精品解析：广东省河源市连平县2023—2024学年下学期八年级期末数学试卷

2023-2024学年广东省河源市连平县八年级（下） 期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，2， C. 6，8，11 D. 2，3， 2. 如图，在中，，，若，则的长是（　 ） A. 2 B. 4 C. D. 8 3. 如图，在平行四边形中，，则（　 ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 5. 下列分解因式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. A，B 两地相距千米，一艘轮船从A地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少分钟， 已知船在静水中航行的速度为千米/时．若设水流速度为x千米/时（）， 则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（ ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，、的角平分线交于边上一点，且，线段的长为（　　） A. B. C. D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：________． 12. 分解因式：__________． 13. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 15. 如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是___________ 16. 如图，已知在四边形中，，平分交于点，于点，于点，，，则的面积为_______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，为的角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． （1）若为的中点，求证：； （2）若平分，求的度数． 21. 如图，在中，． （1）作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若，且，求的长． 22. 【资料阅读】杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．两数的立方差公式是：，这个公式的推导过程如下： ， ， ， ， ， ． 【方法提取】（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式：．（从左往右推导） 【学以致用】（2）已知，，求的值． 23. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个． （1）求足球和篮球的单价分别是多少元？ （2）为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？ 24. 如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的度数． 25. 数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省河源市连平县八年级（下） 期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，2， C. 6，8，11 D. 2，3， 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．根据勾股定理逆定理：满足，即为直角三角形，将各个选项逐一代入计算即可得出答案． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 如图，在中，，，若，则的长是（　 ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据性质直接能得到点D是线段的中点,即可求解. 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，为底边上的高， ∴平分，为边上的中线. ∵， ∴， 故选：B. 3. 如图，在平行四边形中，，则（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，根据平行四边形的性质得到，，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点解不等式，理解图示，掌握一次函数图象的性质，交点的意义是解题的关键． 根据一次函数图象的交点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：直线与直线交于点， ∴不等式的解集为， 故选：A ． 5. 下列分解因式中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． 【详解】解：A. ，不是完全平方公式，不能分解，符合题意； B.，分解因式正确，不符合题意； C. ，分解正确，不符合题意； D. ，分解正确，不符合题意； 故选A． 6. 如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得，由旋转的性质可得旋转角为． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵将经过旋转到的位置， ∴旋转角为， 故选：D． 7. 如图，在等边中，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，30度角的直角三角形的性质，熟练知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，，进而利用平行线的性质和含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：三角形是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. A，B 两地相距千米，一艘轮船从A地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少分钟， 已知船在静水中航行的速度为千米/时．若设水流速度为x千米/时（）， 则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间的关系列方程是解题的关键． 顺流的速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，根据路程、速度、时间的关系表示出船顺流所用的时间和逆流所用的时间，根据时间的关系建立分式方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 9. 如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（ ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知，时，， ∴， 即．故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即， ∴，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 综上所述，说法正确的有3个． 故选：C 10. 如图，在中，、的角平分线交于边上一点，且，线段的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，，，由角平分线的性质和平行线的性质可得，，易证，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， 、的角平分线交于边上一点， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为： 13. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得： ， 解得． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 15. 如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得到，由中点定义得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， 分别是的中点， ， 是的中位线， ， 需要篱笆的长是． 故答案为： 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到． 16. 如图，已知在四边形中，，平分交于点，于点，于点，，，则的面积为_______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，添加辅助线应用角平分线的性质是解题的关键．过作于，则，即可求出的面积，证明是的中线，由三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于， 而， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， 是边上的中线， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： ， ， ， ， 解不等式②得： ， ， ， ， ， 不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算分式的混合运算，再将字母的值代入求出结果即可，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 当时，原式． 19. 如图，在中，，为的角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理， （1）根据，结合，证明出即可得到； （2）首先得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，然后利用三线合一性质得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ． ，为的角平分线， ． ． ． 20. 如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． （1）若为的中点，求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、平移的性质、平行线的性质、全等三角形的判定、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据平移的性质可得，，进而可得，再证明，然后根据“”证明即可； （2）首先根据角平分线的定义可得，结合易得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵由沿射线的方向平移所得， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴． 21. 如图，在中，． （1）作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由等腰三角形的性质可得，结合线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，最后根据含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ， ． 又是的垂直平分线， ． ． ． 在中，， 又 ． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质是解答本题的关键． 22. 【资料阅读】杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．两数的立方差公式是：，这个公式的推导过程如下： ， ， ， ， ， ． 【方法提取】（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式：．（从左往右推导） 【学以致用】（2）已知，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的因式分解，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． （1）把分成，推导出立方和公式即可． （2）首先将原式变形为，再将，代入，求出的值是多少即可． 【详解】解：（1） （2） ，， 原式 23. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个． （1）求足球和篮球的单价分别是多少元？ （2）为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？ 【答案】（1）足球的单价是30元，篮球的单价是90元 （2）最多能购买篮球12个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用； （1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据“篮球的单价是足球的单价的倍，购买足球共花费元，购买篮球共花费元，购买足球的数量比购买篮球的数量多个”，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买蓝球个，则购买足球个，根据总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（元）； 答：足球的单价是元，篮球的单价是元； 【小问2详解】 角：设可以购买个篮球，则可以购买个足球， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大整数解为． 答：最多能购买篮球个． 24. 如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出；证明是的中位线，得出，证出，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，再由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 25. 数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）直接利用证明即可得出； （2）①如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得，即为的中点，进而求得的长即可； ②在上截取．连接，根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：根据作图可得，又， ， ， 即； 故答案为：； （2）①如图：过点作，垂足为点， 和的平分线交于点， ，即， ； ②如图：在上截取．连接， 是的角平分线， ， 又， ． ， 又， ； （3），理由如下： ， 是的两条角平分线，且交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $