精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024—2025学年下学期东北师大附中 高（二）年级期末考试 （数学）科试卷 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的补运算求集合即可. 【详解】由，则. 故选：A 2. 已知，则p是q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求得，解绝对值不等式求得，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，则，可得， 由，则， 所以p是q的充分不必要条件. 故选：B 3. 下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性定义，逐一验证判断. 【详解】对于A，，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，由，则在上单调递增，且，所以为偶函数，故B正确； 对于C，由，，故为奇函数，故C错误； 对于D，因为，，，所以在上不是单调增函数，故D错误. 故选：B. 4. 等比数列中，，则（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列通项公式求公比，进而求指定项. 【详解】若等比数列的公比为，则，故. 故选：C 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性得到，再利用对数函数的单调性得出，即可求出结果. 【详解】因为，，易知函数在R上是增函数， 又，所以， 又易知在上是减函数，所以， 综上，. 故选：B. 6. 已知曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 18 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数的运算法则求出导数后，结合导数的几何意义计算即可得. 【详解】，由题意，解得. 故选：C. 7. 已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，由单调性得到在上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的取值范围. 【详解】， 因为在上为单调递增函数， 所以在上恒成立， 令， 要满足①，或②， 由①得：，由②得：， 综上：实数m的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数（e是自然对数的底数），若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性定义判断函数奇偶性，再由对数函数、复合函数的单调性判断函数的单调性，最后应用奇函数、单调性解不等式即可. 【详解】由题设，定义域为R， 所以，故在R上为奇函数， 根据复合函数的单调性，知在上单调递减，且在R上连续， 所以在R上单调递减， 由题设，即， 所以不等式解集为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由根式、有理数指数幂的运算判断A、B；由对数的运算性质判断C、D. 【详解】A：若时，，错； B：，对； C：，对； D：，对. 故选：BCD 10. 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. ab的最大值为 C. 最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，应用基本不等式及指数运算性质求、的最小值，由，则，代入求最小值，即可得. 【详解】A：由，当且仅当取等号，对； B：由，则，当且仅当时取等号，错； C：由，当且仅当时取等号，对； D：由，则，故，错. 故选：AC 11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A 当时， B. 方程有3个不等实根 C. 函数有最大值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用奇函数的定义可得时的解析式，可判断A；令，求出所对应的方程的解，即可判断；利用导数判断函数的单调性求出函数的极值，即可判断；由的值域可判断． 【详解】对于A，函数为定义在上的奇函数， 当时，，，故A正确； 对于B，当时，，解得，时，，解得， 又，所以有和0三个零点，故B正确； 对于C，当时，，，当时，，递减， 时，，递增， ∴时，有极小值，时，，，， 由是奇函数，∴时，有极大值， 又，所以的值域是，故C错误； 对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，， ∴，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，代入计算即得答案. 【详解】由题意得， 故， 故答案为：4 13. 已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇偶性得，即是周期为4的函数，根据奇偶性、周期性求，最后应用周期性求函数值的和即可. 【详解】由题设，则， 且，则，即， 所以，故是周期为4的函数， 由题意，则，，， 所以， 故. 故答案为： 14. 已知实数x，y满足，且，若实数a，b使得关于x的方程在区间上有解，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，且，构造且并应用导数研究其单调性得，再将问题化为求直线（为参数）上的点到原点距离的平方的最小值，即求且的最小值，应用导数研究其最小值即可. 【详解】由题设，则，， 由，可得，即， 令且，则，故在上单调递减， 由上，故，依题意即在区间上有解， 所以表示直线（为参数）上点到原点距离的平方， 由原点到直线的距离，故， 令且，则， 所以在上单调递增，则，即的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）3 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【小问1详解】 若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； 【小问2详解】 由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 16. 已知在正项数列中，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解； （2）分为偶数和奇数求数列的前项和. 【小问1详解】 成等差数列， ，即，而， 为等比数列， 又，得. 【小问2详解】 ， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， . 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的区间符号研究函数的单调区间； （2）问题化为与在上有交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 依题意，，， 由，得；由，得， 故函数的单调增区间是，单调减区间是； 【小问2详解】 原方程可化为，即，亦即， 若原方程在有实根，则与在上有交点， 因为，所以在上单调递增，又， 且时，且速度远远快于x，所以，所以， 所以要使与在上有交点，则， 综上，当时，关于x的方程在区间内有实根. 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】（1）（i）分布列见解析，；（ii），，； （2），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【小问1详解】 （i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则， 故， 由（i）可知， 因为，所以； 【小问2详解】 当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 19. 已知函数. （1）求证：； （2）若，求的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）易得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证； （2）构造函数，分，和三种情况讨论，求出函数的单调区间，进而可得出答案； （3）由（2）知，当时，，则，令，则，则有，则要证，只需要证明，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出结论. 【小问1详解】 因为，所以， 令， 则， 所以函数在上单调递增， ，即， 所以； 【小问2详解】 ， 即在上恒成立， 令， 则， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以， 即，所以符合题意； 当时，注意方程的， 若，则，所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以， 即，所以符合题意； 若，则方程有两个不等的实根，记为， 则， 所以函数在上有唯一的零点， 则当时，，函数为减函数， 所以当时，，即， 与矛盾，所以不符题意， 综上所述，取值范围为； 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 即，所以， 令，则， 故 ， 所以要证， 只需要证明， 两边取对数，整理得， 当时，左边， 当时，令， 则， 令， 则， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以恒成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期东北师大附中 高（二）年级期末考试 （数学）科试卷 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则p是q的（ ） A 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 等比数列中，，则（ ） A 8 B. C. 16 D. 5. 设，，，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 6. 已知曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 18 C. D. 8 7. 已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（e是自然对数的底数），若，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 最小值为 B. ab的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 方程有3个不等实根 C. 函数有最大值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则_________． 13. 已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，且，则_________． 14. 已知实数x，y满足，且，若实数a，b使得关于x的方程在区间上有解，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数． （1）若的解集为，求ab的值； （2）解关于x的不等式． 16. 已知在正项数列中，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （i）求随机变量Y分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 19. 已知函数. （1）求证：； （2）若，求的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$