2.1 等式性质与不等式性质-2025-2026学年高一数学同步讲义 人教版A版（2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 考点导引： 考点一：用不等式表示不等关系 考点二：利用不等式的性质判断命题的真假 考点三：由不等式的性质比较数（式）大小 考点四：作商法、作差法比较大小 考点五：利用不等式的性质判断正误 考点六：利用不等式的性质证明不等式 考点七：求代数式的取值范围 一、实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 二、不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2). 三、比较大小 1.作差：作差比较，根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0； 2.作商：作商比较，当b>0时，a>b>1。 3.找中介 “1”或“0” 考点一：用不等式表示不等关系 1.（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 2.（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 考点二：利用不等式的性质判断命题的真假 4.（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三：由不等式的性质比较数（式）大小 6.（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 7.（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8.（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 9.（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 考点四：作商法、作差法比较大小 10,.（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11.（多选题）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12.（2025高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 13.（24-25高一上·山东德州·阶段练习）若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 14.（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 考点五：利用不等式的性质判断正误 15.（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 16.（23-24高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点六：利用不等式的性质证明不等式 17.（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 18.（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 考点七：求代数式的取值范围 19.（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 20.（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D．（） 6．若，，，则p、q的大小关系是 A． B． C． D．由的取值确定 7．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 8．若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 9．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的为（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度t可表示为“” 12．若，则下列结论中正确的是（    ） A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| 13．设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（    ） A． B．ac<bc C．a(b－c)>b(a－c) D． 三、填空题 14． 四、解答题 15．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2m的免票，身高1.2m~1.5m的儿童火车票为半价，身高超过1.5m的儿童买全价票.你能用不等式表示这些规定吗？ 文字表述 身高不足1.2m 身高在1.2m~1.5m间 身高超过1.5m 符号表示 票价 免票 半价票 全价票 16．某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 17．试比较下列各组式子的大小： （1）－与－，其中； （2）与，其中. 18．（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 19．“绿水青山就是金山银山”．随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭．一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）．假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋. （Ⅰ）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格； （Ⅱ）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由. 20．（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 考点导引： 考点一：用不等式表示不等关系 考点二：利用不等式的性质判断命题的真假 考点三：由不等式的性质比较数（式）大小 考点四：作商法、作差法比较大小 考点五：利用不等式的性质判断正误 考点六：利用不等式的性质证明不等式 考点七：求代数式的取值范围 一、实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 二、不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2). 三、比较大小 1.作差：作差比较，根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0； 2.作商：作商比较，当b>0时，a>b>1。 3.找中介 “1”或“0” 考点一：用不等式表示不等关系 1.（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【解题思路】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【解答过程】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 2.（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 3.（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 考点二：利用不等式的性质判断命题的真假 4.（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，，，故B正确； 对C，若，则，则，即，故C错误； 对D，当时，，则，故D错误. 故选：B 5.（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】运用不等式性质，结合举反例，根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当时，，则，则成立，可知充分性成立； 当时，成立，但不成立，可知必要性不成立． 可得“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 考点三：由不等式的性质比较数（式）大小 6.（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【解题思路】利用不等式性质即可判断AB，举例即可判断C，作差法即可判断D. 【解答过程】对于A：由，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误； 对于C：当时，，故C错误； 对于D，，因为，则， 所以，即，故D错误. 故选：A. 7.（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先确定的正负情况，再根据不等式的性质，即可判断. 【解答过程】因为，且，所以，，的取值不确定，可以为正数，负数和零， A.因为，时，，时，，时，，故A错误； B.，，所以，故B错误； C.，，所以，故C正确； D.，，，故D错误. 故选：C. 8.（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 9.（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【知识点】作商法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 考点四：作商法、作差法比较大小 10,.（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，则，A错误； 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B正确. 因为，所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC 11.（多选题）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 12.（2025高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 13.（24-25高一上·山东德州·阶段练习）若，，则与的关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 【解题思路】利用作差法比较数的大小即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：A. 14.（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，作差比较大小. 【解答过程】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D. 考点五：利用不等式的性质判断正误 15.（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知，则下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质即可求解ABC，作差即可求解D. 【解答过程】对于A,由于，故，进而可得，A正确， 对于B，由于，故，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，，由于，故， 但由于的值不确定，无法确定的符号，故D错误， 故选：A. 16.（23-24高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】利用反例判断A选项，BCD均可以通过不等式的性质以及作差法进行判断. 【解答过程】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，若，则有，则，故D正确； 故选：A. 考点六：利用不等式的性质证明不等式 17.（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【解题思路】由，，和，，证明即可. 【解答过程】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 18.（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 考点七：求代数式的取值范围 19.（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）（1）若，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】利用不等式求值或取值范围、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）由，得，再两个不等式相加即可得到结果. （2）首先设，求出的值，再让两个不等式相加可得结果. 【详解】（1）因为，即，， 所以，所以， 又，所以，即． （2）设， ，解得，． ，， ，， 则． 的取值范围是． 20.（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 一、单选题 1．已知，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用作差比较，即可得到与的大小关系，得到答案. 【详解】由题意，， 则， 所以，即， 故选C. 【点睛】本题主要考查了代数式的比较大小，其中解答中熟练应用不等式的性质，利用作差比较法进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项. 【详解】∵ ∴，，，. 故选： 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题. 3．若、、，，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 4．已知a，b为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质可判断. 【详解】由． 当，时，， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 5．已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中， 当时，，此时，所以A错误； 对于B中， 当时，，所以B错误. 对于C中， 当时，，所以C错误. 对于D中，因为，可得，所以D正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟练不等式的基本性质，以及合理利用特殊值求解是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 6．若，，，则p、q的大小关系是 A． B． C． D．由的取值确定 【答案】C 【详解】试题分析：因,故,则,即,也即,故,应选C． 考点：分析法及运用． 7．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 8．若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】利用作差比较大小可得答案. 【详解】由题意知， ， 因为，， 所以， 即， 所以， 故. 故选：A. 9．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取，，，利用排除法即可得正确选项. 【详解】令，，，则，，， 故排除A、B、D、 故选：C. 10．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质可判断ABD，取特殊值可判断C选项. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，故A错误； 选项B：因为，则， 所以，即， 又，所以不等式 两侧同时乘以，则，故B错误； 选项C：当时，此时， ，， ，故C错误； 选项D：因为，所以， 则 ，故D正确. 故选：D. 二、多选题 11．（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的为（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度t可表示为“” 【答案】CD 【分析】由不等关系求解. 【详解】A.x与2的和是非负数，应表示为“”，故错误； B.小明比小华矮，应表示为“”，故错误； C.，D正确． 故选：CD． 12．若，则下列结论中正确的是（    ） A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质逐一分析判断各个选项即可得出答案. 【详解】解：因为，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A，B，C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误. 故选：ABC. 13．设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（    ） A． B．ac<bc C．a(b－c)>b(a－c) D． 【答案】ABC 【分析】对于A，作差比较可知A正确；对于B，在a>b的两边同时乘以－c可知B正确；对于C，作差比较可知C正确；对于D，在a>b的两边同时乘以可知D错误． 【详解】对于A，∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，故A正确； 对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正确； 对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确； 对于D，∵<0，a>b>0，∴，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质比较大小，属于基础题. 三、填空题 14． 【答案】，，，它们的差与0 【分析】略 【详解】略 四、解答题 15．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2m的免票，身高1.2m~1.5m的儿童火车票为半价，身高超过1.5m的儿童买全价票.你能用不等式表示这些规定吗？ 【答案】答案见解析 【分析】应用表格形式，根据题意用不等式表示不同身高区间并写出对应票价即可. 【详解】设身高为h m， 文字表述 身高不足1.2m 身高在1.2m~1.5m间 身高超过1.5m 符号表示 票价 免票 半价票 全价票 16．某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【分析】设出未知量x,y，根据题意列出不等式组即可. 【详解】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则 即 【点睛】这个题目考查了实际应用问题，主要是读懂题意，列出相应的不等关系即可,其中注意定义域的问题. 17．试比较下列各组式子的大小： （1）－与－，其中； （2）与，其中. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）化简可得－＝，－＝，比较两式分母的大小，即可得到两式的大小关系； （2）利用作差法比较大小即可. 【详解】（1）－＝，－＝， ∵>， ∴＋>+>0， ∴<， ∴； （2）(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2) ＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y) ， ∵， ∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，即(x－y)(x＋y)(x＋2y) >0 ∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y) >0，即x3－2y3>xy2－2x2y. 【点睛】本题考查综合法、作差法比较两式大小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题. 18．（1）比较和的大小； （2）已知，，证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）展开后作差比较大小； （2）根据不等式的性质先证明，然后证明，最后再证明. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，所以，， 于是，即， 由，得. 19．“绿水青山就是金山银山”．随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭．一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）．假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋. （Ⅰ）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格； （Ⅱ）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析 【分析】（Ⅰ）因此甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为； （Ⅱ）证法一：（比较法）：直接作差与0比较大小即可； 证法二（分析法）：依题意，且， 要证：  等价于证明，再转化为即可. 【详解】（Ⅰ） 甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为， （Ⅱ）甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为， 由（Ⅰ）知，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的 平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠． 证法一（比较法）：依题意，且， ，， 所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低， 即乙的购买方式更实惠． 证法二（分析法）：依题意，且， 要证：  ， 只需证： 只需证： 只需证：（已知）． 所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低， 即乙的购买方式更实惠． 【点睛】本题主要考查不等式的实际应用，意在考查学生的分析能力和逻辑推理能力，只要熟练掌握不等式的相关性质，在处理中还是比较轻松. 20．（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用作差法比较数的大小可得结论； 【详解】（1） 因为，所以， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以，所以， （2）， 因为，所以，， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$