2.1.2 等式性质与不等式性质 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1.2 等式性质与不等式性质 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知a>b，则下列关系中正确的是（ ） A．a－c>b－c B．ac>bc C．|a|>|b| D．a2>b2 2．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是（ ） A．ab<b2<1 B.<<1 C．1<< D．a2<ab<1 3．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（ ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 4．“c>b>a”是“>”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列说法中，错误的是（ ） A．若a2>b2，ab>0，则< B．若>，则a>b C．若b>a>0，m>0，则> D．若a>b，c<d，则a－c>b－d 二、多项选择题 6．设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（ ） A．ac<bd B.< C.> D．ac2<bd2 7．若x>1>y，则下列不等式一定成立的有（ ） A．x－1>1－y B．x－1>y－1 C．x－y>1－y D．1－x>y－x 三、填空题 8．不等式a>b和>同时成立的条件是________． 9．已知2≤a≤7，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是________． 四、解答题 10．（1）已知a>b>0，d<c<0，求证：<； （2）若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 11．（1）已知－≤α<β≤，求，的取值范围； （2）已知－1<2a＋b<2，3<a－b<4，求5a＋b的取值范围． 个性拓展练 12．已知m>n>1，则下列结论正确的有（ ） A.< B．m＋<n＋ C．m3＋n3>2m2n D．m＋>n＋ 13．已知b<a<－3b，则的取值范围是________． 14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件： （1）该函数图象过原点； （2）当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； （3）当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4. 求当x＝－2时，y的取值范围． 2.1.2 等式性质与不等式性质 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知a>b，则下列关系中正确的是（ ） A．a－c>b－c B．ac>bc C．|a|>|b| D．a2>b2 解析：由a>b，得a－c>b－c，故A正确；当c＝0时，ac＝bc，故B错误；当a＝－3，b＝－7时，a>b，而|a|＝3，|b|＝7，则|a|<|b|，a2＝9，b2＝49，则a2<b2，故C、D错误．故选A. 答案：A 2．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是（ ） A．ab<b2<1 B.<<1 C．1<< D．a2<ab<1 解析：取a＝，b＝验证可得A、B、D不正确．故选C. 答案：C 3．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（ ） A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故选C. 答案：C 4．“c>b>a”是“>”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>，充分性成立．若>，不妨设>0，<0，则c－b>0，c－a<0，即a>c>b，必要性不成立．故“c>b>a”是“>”的充分不必要条件．故选B. 答案：B 5．下列说法中，错误的是（ ） A．若a2>b2，ab>0，则< B．若>，则a>b C．若b>a>0，m>0，则> D．若a>b，c<d，则a－c>b－d 解析：对于A，取a＝－3，b＝－2，则>，错误；对于B，由c2>0，>，得a>b，正确；对于C，－＝＝，由b>a>0，m>0，得>0，所以>，正确；对于D，由c<d，得－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d，正确．故选A. 答案：A 二、多项选择题 6．设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（ ） A．ac<bd B.< C.> D．ac2<bd2 解析：a>b>0，c<d<0，即为－c>－d>0，即有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A正确；由cd>0，又ac<bd<0，两边同乘，可得<，则B正确，C错误；由－c>－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，则D错误．故选AB. 答案：AB 7．若x>1>y，则下列不等式一定成立的有（ ） A．x－1>1－y B．x－1>y－1 C．x－y>1－y D．1－x>y－x 解析：x－1－（1－y）＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－（1－y）<0，选项A中不等式不一定成立；x－1－（y－1）＝x－y>0，选项B中不等式一定成立；x－y－（1－y）＝x－1>0，选项C中不等式一定成立；1－x－（y－x）＝1－y>0，选项D中不等式一定成立．故选BCD. 答案：BCD 三、填空题 8．不等式a>b和>同时成立的条件是________． 解析：若a，b同号，则a>b⇒<，故需a，b异号且a>b. 答案：a>0>b 9．已知2≤a≤7，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是________． 解析：由－1≤b≤4，得－8≤－2b≤2.又2≤a≤7，所以－6≤a－2b≤9. 答案：－6≤a－2b≤9 四、解答题 10．（1）已知a>b>0，d<c<0，求证：<； （2）若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. [证明] （1）因为d<c<0， 所以－d>－c>0，dc>0. 又a>b>0，所以－ad>－bc， 所以bc－ad>0， 所以－＝>0，所以<. （2）－ ＝ ＝， 因为a>b>0，c<d<0， 所以a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0， 所以（a＋b）－（c＋d）>0，（b－a）＋（c－d）<0. 因为e<0，所以e[（a＋b）－（c＋d）][（b－a）＋（c－d）]>0， 又因为（a－c）2（b－d）2>0， 所以－>0， 即>. 11．（1）已知－≤α<β≤，求，的取值范围； （2）已知－1<2a＋b<2，3<a－b<4，求5a＋b的取值范围． 解：（1）因为－≤α<β≤， 所以－≤<，－<≤， 所以－≤－<， 则－<<，－≤<. 又α<β，所以<0，则－≤<0. （2）令5a＋b＝λ（2a＋b）＋μ（a－b）＝（2λ＋μ）a＋（λ－μ）b，λ，μ∈R， 则解得 ∴5a＋b＝2（2a＋b）＋（a－b）． ∵－1<2a＋b<2，∴－2<2（2a＋b）<4， 又3<a－b<4，∴1<5a＋b<8. 个性拓展练 12．已知m>n>1，则下列结论正确的有（ ） A.< B．m＋<n＋ C．m3＋n3>2m2n D．m＋>n＋ 解析：对于A，∵m>n>1，∴2m>2n，∴mn＋2m>mn＋2n，∴m（n＋2）>n（m＋2），又m，n都大于零，∴>，错误；对于B，∵m>n>1，∴mn>1，且m－n>0，则mn（m－n）>m－n，∴m2n－mn2>m－n，∴m2n＋n>mn2＋m，∴m＋>n＋，错误；对于C，当m＝3，n＝2时，m3＋n3＝27＋8＝35，2m2n＝36，即m3＋n3<2m2n，错误；对于D，∵m>n>1，∴>>0，∴m＋>n＋，正确．故选D. 答案：D 13．已知b<a<－3b，则的取值范围是________． 解析：因为b<a<－3b，所以b<0，则<0， －3<<1，所以0≤<3. 答案：0≤<3 14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件： （1）该函数图象过原点； （2）当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； （3）当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4. 求当x＝－2时，y的取值范围． 解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过原点， ∴c＝0，∴y＝ax2＋bx. 又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.① 当x＝1时，3≤a＋b≤4，② ∴当x＝－2时，y＝4a－2b. 设存在实数m，n， 使得4a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）， 而4a－2b＝（m＋n）a＋（m－n）b， ∴解得 ∴4a－2b＝（a＋b）＋3（a－b）． 由①②可知3≤a＋b≤4， 3≤3（a－b）≤6， ∴3＋3≤4a－2b≤4＋6. 即6≤4a－2b≤10， 故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10. 学科网（北京）股份有限公司 $