2.1.1 不等关系与不等式 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1.1 不等关系与不等式 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知完成一项装修工程，木工每人工资800元，瓦工每人工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式是（ ） A．8x＋7y<200 B．8x＋7y≥200 C．8x＋7y＝200 D．8x＋7y≤200 2．设M＝a（a－4），N＝（a－1）（a－3），则（ ） A．M<N B．M≥N C．M>N D．M≤N 3．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过72000 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ） A．a＋b＋c<130且abc<72000 B．a＋b＋c>130且abc>72000 C．a＋b＋c≤130且abc≤7200 D．a＋b＋c≥130且abc≥72000 4．设a，b，m都是正数，且a<b，记x＝，y＝，则（ ） A．x>y B．x＝y C．x<y D．x与y的大小与m的取值有关 5．已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，则（ ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不能确定 二、多项选择题 6．下列关于不等关系的说法正确的是（ ） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足0<h≤4.5 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0 C．不等式x≥2的含义是指x不小于2 D．若a<b或a＝b之中有一个成立，则a≤b成立 7．下列不等式，其中恒成立的不等式为（ ） A．a2＋3>2a（a∈R） B．x2＋y2>xy C．a2＋b2>2（a－b－1） D．8xy≤4x2＋8y2 三、填空题 8．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为________． 四、解答题 10．比较下列各组M与N的大小． （1）M＝（ac＋bd）2与N＝（a2＋b2）（c2＋d2）； （2）M＝（x－3）2与N＝（x－2）（x－4）＋m. 11．（1）证明：a2＋b2＋c2>2（a＋b＋c）－4； （2）已知a≥1，M＝－，N＝－，求证：M<N. 个性拓展练 12．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ） A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 13．已知M＝＋，N＝＋，其中a>0，b>0，则M________N（选填“>”“<”“≥”或“≤”）． 14．现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为a2，高分别为a和b，C，D的底面积均为b2，高分别为a和b（其中a≠b）．现规定一种游戏规则：甲、乙两人每人一次从四个容器中取两个且不放回，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 2.1.1 不等关系与不等式 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知完成一项装修工程，木工每人工资800元，瓦工每人工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式是（ ） A．8x＋7y<200 B．8x＋7y≥200 C．8x＋7y＝200 D．8x＋7y≤200 解析：由题意得，所有木工的工资为800x元，所有瓦工的工资为700y元，则共需支付工资（800x＋700y）元，又工人工资预算为20000元，所以800x＋700y≤20000，即8x＋7y≤200.故选D. 答案：D 2．设M＝a（a－4），N＝（a－1）（a－3），则（ ） A．M<N B．M≥N C．M>N D．M≤N 解析：M－N＝a（a－4）－（a－1）（a－3）＝a2－4a－（a2－4a＋3）＝－3<0，所以M<N.故选A. 答案：A 3．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过72000 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ） A．a＋b＋c<130且abc<72000 B．a＋b＋c>130且abc>72000 C．a＋b＋c≤130且abc≤72000 D．a＋b＋c≥130且abc≥72000 解析：由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过72000 cm3得abc≤72000.故选C. 答案：C 4．设a，b，m都是正数，且a<b，记x＝，y＝，则（ ） A．x>y B．x＝y C．x<y D．x与y的大小与m的取值有关 解析：由a>0，b>0，m>0，且a<b，即b－a>0，可得x－y＝－＝>0，即x>y.故选A. 答案：A 5．已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，则（ ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不能确定 解析：易知M>0，N>0，因为M2－N2＝（＋）2－（）2＝2>0，所以M>N.故选A. 答案：A 二、多项选择题 6．下列关于不等关系的说法正确的是（ ） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足0<h≤4.5 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0 C．不等式x≥2的含义是指x不小于2 D．若a<b或a＝b之中有一个成立，则a≤b成立 解析：因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“≤”表示，选项A正确；因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，选项B错误；因为不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，选项C正确；因为不等式a≤b表示a<b或a＝b，所以若a<b或a＝b中有一个成立，则a≤b一定成立，选项D正确．故选ACD. 答案：ACD 7．下列不等式，其中恒成立的不等式为（ ） A．a2＋3>2a（a∈R） B．x2＋y2>xy C．a2＋b2>2（a－b－1） D．8xy≤4x2＋8y2 解析：∵a2＋3－2a＝（a－1）2＋2>0，∴a2＋3>2a，即A正确；x2＋y2－xy＝2＋y2≥0，知B错误；a2＋b2－2（a－b－1）＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，知C错误；4x2＋8y2－8xy＝4（x2－2xy＋2y2）＝4（x－y）2≥0，知D正确．故选AD. 答案：AD 三、填空题 8．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为________． 解析：由题意知，该商品重量用不等式表示为499≤x≤501. 答案：499≤x≤501 9．已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为________． 解析：∵P－Q＝（a2－4a＋3）－（－4a＋1）＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2>0，即P－Q>0，∴P>Q. 答案：P>Q 四、解答题 10．比较下列各组M与N的大小． （1）M＝（ac＋bd）2与N＝（a2＋b2）（c2＋d2）； （2）M＝（x－3）2与N＝（x－2）（x－4）＋m. 解：（1）M－N＝（a2c2＋2abcd＋b2d2）－（a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2）＝－（ad－bc）2≤0， 故M≤N. （2）M－N＝（x2－6x＋9）－（x2－6x＋8＋m）＝1－m.当m<1时，M>N；当m＝1时，M＝N；当m>1时，M<N. 11．（1）证明：a2＋b2＋c2>2（a＋b＋c）－4； （2）已知a≥1，M＝－，N＝－，求证：M<N. [证明] （1）a2＋b2＋c2－[2（a＋b＋c）－4] ＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4 ＝（a－1）2＋（b－1）2＋（c－1）2＋1≥1>0， 故a2＋b2＋c2>2（a＋b＋c）－4. （2）因为a≥1， 所以M＝－>0，N＝－>0， 所以＝＝. 因为＋>＋>0， 所以<1，所以M<N. 个性拓展练 12．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ） A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 解析：根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.故选A. 答案：A 13．已知M＝＋，N＝＋，其中a>0，b>0，则M________N（选填“>”“<”“≥”或“≤”）． 解析：M－N＝－＝－＝－＝（a－b）·＝－.因为a>0，b>0，所以（1＋a）（1＋b）>0，－（a－b）2≤0，所以M－N≤0，即M≤N. 答案：≤ 14．现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为a2，高分别为a和b，C，D的底面积均为b2，高分别为a和b（其中a≠b）．现规定一种游戏规则：甲、乙两人每人一次从四个容器中取两个且不放回，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 解：（1）若先取A，B，后者只能取C，D，因为（a3＋a2b）－（ab2＋b3）＝a2（a＋b）－b2（a＋b）＝（a＋b）2（a－b），显然（a＋b）2>0，而a，b的大小不定，所以（a＋b）2（a－b）正负不确定，所以这种取法没有必胜的把握．相应地，先取C，D的取法也没有必胜的把握． （2）若先取A，C，后者只能取B，D，因为（a3＋ab2）－（a2b＋b3）＝a（a2＋b2）－b（a2＋b2）＝（a2＋b2）（a－b），同样地，这种取法没有必胜的把握． 相应地，先取B，D的取法也没有必胜的把握． （3）若先取A，D，后者只能取B，C，因为（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝（a＋b）·（a2－ab＋b2）－ab（a＋b）＝（a＋b）·（a－b）2，又因为a≠b，a>0，b>0，所以（a＋b）（a－b）2>0，即a3＋b3>a2b＋ab 2，所以先取A，D是先取者唯一必胜的方案． 学科网（北京）股份有限公司 $