精品解析：山东省潍坊市诸城市2024-2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题

八年级数学试题 （时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1、本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一块含角的三角板，若内外两三角形斜边长的比为，则它们的面积比为（ ） A B. C. D. 3. 某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（ ） A. 25 B. 29 C. 30 D. 31 4. 若一次函数的图象经过一、三、四象限，则k的取值为（ ） A B. C. D. 5. 五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法中错误的是（ ） A. 景点离亮亮的家180千米 B. 亮亮到家的时间为17时 C. 小汽车返程的速度为60千米/时 D. 10时至14时小汽车匀速行驶 6. 若，则n的值为（ ） A. 40 B. 41 C. 50 D. 51 7. 小亮通过“列表、描点、连线”画函数的图象时，列出如下表格： … 0 1 2 … … 8 6 4 2 0 … 则下列说法正确的是（ ） A. 函数值y随x的增大而增大 B. 函数图象不经过第四象限 C. 不等式的解集为 D. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为2 8. 已知实数m，n满足，，则下列判断正确是（ ） A. B. C D. 9. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形和是正方形，点O是正方形对角线和的交点，点E和点G分别在边和上，分别与，交于点P，点M．下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若四边形的边长为2，则长度的最小值为 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________． 12. 定义运算：．例如．若，则a的值是_____． 13. 已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是____． 14. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，，设，的中点分别为C，D，点P为上动点，当的值最小时，点P的坐标为_____． 15. 在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形，顶点在边上，顶点在边上．则正方形的边长为_____． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 17. 已知，一次函数的图象经过点与点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点和点在一次函数的图象上，请比较与的大小． 18. 如图，平面直角坐标系中，各顶点均在网格线的格点上，图中每个小正方形的边长均为1个单位． （1）将向右平移4个单位得到，请画出平移后的图形； （2）以点O为位似中心，作出的位似图形，使与的相似比为； （3）在（2）的条件下，的边上有一点，则它的对应点的坐标为_______． 19. 某超市购进一批水果，运输过程中质量损耗，只计购进水果的费用，其它费用忽略不计． （1）若该超市在进价的基础上提高作为售价，请通过计算说明超市是否亏本； （2）若该超市至少获得的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？ 20. 汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． （1）求车头盲区的长度； （2）在M处有一个高度为0.4米物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 21. 为增强学生的科技兴趣与实践能力，某学校购买了一批无人机和遥控车．已知购买无人机比遥控车的单价多200元，用4000元购买无人机和用2400元购买遥控车的数量相同． （1）求无人机、遥控车的单价分别是多少元？ （2）学校计划再次购买无人机和遥控车共60台，购买遥控车的数量不超过无人机的3倍，且无人机和遥控车均享受八折优惠．求购买无人机和遥控车各多少台时费用最少？最少费用是多少元？ 22. 如图1，将矩形绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为，得到矩形．连接，过点E作交于点M． （1）求证：； （2）如图2，连接，若射线分别交于点P，N，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 23. 【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 （时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1、本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、选项图形不轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 如图是一块含角的三角板，若内外两三角形斜边长的比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形对应边成比例；相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方．利用相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个三角形是含角的三角板， ∴这两个三角形相似， ∵它们的斜边之比为， ∴它们的面积之比为， 即它们的面积比为 故选：C． 3. 某影院的8号厅正在放映电影，甲，乙两名工作人员对于厅内观影的人数说法如下，甲：“观影人数不超过25人．”乙：“观影人数不足30人．”已知甲的说法错误，乙的说法正确，则8号厅的观影人数可能为（ ） A. 25 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等关系，设观影人数是人，根据甲的说法错误可得：，根据乙的说法正确可得：，可得在8号厅的观影人数的取值范围是，根据取值范围确定人数即可． 【详解】解：设观影人数是人， 甲的说法错误， 观影人数超过了人 ， 乙的说法正确， 观影人数不足人， ， ∴， 只有在取值范围内， 在8号厅的观影人数可能为人， 故选：B． 4. 若一次函数的图象经过一、三、四象限，则k的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“⇔的图象在一、三、四象限”是解题的关键． 由一次函数的图象经过一、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴， ∴． 故选：B． 5. 五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法中错误的是（ ） A. 景点离亮亮的家180千米 B. 亮亮到家的时间为17时 C. 小汽车返程的速度为60千米/时 D. 10时至14时小汽车匀速行驶 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的纵坐标，可判断A；根据待定系数法，可得返回的函数解析式，根据函数值与自变量的对应关系，可判断B；根据函数图象的纵坐标，可得返回的路程，根据函数图象的横坐标，可得返回的时间，根据路程与时间的关系，可判断C；根据函数图象的纵坐标，可判断D． 【详解】解：A、由纵坐标看出景点离小明家180千米，故A正确； B、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，180÷60=3，由横坐标看出14+3=17，故B正确； C、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，即速度为60千米/小时，故C正确； D、由纵坐标看出10点至14点，路程不变，汽车没行驶，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间是解题关键． 6. 若，则n的值为（ ） A. 40 B. 41 C. 50 D. 51 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，观察乘积式子结构，发现分子分母可逐项约简，最终化简为，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 小亮通过“列表、描点、连线”画函数的图象时，列出如下表格： … 0 1 2 … … 8 6 4 2 0 … 则下列说法正确的是（ ） A. 函数值y随x的增大而增大 B. 函数图象不经过第四象限 C. 不等式的解集为 D. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先用待定系数法求一次函数解析式，再用一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，即可选出正确选项． 【详解】解： 由表格知，当时，，即；当时，，代入得，解得， 故函数解析式为； A、，函数值随的增大而减小，错误； B、函数图象经过点和，连接这两点必经过第四象限（如时），错误； C、解不等式，得，即，正确； D、图象与坐标轴交于和，围成三角形面积为，错误， 故选：C． 8. 已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键． 本题运用相似三角形的判定与性质求出对应线段的比例关系，再结合已知线段长度求出相关线段长度，最后利用三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】如图： 过点作交于点，延长交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，四边形和是正方形，点O是正方形对角线和的交点，点E和点G分别在边和上，分别与，交于点P，点M．下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若四边形的边长为2，则长度的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，再由全等三角形的判定即可判断A选项；利用相似三角形的判定和性质及三角形外角和即可判断选项B；利用三角形内角和定理即可判断选项C；设，则，利用勾股定理及二次函数的最值问题即可判断选项D． 【详解】∵四边形和是正方形，点O是正方形对角线和的交点， ，，， ，即， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 为对角线， ， ， ， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； ，， ， 为对角线， ， ， ， 故选项C正确，不符合题意； 设，则， ∵四边形的边长为2， ， ， ∴当时，取得最小值为2， 长度的最小值为， 故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的最值问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得，，则是直角三角形，根据勾股定理得的长，得，即可得． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出的长． 12. 定义运算：．例如．若，则a的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求平方根、二次根式乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定义得到，进而得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，由得 ∴ 解得 故答案为： 13. 已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，先求得交点坐标，再根据两条直线的交点的坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得：， ∴ 即直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是； 故答案为：． 14. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，，设，的中点分别为C，D，点P为上动点，当的值最小时，点P的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、最短路线问题，熟练掌握这三个知识点的综合应用，最短路线问题中点的确定及求出直线的解析式是解题关键． 作C点关于中的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据中点坐标公式求出、点的坐标，再求出直线的解析式，再求出与轴的交点坐标即可． 【详解】解：作点关于轴对称点，连接交轴于点，如图所示： ， ，即当三点共线时，的值最小， ，，点，分别是，的中点， ，， ， 设直线为， 把，，代入得，解得， ， 令，， ， 故答案为：． 15. 在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形，顶点在边上，顶点在边上．则正方形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得，，证明得，设正方形的边长为，然后将已知线段的长度代入比例中，求出的值即可；用同样的方法求出正方形的边长；根据前面两个正方形的边长的规律得到正方形的边长与之间的关系，然后令即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设正方形的边长为， ， ∵，， ∴，， ∴， 解得：，即正方形的边长为； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设正方形的边长为， ， ∴，， ∴， 解得：， 即正方形的边长为； ∵正方形的边长为：， 正方形的边长为：， ∴正方形的边长为， 当时，正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质等知识，确定正方形的边长与之间的关系是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）；（2），整数解是-1，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元一次不等式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先对二次根式化简，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出所有整数解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：， 由②得，． 所以原不等式组的解集为， 所以原不等式组的所有整数解是，0，1，2． 17. 已知，一次函数的图象经过点与点． （1）求一次函数的表达式； （2）若点和点在一次函数的图象上，请比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数表达式，一次函数的性质，正确求出函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：因为直线经过点与点， 所以， 解方程组得 所以该一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：因为，y随x的增大而增大， 又因为，所以． 18. 如图，平面直角坐标系中，各顶点均在网格线的格点上，图中每个小正方形的边长均为1个单位． （1）将向右平移4个单位得到，请画出平移后的图形； （2）以点O为位似中心，作出的位似图形，使与的相似比为； （3）在（2）的条件下，的边上有一点，则它的对应点的坐标为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换，作图-平移变换，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质得到对应点，再顺次连接对应点即可得到结论； （2）根据位似图形性质，结合相似三角形的性质，在位似中心的同侧和异侧得到对应点，再顺次连接对应点即可得到结论； （3）根据位似图形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作： 【小问3详解】 解：由（2）得，的边上有一点， 则它的对应点的坐标为或， 故答案为：或． 19. 某超市购进一批水果，运输过程中质量损耗，只计购进水果的费用，其它费用忽略不计． （1）若该超市在进价的基础上提高作为售价，请通过计算说明超市是否亏本； （2）若该超市至少获得的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？ 【答案】（1）超市亏本 （2）这种水果的售价最低应提高 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式． （1）设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，由，知这一次销售中超市亏本； （2）设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，这种水果的售价应提高，根据超市至少获得的利润得，解出x范围可得答案． 【小问1详解】 解：设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元， 超市最终的销售额为元， 因为， 所以这一次销售中，超市亏本． 【小问2详解】 设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的进价为n元，设这种水果的售价最低应提高， 依题意得：， 解得： 所以这种水果的售价最低应提高． 20. 汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． （1）求车头盲区的长度； （2）在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 21. 为增强学生的科技兴趣与实践能力，某学校购买了一批无人机和遥控车．已知购买无人机比遥控车的单价多200元，用4000元购买无人机和用2400元购买遥控车的数量相同． （1）求无人机、遥控车的单价分别是多少元？ （2）学校计划再次购买无人机和遥控车共60台，购买遥控车的数量不超过无人机的3倍，且无人机和遥控车均享受八折优惠．求购买无人机和遥控车各多少台时费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）无人机的单价为500元，遥控车的单价为300元 （2）购买无人机15台，遥控车45台时费用最少，最少费用是16800元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设遥控车单价为x元，则无人机单价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程即可求解； （2）设购买无人机m台，则购买遥控车台，先根据题意列不等式求解，再设共花费元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设遥控车单价为x元，则无人机单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元） 所以，无人机的单价为500元，遥控车的单价为300元． 【小问2详解】 解：设购买无人机m台，则购买遥控车台， 根据题意，得， 解得，即， 设共花费元，则， 因为，所以w随m的增大而增大， 因为，所以当时，w值最小． ，（台） 所以，购买无人机15台，遥控车45台时费用最少，最少费用是16800元． 22. 如图1，将矩形绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为，得到矩形．连接，过点E作交于点M． （1）求证：； （2）如图2，连接，若射线分别交于点P，N，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、矩形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，证明，得到，再根据平行线的性质及等量代换得到，再根据等边对等角得到，进而角的和差运算可得结论； （2）证明，利用相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 由矩形与旋转可得：，， 在和中， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以 则， 所以； 【小问2详解】 解：． 证明：如图2，在和中， 由（1）知，即 又因为， 所以， 所以， 所以． 23. 【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 【答案】（1）6，3；（2）最小值是；（3）①见解析；②当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得可得代数式的最小值为取最小值，再计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，结合相似三角形的判定与性质进行计算即可得解；②由，则，再仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】解：（1）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为， 此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵，要使最小， ∴最小即可． ∵时， ∴， ∴的最小值是，即的最小值是． （3）①∵正方形， ∴，， 设，，边上的高，则， ∵锐角三角形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，则， ∵， ∴当时，有最小值为，此时， ∴当时，有最小值为， ∴有最大值， ∴有最大值为，即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$