精品解析：2025年湖北省初中学业水平考试数学适应性测试卷(一)

2025年湖北省初中学业水平考试数学适应性测试（一） （解答参考时间：120 分钟，满分：120 分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30 分） 1. 传统文化情境·谚语我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升记作，那么傍晚温度下降记作（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次一定可以投中次 C. 调查全国数学老师对初中数学核心素养了解情况，应采用全面调查 D. 方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小 6. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ） A. 直线是的垂直平分线 B. C. D. 8. 如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似的刻画甲容器的水面高度随时间t（分）的变化情况的是（ ） A. B. C. D. 9. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5 题，每题3分，共15 分） 11. 计算：________________． 12. 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 _____象限． 13. 小诚和爸爸搭乘长途汽车回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是长途汽车座位示意图），则小诚和爸爸分配座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是______． 14. 在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则___________． 15. 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则_______________． 三、解答题（共9 题，共75分） 16. 计算：． 17. 如图，在四边形 中，， 是边的中点， 是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．求证：． 18. 如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是 米．（参考数据：，，，） 19. 为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80-89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如下： d．七年级、八年级各抽取20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 81 m 167.9 八年级 82 81 108.3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中m的值； （2）该校目前七年级有学生300人，八年级有学生200人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生各有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生成绩较好，并说明理由． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则的取值范围为__________． 21. 如图，，分别与相切于点，，交于点，连接，． （1）求证：； （2）过点作于点，若，，求的长． 22. 某农庄计划在亩空地上全部种植蔬菜和水果，种植蔬菜面积大于种植水果面积，且均为正整数，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系为；小李种植水果所得报酬（元）与种植面积（亩）之间的函数关系为． （1）若小张种植蔬菜为亩，用含的代数式表示下列各量： ①小李种植水果的面积为 亩； ②小张种植蔬菜所得的总工资为 元； ③小李种植水果所得的报酬为 元； （2）若农庄支付小张和小李的总费用为元，求小张与小李种植的面积各为多少亩？ （3）直接写出农庄支付给小张和小李的总费用的最大值． 23. 【问题背景】（1）如图1，E为的边上一点，，过点A作，且．连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在 中，，， 平分，E为上一点，且，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，在中，， ，，D、E分别是边上的动点，且，直接写出 的最小值 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值； （3）过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年湖北省初中学业水平考试数学适应性测试（一） （解答参考时间：120 分钟，满分：120 分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30 分） 1. 传统文化情境·谚语我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升记作，那么傍晚温度下降记作（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：温度上升记作，那么傍晚温度下降记作； 故选：C 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键； 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可得到答案. 【详解】解：第一个和第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第二个图形和第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 故既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个． 故选B． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握数轴上表示不等式的解集的方法．先根据不等式性质求出解集，再将不等式的解集表示在数轴上即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∴数轴表示为： 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式的除法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项．逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A、，原计算错误，选项错误； B、，原计算错误，选项错误； C、，原计算错误，选项错误； D、，原计算正确，选项正确； 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B. 已知某篮球运动员投篮投中概率为，则他投次一定可以投中次 C. 调查全国数学老师对初中数学核心素养的了解情况，应采用全面调查 D. 方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件概率、方差、全面调查．根据全面调查，概率，方差的意义，逐项判断即可求解． 【详解】A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误； B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次不一定可投中次，故原说法错误； C、调查全国数学老师对初中数学核心素养的了解情况，应采用抽样调查，故原说法错误； D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确； 故选：D． 6. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为直径，即， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ） A. 直线是的垂直平分线 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可． 【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意； B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线， ∴点E是的中点，， 在中，， ∴， ∴， 即点D是的中点， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∴， 故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 8. 如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似的刻画甲容器的水面高度随时间t（分）的变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力， 根据三个阶段甲容器的水面高度随时间的增长速度确定出此题正确的结果． 【详解】解：∵刚开始时注水都在甲容器，水面高度h增长速度不变； 当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度不变； 当乙容器水位也到达连通部分后，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度上升但速度比开始时慢， ∴选项A中图象符合该变化过程， 故选：A． 9. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如解析图所示，中，，，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：如图所示，在中，，， ∴， ∴， ∴被测物体表面的倾斜角为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，正确理解题意是解题的关键． 10. 抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，利用二次函数的图象判断式子的正负，二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：由图象得， 对称轴在y轴的左侧， ， ，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 当时，，即， ，即， ∴， ， ，故C错误，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴有两个不同的交点， ， ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共5 题，每题3分，共15 分） 11. 计算：________________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是分式的减法运算，掌握分式的减法法则是解题关键． 12. 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 _____象限． 【答案】一 【解析】 【分析】因为在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，所以，所以点在第一象限． 【详解】解：∵在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴， ∴点在第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 13. 小诚和爸爸搭乘长途汽车回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是长途汽车座位示意图），则小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 一共有种可能的情况，小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座的情况有种， ∴小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是：， 故答案为： 14. 在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则___________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：13． 15. 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长． 【详解】四边形是矩形， ，， 将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（舍去）， 同理可得， ， 即， 解得， 即． 故答案为：． 三、解答题（共9 题，共75分） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的运算．利用零指数幂，有理数的乘方法则，立方根的定义计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形 中，， 是边的中点， 是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，线段中点定义，平行线的性质，由，即有，所以，通过中点定义可得，然后通过“”即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，即有， ∴， ∵是边的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴． 18. 如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是 米．（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定和解直角三角形的实际应用，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证出四边形是矩形，在中，求出的长，根据矩形性质求出的长，进而在中，正切值求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 答：盲区中的长度约为． 故答案为：． 19. 为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80-89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如下： d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 81 m 167.9 八年级 82 81 108.3 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中m的值； （2）该校目前七年级有学生300人，八年级有学生200人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生各有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生成绩较好，并说明理由． 【答案】（1）补全图形见解析，82 （2）七年级成绩达到优秀的学生有75人，八年级成绩达到优秀的学生有60人； （3）八年级的学生成绩较好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得七年级成绩位于的有4人；七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，即可求解； （2）先求出八年级成绩优秀的所占的百分比，再分别用300，200乘以各自的百分比，即可求解； （3）从平均数、方差方面分析，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级成绩位于的有4人， 补全图形如下： 七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83， ∴七年级成绩的中位数； 【小问2详解】 解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为 ∴八年级成绩优秀的所占的百分比为， ∴八年级成绩达到优秀的学生有人， 七年级成绩达到优秀的学生有人； 【小问3详解】 八年级的学生成绩较好，理由如下： 从平均数方面看，八年级的平均成绩比七年级更高；从方差方面看，八年级的方差较小，成绩相对更稳定． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，利用平均数和方程做决策，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则的取值范围为__________． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移等，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设与的图象交于，两点，求出，，再观察函数图象即可求解． 小问1详解】 解：过点， ， 即反比例函数：， 当时，，即， 过和， 则， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，设与的图象交于，两点， 向下平移两个单位得且， ， 联立， 解得或， ，， ， 或． 故答案为：或． 21. 如图，，分别与相切于点，，交于点，连接，． （1）求证：； （2）过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，切线长定理，圆周角定理，角平分线性质定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，设与于点，由切线长定理可得，，，可证明垂直平分，则有，所以，，又，则，从而求证； （）连接，，设与于点，同（）得垂直平分，所以，又 ，则有，然后通过解直角三角形和线段和差即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，，设与于点，如图， ∵，分别与相切于点，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，，设与于点，如图， ∵，分别与相切于点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 某农庄计划在亩空地上全部种植蔬菜和水果，种植蔬菜面积大于种植水果面积，且均为正整数，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系为；小李种植水果所得报酬（元）与种植面积（亩）之间的函数关系为． （1）若小张种植蔬菜为亩，用含的代数式表示下列各量： ①小李种植水果面积为 亩； ②小张种植蔬菜所得的总工资为 元； ③小李种植水果所得的报酬为 元； （2）若农庄支付小张和小李的总费用为元，求小张与小李种植的面积各为多少亩？ （3）直接写出农庄支付给小张和小李的总费用的最大值． 【答案】（1），，； （2）小张种植的面积为18亩，小李种植的面积为12亩； （3）当时，农庄支付给小张和小李的总费用的最大，最大值为4348元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数关系式． （1）根据题意列式即可得到结论； （2）根据小张和小李的总费用为元列方程，解方程即可得到结论； （3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w元，根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：①小李种植水果的面积为亩； ②小张种植蔬菜所得的总工资为元； ③小李种植水果所得的报酬为元； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得，， ∵种植蔬菜面积大于种植水果面积，即，即， ∴不符合题意，舍去； 小张种植蔬菜面积为18亩，小李种植的水果面积为亩； 答：小张种植蔬菜面积为18亩，小李种植的水果面积为12亩； 【小问3详解】 解：设农庄支付给小张和小李的总费用为w元， 根据题意得，， ∵，且均为整数， ∴当时，农庄支付给小张和小李的总费用的最大，最大值为元． 23. 【问题背景】（1）如图1，E为的边上一点，，过点A作，且．连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在 中，，， 平分，E为上一点，且，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，在中，， ，，D、E分别是边上的动点，且，直接写出 的最小值 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质等知识点，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键． （1）由平行线的在可得，再利用即可证明结论； （2）如图2：过点C作交的延长线于G，得出，进而得出得出，再证明，即可解答； （3）如图3：过点A作，过点C作于M，得出，求出，在上取一点N，使，判断出，得出，进而得出要最小，则最小，即最小值，然后用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图2：过点C作交的延长线于G， ∵ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过点A作，过点C作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上取一点N，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴∠DAN=∠ABE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要最小，则最小， ∴点C，D，N在同一条线上，即最小为， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 故答案为：． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值； （3）过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2） （3）① ②当时，P点有2个，当时，P点只有1个 【解析】 【分析】（1）把，，两点坐标代入，求出a，b的值即可； （2）过点P作轴交于点Q，连接，证明轴，得出直线的解析式为，设，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①设，且，则，根据对称性可得，则，进而分类讨论得出； ②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：把，两点坐标代入，得： ， 解得，； 【小问2详解】 如图1所示，过点P作轴交于点Q，连接， 由（1）可得抛物线解析式为， 对称轴为直线， 当时，，则， ∵，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴轴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 所以直线BC的解析式为， 设， ∵点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则且，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：或(舍去)； 【小问3详解】 如图2所示， 设，且，则， 过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N， 则N点与P点关于对称， ∴， ∴，， ∴； 当时，， 当时，， ∴； ②∵， 当时，， ∵当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，d随m增大而增大，上限为6(取不到)， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而减小， 当时，(取不到)， 函数图象如图所示， ∴当时，P点有2个，当时，P点只有1个． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合问题，难度较大，运用数形结合思想解题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$