2026年河南省平顶山市鲁山县第三协作区二模数学试题

2026年中考学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.的相反数是（ ） A.6 B. C. D. 2.埃米是晶体学、原子物理、超显微结构等常用的长度单位，音译为“埃”，符号为，等于..用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3.化简的结果为（ ） A. B.16 C. D.8 4.数学活动课上，伍老师带领学生制作简易测角仪，并利用它进行测量． ①制作：如图1，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物． ②测量：如图2，将测角仪托起放到眼前，使视线沿着半圆形量角器的直径到达路灯的最高点，读数如图3所示．则图2中的度数为（ ） A. B. C. D. 5.某班级评选校级“三好学生”的规则如下：最终得分按“组织能力”占、“期末成绩”占、“平时成绩”占、“卫生纪律”占进行计算（各项满分均为100分），小明这四项的得分依次为90分，95分，93分，85分，则他的最终得分是（ ） A.91.5分 B.91.8分 C.92.0分 D.92.3分 6.如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 7.如图，中，，，，为的中点，连接交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8.某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元就有两次转转盘的机会，规则如下：如图，转盘被等分成三个扇形区域，三个扇形上分别写有1元、2元、5元，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的返利金（若指针指在边界上，则重转）．刘阿姨购物满200元，则她转得最大返利金的概率为（ ） A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在轴的上方，其中，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10.绿色低碳出行助力“双碳”目标，电动自行车低碳环保，为城市可持续发展贡献力量．某电动车生产厂家对某款电动自行车进行道路性能测试，让该车在平直路面上由静止开始安全行驶12s，并从第2秒开始记录速度、时间、牵引力的相关数据，绘制成如图1所示的速度与时间的函数关系图象、如图2所示的牵引力与时间的函数关系图象，其中电动自行车保持匀速行驶，且牵引力大小不变． 小贴士 功的定义：如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向上移动了一段距离，就说这个力对物体做了功． 功的计算公式：，其中， ：功，单位为焦耳（J）； ：力，单位为牛顿（N）； ：在力的方向上移动的距离，单位为米（m）． 下列结论正确的是（ ） A.内，速度随时间的增大而增大 B.内，牵引力与时间之间为反比例函数关系 C.第4.5s时，速度高于 D.最后2s，牵引力所做的功为210J 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请写出一个在数轴上位于原点左侧的点对应的数：______． 12.若一个正边形的每一个外角都为，则的值为______． 13.我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱，只云米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘．问米、麦各若干．译文：“现有米和麦子一共500石，总价是银子4057钱．只知道：米每石价值8.6钱，麦子每石价值7.25钱．问：米和麦子各有多少石？”若设米石，麦子石，则可列方程组为______． 14.如图，在扇形中，，，分别为，的中点，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为______． 15.如图，在菱形中，，，是对角线上一动点，将沿翻折，得到，连接．当以点，，，为顶点的四边形的一组对边平行时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分）（1）计算：（1）； （2）化简：． 17.（9分）综合与实践 【项目背景】 某班级同学在老师的带领下前往某企业开展综合实践活动，准备从多方面开展调查分析，为企业的进一步发展提供参考，其中一个项目是调查该企业职工的月收入． 【数据收集与整理】 同学们随机抽取了部分职工的平均月收入（单位：万元）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五组，绘制成如下不完整的统计图表． 平均月收入统计表 组别 收入万元 A B C D E 根据以上信息，回答下列问题． （1）图1中的值为______，图2中的值为______． 【数据分析与运用】 （2）平均月收入这组数据的中位数落在______组（填字母代号）． （3）该企业计划开展一次职工技能提升培训，为使培训更有针对性，需要确定优先覆盖的职工群体，有以下两个方向： 方向1：优先覆盖平均月收入万元的职工，帮助他们提升技能、增加收入； 方向2：优先覆盖平均月收入万元的职工，强化企业核心生产力量． 请你结合本次调查数据，为该企业推荐一个更合理的方向（从以上两个方向中选一个），并说明推荐理由． 18.（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为，对角线，交于点，反比例函数的图象经过的中点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将反比例函数的图象向下平移个单位长度后，恰好经过点，且平移后的图象与线段交于点，求的长． 19.（9分）为了测量斜坡上宝塔（如图1）的高度、某数学兴趣小组在斜坡的坡底处竖立标杆进行测量，如图2，测得斜坡的坡角、标杆米，斜坡米，在标杆顶端处测得宝塔顶端的仰角为．已知，点，，，，，在同一竖直平面内，为水平地面，求宝塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，，） 20.（9分）为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． （1）求矩形菜地的长和宽． （2）现要给这块菜地施肥，该社团计划购买A、B两种化肥共20千克．已知A种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；B种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施A种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 21.（9分）如图，内接于，且，是的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，连接并延长，交直线于点．若，，求的半径． 22.（10分）已知抛物线（，为常数）经过点． （1）若该抛物线经过点． ①求该抛物线的表达式； ②若点和点都在该抛物线上，且对于，都有，则的取值范围是______． （2）若对于任意实数，恒成立，求的值． 23.（10分）如图1，等边三角形的顶点在等边三角形的边上，点在下方．将绕点沿顺时针方向旋转，旋转角为（且），直线，交于点，连接． （1）观察猜想 当时，如图2，用等式表示线段，，的数量关系：______． （2）类比探究 当时，如图3，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且是直角三角形时，若，，请直接写出的面积． 数学参考答案 试卷答题策略 难度 试题分布 卷面分值 占比 答题策略 容易题 1～8题、11～13题、16～19题、20题（1）、21题（1）、22题（1）①、23题（1） 84分 70％ 审题抓关键词，计算细心规范，书写工整，确保基础题零失误． 中档题 9～10题、14题、20题（2）、21题（2）、22题（1）②、23题（2） 27分 22.5％ 控制做题时间，若卡壳超过3分钟先做标记跳过，保证整体节奏不乱．规范解答题书写步骤． 较难题 15题、22题（2）、23题（3） 9分 7.5％ 审题抓关键语句、精准画出图形，注意分类讨论防止漏解，活用核心模型与公式，限时作答不恋战． 1.参考答案A 解题思路 只有符号不同的两个数互为相反数，故的相反数是6，故选A． 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考中对实数的相关概念及大小比较的考查，一般以选择题的形式呈现，预测2026年会考查相反数的概念． 【临考提醒】此类型的题目四个选项比较类似，切勿因粗心大意而失分． 2.参考答案B 解题思路 ，．故选B． 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考中对科学记数法的考查，一般涉及绝对值大于10的数、绝对值小于1的数，预测2026年会考查绝对值小于1的数的科学记数法． 【得分锦囊】用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成的形式（其中，为整数）． 1.值的确定：． 2.值的确定： ①当原数的绝对值大于或等于10时，等于原数的整数位数减1． ②当原数的绝对值小于1时，是负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）． 3.参考答案D 解题思路 原式．故选D． 命题人讲评 【预测依据】分式的化简是河南中考的高频考点，常以解答题的形式在第16题设置，偶尔在选填题中设置，预测2026年会以选填题的形式考查分式的化简． 【临考提醒】此类试题难度较低，要注意运算细节，如运算过程中的因式分解、约分等，切勿因计算失误而丢分． 4.参考答案A 解题思路 如图，由测角仪读数为，可知视线与竖直方向的夹角为，即．由垂直于水平地面，细线竖直向下，可知，，故选A． 命题人讲评 【预测依据】相交线与平行线是河南历年中考中重点考查的基础知识之一，一般涉及平行线、对顶角、三角形外角的性质等，预测2026年会结合实际背景考查平行线的性质． 【临考提醒】本题核心是平行线的性质（同位角相等）与测角仪原理的结合，先看测角仪读数，再找平行线，最后利用平行线的性质求角度． 5.参考答案B 解题思路 小明的最终得分是（分），故选B． 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考通常在选填题中设置一道统计题，考查调查方式、“三数一差”或样本估计总体．预测2026年会考查加权平均数． 【得分锦囊】平均数是描述一组数据的平均水平的量，算术平均数的计算公式为，加权平均数的计算公式为其中，，，分别是，，，的权重）． 6.参考答案B 解题思路 左视图是指从立体图形的左面看到的平面图．俯视图的最上行对应左视图的最左列，俯视图最上行对应位置最高有3个小正方体，因此左视图最左列小正方形个数为3；俯视图的中间行对应左视图的中间列，俯视图中间行对应位置最高有3个小正方体，因此左视图中间列小正方形个数为3；俯视图的最下行对应左视图的最右列，俯视图最下行对应位置最高有2个小正方体，因此左视图最右列小正方形个数为2．故选B． 命题人讲评 【预测依据】三视图是河南中考的高频考点，预测2026年会考查小正方休搭成的几何体的三视图． 【临考提醒】三视图属于得分题，看清题目要判断的是主视图、左视图还是俯视图，先确定观察方向，再数每行／列最大层数，别混淆行和列． 7.参考答案C 解题思路 在中，，为的中点，．四边形是平行四边形，，，，．故选C． 命题人讲评 【预测依据】平行四边形是河南中考的高频考点，近几年稳定考查．预测2026年会以平行四边形为载体，考查相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等． 【得分锦囊】1．定理速用：看到“直角三角形＋斜边中点”，直接用“斜边上的中线等于斜边的一半”快速求得的长． 2.找相似比：平行四边形对边平行，形成“8”字型相似，可得． 3.线段拆分：由，可知占的． 8.参考答案A 解题思路 根据题意，画树状图如图： 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中10最大，且出现了1次，故刘阿姨转得最大返利金的概率为．故选A． 命题人讲评 【预测依据】概率的计算是河南中考的必考点，常要求考生利用列举法（列表法或画树状图法）求简单随机事件的概率，难度不高．预测2026年仍会在选择题或填空题中设置一道概率的计算题 【避坑指南】解决此类概率的计算题，考生要审清题意，判断是一步概率还是两步概率，如果是两步概率，那么判断是“放回”还是“不放回”，避免因审题失误而失分． 9.参考答案D 解题思路 如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，，．四边形是正方形，，，．又，．又，（提示：“一线三直角”），，，．同理可证，，， ，，故选D． 巧作辅助线：直角+等线段，构造“一线三直角”全等模型 命题人讲评 ［预测依据］河南历年中考中，对图形与坐标的考查较稳定，涉及点的坐标的求解、特殊三角形的性质、特殊四边形的性质、图形的变换等，预测2026年会结合正方形考查点的坐标的求解． ［得分锦囊］ 利用“一线三等角模型”解决问题的步骤 第一步：依据特征找模型 特征1：存在两个三角形共顶点； 特征2：存在三个相等的角的顶点在同一条直线上． 注意：1.若存在两个相等的角的顶点在同一条直线上，通常可在这条直线上再构造一个等角，得到“一线三等角”模型常见作法如图1． 2.在平面直角坐标系中，当已知一线上的一直角（两直角）时，可再构造两直角（一直角），示例如图2. 第二步：抽高换型 在题图中抽离出相似（全等）三角形 第三步：利用性质解题 利用相似（全等）三角形的性质解题 10.参考答案C 解题思路 分析如下： 分析 正误 A 根据题图1可知，内，速度随时间的增大而增大，内，速度不变． × B 根据题图2可知，，，，故内，牵引力与时间之间不是反比例函数关系（提示：反比例函数图象上每个点的横、纵坐标的乘积均相等）． × C 如图，，，连接，设点为线段的中点，则，根据图象可知，第4.5s时，速度高于（提示：数形结合）． √ D 最后2s行驶的路程，故牵引力所做的功． × 故选C． 命题人讲评 【预测依据】近几年河南中考第10题常设置函数图象的实际应用题，以生活、科技、安全为背景，考查图象的增减性、特殊点的意义与简单计算，侧重考查学生的读图能力及实际应用能力．预测2026年仍会结合跨学科背景考查此题型． 【临考提醒】解决实际问题中函数图象的分析与判断题时，要仔细阅读题干信息，分清横、纵轴代表的量，函数图象上升、下降代表的意义，函数图象上特殊点的横、纵坐标的意义等，将图象中的信息与题干信息结合，判断结论正误． 11.参考答案（答案不唯一） 解题思路 数轴上原点左侧的点对应的数均为负数，故直接写出一个负数即可． 命题人讲评 【预测依据】开放性试题是河南历年中考较频繁出现的命题形式，预测2026年会延续设置开放性试题． 【临考提醒】本题答案不唯一，属于基础开放性试题．数轴上原点左侧的点对应的数是负数，直接写，等比较简单的负整数，稳妥拿分． 12.参考答案8 解题思路 根据正边形的外角和为，且每个外角都为，可得． 命题人讲评 【预测依据】多边形是河南中考的常考点，预测2026年会考查正多边形的外角和． 【临考提醒】多边形的外角和均为，与边数无关，求正多边形边数直接用除以单个外角的度数即可． 13．参考答案． 解题思路 根据“米和麦子一共500石”可列方程为．根据“总价是银子4057钱”可列方程为，故方程组为 命题人讲评 【预测依据】二元一次方程组的应用是河南中考的常考点，一般在解答题中结合不等式、一次函数进行考查，预测2026年会在选填题中进行考查． 【临考提醒】解答此类古代数学背景的方程组问题，只需精准提取题干中的两个等量关系，如本题中“米和麦子一共500石”“总价是银子4057钱”，依据所设未知数，将两个等量关系转化为二元一次方程组． 14.参考答案 解题思路 方法一：如图1，，分别为，的中点，，，，．又，，．过点作于点，于点，连接，则（提示：两个全等三角形中对应边上的高相等），平分，，．，．又，，，，． 方法二：如图2，，分别为，的中点，，，．又，，．过点作于点，则，，，，．又，．，． 命题人讲评 【预测依据】不规则图形面积的计算是河南中考的热门考点，一般涉及扇形面积的计算，预测2026年仍会延续考查． 【得分锦囊】 阴影部分面积的计算方法 1.规则图形，可直接用公式求解． 2.分割求和（差）法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差．如图1，． 3.等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算．如图2，点为的中点，则．如图3，已知扇形，，则． 4.整体作差法：用整个图形的面积减去所有空白部分的面积．如图4，已知，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则． 5.容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积叠加前的几个图形的面积之和－（叠加部分的面积＋空白部分的面积）”求解．如图5，阴影部分是扇形和扇形的重叠部分，则． 15.参考答案8或 解题思路四边形是菱形，，，， ．由翻折的性质，得，，． 分两种情况讨论．①当时，如图1，则，，．过点作于点，则，．又，，，．②当时，如图2，则，，，四边形是平行四边形．又，．综上可知，的长为8或． 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考均注重对分类讨论思想的考查，一般在第，，题涉及，预测2026年仍会在第15题考查分类讨论思想的应用． 【临考提醒】解决本题的三个关键点：①快速锁定基础角度：根据菱形和，得出，．②抓住翻折的核心等量关系：，．③利用平行进行角度的转换，这是解题的突破口． 16.参考答案（1）原式． （2）原式． 命题人讲评 【预测依据】近几年河南中考第16题中，常常第（1）题考查实数的运算，第（2）题考查分式的化简或整式的化简，预测2026年会延续考查． 【临考提醒】在运算过程中，需注意运算顺序、运算法则的使用、符号的变化等，化简结果要最简． 17.参考答案（1）12 120 解法提示：样本容量，． “C”所在扇形圆心角的度数为，故． （2）C 解法提示：由A，B两组的总人数为，A，B，C三组的总人数为37，可知这组数据按从小到大排列后第30．个数据均在C组，故中位数在C组． （3）推荐方向1． 理由：样本中平均月收入万元的职工（，组）占比约为，这部分职工收入偏低，通过技能培训可帮助他们提高收入，缩小收入差距，同时增强企业凝聚力． 推荐方向2． 理由：样本中平均月收入万元的职工（，，组）占比约为，这部分职工是企业的核心生产力量．先对其开展培训，能更快提升整体生产效率，助力企业长远发展． （答案不唯一，合理即可） 命题人讲评 【预测依据】统计题是河南中考的必考题型，通常涉及统计图、统计表、“三数一差”、样本估计总体等．预测2026年会结合频数分布直方图、扇形统计图进行考查． 【临考提醒】1．求中位数时，先累计频数，再根据总频数的奇偶性确定中位数的位置，锁定对应数据所在的组：若为奇数，则锁定第个数据所在组；若为偶数，则锁定第个和第个数据所在组． 2.开放说理题必须结合样本数据，用占比或人数支撑观点，避免空泛表述． 18.解题思路（1）先求点的坐标，再将其坐标代入反比例函数的表达式，即可得到的值，问题得解．（2）先求点的坐标，再结合点的坐标，即可得到的值，方法一：将点的纵坐标代入平移后函数图象对应的表达式，即可求得点的横坐标，进而问题得解．方法二：求点在反比例函数的图象上的对应点的纵坐标，即可求得点的横坐标，进而问题得解． 参考答案（1）轴，，为的中点， ． 将代入，得， 故反比例函数的表达式为． （2）是矩形对角线，的交点，， 点的坐标为． 又， 点，是平移前后的一组对应点， ， 方法一：平移后函数图象的表达式为， 将代入，得， ，即，． 方法二：如图，设点是由反比例函数的图象上的点平移得到的，连接， 则． 又，． 将代入，得，， ，． 命题人讲评 【预测依据】近几年河南中考解答题中常会设置一道反比例函数综合题，多与几何图形结合，考查反比例函数的图象与性质、的几何意义等．预测2026年会结合特殊四边形、函数图象的平移变换进行考查． 【临考提醒】1．明确平移的本质：函数图象向下平移个单位长度，函数表达式变为，不要用错符号． 2.锁定线段的特征：平行于轴，所以上所有点的纵坐标都等于点的纵坐标，这是求点横坐标的突破口． 19.解题思路 分别构造含和的直角三角形，根据三角函数及线段间的数量关系计算即可． 参考答案 如图，延长交于点，过点作于点， 则，米． 在中，，，， （米），28.5（米）． 在中，，， （米）， （米）． 答：宝塔的高度约为13.6米． 命题人讲评 【预测依据】锐角三角函数的实际应用题是河南中考必考题型，要求考生利用所给角度的正弦值、余弦正切值解决实际问题，预测2026年会结合仰角、坡角考查． 【临考提醒】解决此类问题的核心在于“化斜为直”：通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形（锐角三角形和钝角三角形）问题转化为直角三角形问题，再利用锐角三角函数进行求解． 20.解题思路（1）根据矩形菜地的面积为15平方米，列一元二次方程进行求解．（2）设购买A种化肥千克，根据“要给15平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定的取值范围，再根据“总花费种化肥的花费种化肥的花费”，列出总花费与的函数关系式，最后结合一次函数的增减性与的取值范围确定购买方案． 参考答案（1）设矩形菜地的宽为米，则长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， （米）． 答：矩形菜地的长为5米，宽为3米． （2）设购买A种化肥千克，则购买B种化肥千克，总花费为元， 由题意，得， 解得． 由题意，得， ，随的增大而增大， 当时，取最小值， 此时． 答：购买A种化肥7.5千克，B种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少． 命题人讲评 【预测依据】河南历年中考中一次函数的实际应用，常结合方程（组）、不等式、一次函数进行考查，通过构建数学模型求表达式，并结合自变量的取值范围进行方案设计．预测2026年会结合一元二次方程考查一次函数的实际应用． ［避坑指南］1．错误理解篱笆的围合方式，误将篱笆总长8米当作矩形的周长，导致方程列错． 2.列不等式时不等号方向错误，如将“”误写成“”． 3.计算总花费时，将两种化肥的单价混淆，导致函数表达式列错． 21.解题思路（1）作，根据其对边平行可得．（2）连接，证明，得到对应边成比例，代入数值求得的长，进而求得的半径． 参考答案（1）如图1，直线即为所求作（作法不唯一）． （2）如图2，连接， 是的直径，（依据：直径所对的圆周角是直角） ，，． 又（依据：同弧所对的圆周角相等），， ，即，， 的半径为． 命题人讲评 【预测依据】2025年河南中考首次将尺规作图实践操作与圆的相关知识融合考查（利用尺规作图作已知圆的圆心），预测2026年会延续这一考查形式，并结合圆的相关知识进行证明与计算． 【临考提醒】1.遇到直径，优先联想“直径所对的圆周角为”；遇到平行线，可用同旁内角、内错角进行角度转化． 2.要证三角形相似，先看是否存在一组直角，再找第二组等角． 22.解题思路（1）①将和分别代入抛物线的表达式，求得，的值，即可得解．②先确定点关于抛物线对称轴的对称点的坐标，再结合“”确定点在抛物线上的位置，最后根据“对于，都有”，确定的取值范围．（2）先根据“对于任意实数，恒成立”，得到方程的，再由抛物线过点，确定与的关系，通过推理，求得的值． 参考答案（1）①抛物线经过点和点， ，解得 抛物线的表达式为． ②或 解法提示：易知抛物线的对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点的坐标为． 画出抛物线的大致图象如图所示，则当点在点左侧或点右侧时， ． 对于，都有， 或（提示：需要取等号，等号成立时，点不与点或点重合，符合题意）， 或． （2）对于任意实数，恒成立， 抛物线与直线没有公共点或只有一个公共点， 方程没有实数根或有两个相等的实数根， ． 整理方程，得， ，即． 抛物线经过点， ，得， ，整理，得， ，． 命题人讲评 【预测依据】河南中考中二次函数图象与性质的综合题、常考查表达式的求解、图象与性质（对称轴、顶、点增减性）、动点问题等，侧重数形结合思想的应用．预测2026年会结合参数的取值范围考查二次函数图）与性质的综合． 【避坑指南】1.混淆点的横坐标的临界值和的临界值，导致的取值范围出错． 2.根据“对于任意实数，恒成立”，无法厘清抛物线与直线的位置关系，或无法与方程联系起来，导致思路断层． 3.忽略抛物线经过点这一已知条件，导致无法求出参数的值． 23.解题思路（1）通过证明，构造，推出为等边三角形，进而证得．（2）同（1）构造，推出为等边三角形，进而证得．（3）分点在左侧和右侧两种情况，结合勾股定理、全等三角形等计算的面积． 参考答案（1） 解法提示：，均是等边三角形， ，，， ，， ． 如图1，延长到点．使（点拨：利用“补短法”作辅助线），连接，则． 又，， ，， ， 是等边三角形，， ． （2）不成立，正确结论为． 证明：，均是等边三角形， ，，， ，， ． 如图2，延长到点，使，连接，则． 又，， ，， ， 是等边三角形，， ． （3）的面积为或． 解法提示：分两种情况讨论． ①当点在左侧，且时．，如图3， 则，． 又，，， ， ，， ，， ． ②当点在右侧，且时，，如图4， 同理可得，，，， ，， ． 综上可知，的面积为或． 命题人讲评 【预测依据】河南近几年中考中，几何探究题为必考压轴题型，综合性较强，难度较大，一般涉及图形的比探究．预测2026年会结合图形动态变化出题，涉及分类讨论思想方法的应用． 【得分锦囊】截长补短法是几何探究题中常用的方法． 1.截长补短法：具体作法是在某条线段上截取一条线段等于特定线段，或将某条线段延长，使延长后的段等于特定线段（本题第（1）（2）题利用的方法为“补短法”，也可利用“截长法”进行证明）． 2.截长补短法的适用情况； （1）证明一条线段等于另两条线段的和或差； （2）证明一条线段的倍等于另两条线段的和或差； （3）某些特殊情况下线段间倍数关系的证明． 学科网（北京）股份有限公司 $