以平行四边形为载体，渗透“数形结合”核心素养，考查几何与代数转化能力. 试题亮点：平行四边形经典背景，定点、动点分层设置，兼顾基础与能力；全程贯穿“基底法”，强化向量问题通性通法；融合数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，考查知识综合运用能力. 试题直接关联教材中“向量线性运算（平行四边形法则）、数量积定义与运算律”，如向量分解、分配律运用；第二空融合“二次函数单调性与闭区间最值”，体现向量与函数跨模块知识衔接. 基底向量法的基础源自平面向量基本定理，在解决向量相关问题时，先选择一组基底，将问题中涉及的向量都用这组基底表示出来，再通过向量的运算来解决问题.根据题目所给的条件选择合适的基底，然后将已知向量和未知向量都用基底表示，最后通过向量的运算建立方程或等式，从而求解问题.例如人教A必修二教材P26   例1如图，，不共线，且，用，表示. 解：因， 所以 对数量积计算可以选择的极化恒等式，源自人教A必修二教材习题的理解 教材P22 练习3. 1．求证：． 对教材习题深挖，则可总结出极化恒等式几何意义：平行四边形模型：向量数量积等于以向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 . 三角形模型：若 M 是△ABC 中边 BC 的中点，则： 应用用于解决向量数量积的定值、最值、范围等问题 寻源高考  类似考法在高考试题多次出现，例如2023·天津·高考真题 在中，，，记，用表示______；若，则的最大值为______． 解析：空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    向量具有数与形的双重身份，是联系代数与几何的桥梁，尤其是数量积问题的求解更是体现大小与方向的两大要素.在平面几何图形给定后，求解相关的数量积问题，我们可以有一下几种处理问题的策略:向量的三种表示对应三种运算，图形表示即构造几何图形直线与圆、解三角形等;字母表示即基底法;坐标表示即建立平面直角坐标系解析法.、 解题思路分析：的模长和数量积已知，可以选作作基底.用基底表示，，利用数量积的运算律计算即可完成第一空，；第二空，用作基底表示，，结合数量积的运算律，用参数k表示的取值，再结合函数求范围. 方法1  基底向量法 解析：因为，所以， 又，所以， 所以 ； 因为，所以， 所以， ， 所以 ， 又因为，所以.. 故答案为：3;[1，3] 【方法点评】 通过基底的已知模长、夹角或几何关系，利用向量运算律（如数量积、加减法）解决问题，是解决问题的通用方法. 方法2    坐标向量法(代数法) 由已知，． 如图所示，以为原点建立平面直角坐标系， 则 ①当，时， ． ②由已知，， ． ． 即的取值范围为． 【方法点评】 坐标向量法的关键是建立适当坐标系，如果先分析图象特征，比如 又 又 易知作如图 又，以为坐标原点建立直角坐标系如图． 运算会有移动程度的优化. 向量试题，解题方向一般有二，一是基底向量法（几何法）：选取平面内任意一组不共线的非零向量（称为“基底”，如），将平面内任一向量表示为基底的线性组合： 为唯一实数）.通过基底的已知模长、夹角或几何关系，利用向量运算律（如数量积、加减法）解决问题.二是坐标向量法（代数法）：建立平面直角坐标系，以坐标轴上的单位正交基底)i=(1，0)，)j=(0，1)）为固定基底，将向量表示为坐标形式.通过坐标代数运算（如向量加减、数量积的坐标公式）解决问题 坐标向量法的核心是建立坐标系，用坐标表示点和向量，再通过向量坐标运算求解 坐标法的本质是固定基底的基底法.基底法中的基底可以是任意不共线向量，而坐标法强制选择单位正交基底（i，j），因此坐标法是基底法的一种标准化、代数化特例. 坐标向量法与基底向量法同根同源（均基于平面向量基本定理），但分工不同：基底法是“几何灵活版”，坐标法是“代数标准版”.坐标法通过固定基底（单位正交基底）将向量问题转化为代数问题，是基底法的特例；而基底法通过灵活选择基底保留向量的几何意义，是坐标法的推广.两者结合使用，可高效解决平面几何中的向量问题 选择建议：优先坐标法：若问题可建立直角坐标系且涉及大量计算（如面积、夹角）.选用基底法：若几何结构复杂但存在已知基底.若图形对称性强，尝试几何法 【基底法+函数思想类练】 （2018天津高考改编） 2．如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为 ． 【基础训练  平面向量基本定理应用训练】 3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则 A． B． C． D． 【拓展训练   深化平面向量基本定理进行解题】 4．如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 【基础训练  坐标向量法练习应用训练】 5．在平行四边形中，，，，点，分别在边，上（不与端点重合），且，则的取值范围为 ． 【拓展训练  高考真题类练】（2023·天津·高考真题） 6．在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$