精品解析：广东省河源地区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2025年春季期末教学质量检测 八年级数学学科试卷 说明：1．全卷含答题卡共8页，满分120分，考试用时为120分钟． 2．本次考试范围：九年级上册、九年级下册第一单元内容． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C D. 4. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 5. 若关于的分式方程有增根，则增根为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 8. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，现将绕着顶点A顺时针旋转至处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在内部，过E作于点F，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题（6小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 12. 正十二边形每个内角的度数为 ． 13. 如图，在□ABCD中，点E在AD上，且平分，若，，则□ABCD的面积为______． 14. 关于的不等式组的解集为，则的值为_____． 15. 如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有____________________________（填正确的序号）． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解分式方程：． 17. 化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 18. 在中，点D，F分别为边AC，AB中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． （1）求证：； （2）请求出的长． 20. 如图， （1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形． ①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） ②猜想与证明：在上述操作条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图①，的对角线和相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E和点F． （1）求证：； （2）如图②，已知，． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，求的周长． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，张老师将同学们分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，． 【解决问题】 （1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点，，在同一条直线上），连接，．发现，请你给予证明； （2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积； 拓展延伸】 （3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“在（2）题的位置处，将的边放在线段上滑动，并带动一起在线段上来回滑动，记作，点在线段右侧，连接，求线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期末教学质量检测 八年级数学学科试卷 说明：1．全卷含答题卡共8页，满分120分，考试用时为120分钟． 2．本次考试范围：九年级上册、九年级下册第一单元内容． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查不等式的性质，根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，故此选项不符合题意； B．若，则，故此选项不符合题意； C．若，则，故此选项符合题意； D．若，则，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：根据因式分解的定义，可知A，C，D选项不是把一个多项式转化成几个整式积的形式， 只有B选项，是因式分解， 故选：B． 4. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形， 故选：C． 5. 若关于的分式方程有增根，则增根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在去分母过程中会产生令分母为零的根，这就是增根．根据增根的定义可判断． 【详解】解：分式方程的增根就是分母为零时未知数的值， 故，即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程中增根的定义，熟练掌握增根的定义是解题关键． 6. 如图，在，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质是解题关键．根据垂直平分线的性质得出，根据平行四边形的性质得出，利用等量代换解线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：如图，设、交于点， ∵对角线的垂直平分线分别交、于点、， ∴， ∵的周长为， ∴，，， ∴的周长为， 故选：B． 7. 把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的和， 得， ∴把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值不变， 故选：A． 8. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，得到， 故选：C． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 10. 如图，在中，，现将绕着顶点A顺时针旋转至处，其中点B，C的对应点分别为D，E，点D在内部，过E作于点F，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键． 根据旋转的性质得到，由角的和差可得，则，然后证明为等腰直角三角形，所以，再根据勾股定理可得，即可的长． 【详解】解：∵将绕着顶点A顺时针旋转至处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（6小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12. 正十二边形每个内角的度数为 ． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：=30°， 则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°． 故答案为150°． 13. 如图，在□ABCD中，点E在AD上，且平分，若，，则□ABCD的面积为______． 【答案】32 【解析】 【分析】过点E作，垂足为F，利用直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，最后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点E作，垂足为F， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， 又平分，即， ∴， ∴， ∴四边形的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键． 14. 关于的不等式组的解集为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于、的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组的解集为： ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有____________________________（填正确的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①利用三角形的中线，可知△ABE和△BEC是等底同高的两个三角形，即可判断； ②根据等角的补角相等先证明∠AFC=∠DGC，再利用对顶角相等即可判断； ③根据同角的余角相等证明∠FAG =∠ACD即可判断； ④根据已知条件不能推出∠HBC和∠HCB的关系，即可判断． 【详解】解：∵BE是AC边的中线， ∴AE= EC， ∴， 故①正确； ∵ CF平分∠ACB， ∴， ∵∠BAC= 90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②正确； ∵∠BAC = 90° ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠BCF， ∴， 故④错误； ∴上面说法中正确的有3个， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了三角形中线、高和角平分线的性质，熟练三角形的内角和定理、外角性质是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题关键． 先找到公分母，并按照“去分母，移项，合并同类型，系数化为1”等步骤解方程，并进行检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 当时，， ∴这个方程的解为． 17. 化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ∵ ∴或3 当时，原式. 18. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用SAS直接证明； （2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵点F为边AB的中点， ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵点D为边AC的中点， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形BCDE是平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． （1）求证：； （2）请求出的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由，，根据同角的余角相等即可求解； （2）证明，由全等三角形的性质得，最后由线段和差即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中： ， ， ， ， ． 20. 如图， （1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形． ①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） ②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）②和③；证明见解析 （2）①见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）选择②③；由，可得，则，可证，进而结论得证； （2）①作角平分线如图1；②由是平行四边形，可得，由平分，，可得，则，即． 【小问1详解】 解：选择②③；证明如下； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ①解：作角平分线如图1； ②解：，理由如下； ∵是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，作角平分线，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，作角平分线，角平分线的定义，等角对等边是解题的关键． 21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图①，的对角线和相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E和点F． （1）求证：； （2）如图②，已知，． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，垂直平分线的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握知识点是解题的关键． (1)先证明，继而证明，可推导出，即可解答； (2)①先证明，推导出，再由，即可解答； ②先证明垂直平分，则，继而求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 ①∵四边形 是平行四边形， ∴， ． 又∵， ∴， ∴ ∴． ∵． ∴． ②∵， ∴垂直平分． ∴． ∵在中， ， ∴． ∴的周长． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，张老师将同学们分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，． 【解决问题】 （1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点，，在同一条直线上），连接，．发现，请你给予证明； （2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积； 【拓展延伸】 （3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“在（2）题的位置处，将的边放在线段上滑动，并带动一起在线段上来回滑动，记作，点在线段右侧，连接，求线段的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，从而得出； （2）作于F，作，交的延长线于G，可证得四边形是矩形，从而求得，，进而得出结果； （3）可推出点在的右侧且离距离得直线l上运动，当时，最小，当点在C处时，最大，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作于F，作，交的延长线于G， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图2， ∵到直线的距离是， ∴点在的右侧且离距离得直线l上运动， 当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ， 当点在C时，（即图1中的位置）最大， 由上图1知：， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键确定运动轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $