《3.2勾股定理的逆定理》导学案 暑假预习手册23-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册23-《3.2勾股定理的逆定理》 ( 一．预习 目标 1.理解勾股定理的逆定理的内容，明白其与勾股定理的区别和联系。 2.能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3.了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数 。 ) ( 二 、 预习内容 （一） 勾股定理的逆定理 【 思考探究 】 （1） 写出 “ 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 ” 的逆命题. （2） 在 △ ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a 2 +b 2 =c 2 ,则 △ ABC是不是直角三角形?为什么? 【 勾股定理的逆定理 】 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ， 那么 ， 这个三角形是直角三角形. 【 符号语言 】 ： ∵ a 2 ＋b 2 ＝c 2 ， ∴△ ABC为直角三角形且 ∠ C=90 ° ． （ 1 ）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形； （ 2 ）定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边 （ 3） 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【 易错提示 】 ： 没有弄清三角形三边的大小关系，不能正确利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【 勾股定理的逆定理的延伸 】 设三角形的三边长分别为a,b,c(c为最长边).如果a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角三角形;如果a 2 +b 2 <c, 2 那么这个三角形是钝角三角形;如果a 2 +b 2 >c 2 ,那么这个三角形是锐角三角形. ) ( 【 归纳总结 】 例1. 下列四组线段中 ，能组成直角三角形的是（　　） A．a=1 ，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 例 2 . 如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，图中已给出△ABC的一边AB的位置． （1）请在所给的网格中画出边长分别为2， 2 ，4的一个格点△ABC； （2）根据所给数据说明△ABC是直角三角形． 例 3 . 如图，在△ABC中，BD=6，AD=8，AB=10，DC=2，求AC 的长． 例4. 如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC ⊥ BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积． ) ( 【 归纳总结 】 判断一个三角形是不是直角三角形的步骤 （二）勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 △ ABC   中, ∠ C=90 ° 在 △ ABC   中， a 2 ＋b 2 ＝c 2 结论 a 2 ＋b 2 ＝c 2 ∠ C=90 ° 区别 勾股定理是以 “ 一个三角形是直角三角形 ” 为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即 “ a 2 ＋b 2 ＝c 2 （c   为斜边） ” ，由形到数 勾股定理的逆定理是以 “ 一个三角形的三边满足   a2+b2=c2   （c   为最长边） ” 为题设，进而得到这个三角形是直角三角形，由数到形 （ 三）勾股数 1.概念：满足 a 2 ＋b 2 ＝c 2 的三个正整数a，b，c称为勾股数。 2.常见勾股数： （ 1） （ 为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 （ 2） （ 为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 （ 3） （ ， 为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 例 5 . 阅读理解并解答问题 如果a、b、c为正整数，且满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么，a、b、c叫做一组勾股数． （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数； （2）写出一组不同于3、4、5的勾股数； （3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m 2 －1，c=m 2 +1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数． 【 归纳总结 】判断一组数是不是勾股数的一般步骤 ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 2. 下列各组数为勾 股数的是（　　） A. 6 ， 12 ， 13 B. 3 ， 4 ， 7 C. 8 ， 15 ， 16 D. 5 ， 12 ， 13 3 ． △ ABC中， ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定 △ ABC为直角三角形的是（　　） A． ∠ A + ∠ B= ∠ C B． ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：2：3 C．a 2 =c 2 ﹣b 2 D．a：b：c=3：4：6 4 ．在 △ ABC中， ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别为a，b，c，且（a + b）（a﹣b）=c 2 ，则（　　） A． ∠ A为直角 B． ∠ C为直角 C． ∠ B为直角 D．不是直角三角形 5 ．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a + b） 2 ﹣c 2 ，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 6 ．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（　　） A．b 2 =（a + c）（a﹣c） B．a：b：c=1：2： C．a=3 2 ，b=4 2 ，c=5 2 D．a=6，b=8，c=10 7 ．在 △ ABC中， ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A． 如果 ∠ A﹣ ∠ B= ∠ C，那么 △ ABC是直角三角形 B．如果a 2 =b﹣ 2 c 2 ，那么 △ ABC是直角三角形且 ∠ C=90° C．如果 ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：3：2，那么 △ ABC是直角三角形 D．如果a 2 ：b 2 ：c 2 =9：16：25，那么 △ ABC是直角三角形 8 ．由下列条件不能判定 △ ABC为直角三角形的是（　　） A． ∠ A + ∠ C= ∠ B B．a= ，b= ，c= C．（b + a）（b﹣a）=c 2 D． ∠ A： ∠ B： ∠ C=5：3：2 （二）填空题 9 ．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为 　　 ． 10 ．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是 　　 ． 11．观察下列勾股数 第一组：3=2 × 1 + 1，4=2 × 1 × （1 + 1），5=2 × 1 × （1 + 1） + 1 第二组：5=2 × 2 + 1，12=2 × 2 × （2 + 1），13=2 × 2 × （2 + 1） + 1 第三组：7=2 × 3 + 1，24=2 × 3 × （3 + 1），25=2 × 3 × （3 + 1） + 1 第四组：9=2 × 4 + 1，40=2 × 4 × （4 + 1），41=2 × 4 × （4 + 1） + 1 …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是 　 　 （只填数，不填等式） 1 2 ．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b） 2 + （a 2 + b 2 ﹣c 2 ） 2 =0，则三角形的形状为 　　 ． 1 3 ．所谓的勾股数就是指使等式a 2 + b 2 =c 2 成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m ＞ n），取a=m 2 ﹣n 2 ，b=2mn，c=m 2 + n 2 ，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 　　 组成一组勾股数． （ 三）解答题 14. 某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量 ∠ A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m． （1）试判断△BCD的形状； （2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ ) ( 1 5 ．如图所示，在 △ ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时， 求 △ BPQ的面积． ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 . 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A.5 ， 6， 7 B. 40 ， 41 ， 9 C. ， 1， D.0. 2 ， 0. 3 ， 0. 4 [来源:学科网] 3 .以下列各组线段为边作三角形,能构成直角三角形的是(　　) A.2,3,4　　　　B.6,8,10 C.5,8,13　　　 D.12,13,14 4 .若△ABC的三边长a,b,c满足|a-3|+|4-b|+(c-5) 2 =0,则△ABC是(　　) A.直角三角形　　B.等腰三角形 C.等边三角形　　D.等腰直角三角形 5 .下列五组数: ① 4、5、6; ② 0.6、0.8、1; ③ 7、24、25; ④ 8、15、17; ⑤ 9、40、41 . 其中是勾股数的组数为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 6 .古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 7 .下列条件中,不能判定一个三角形是直角三角形的是(　　) A.三个角的度数比为1 ∶ 2 ∶ 3 B.三条边的长度比为1 ∶ 2 ∶ 3 C.三条边满足关系a 2 +c 2 =b 2 D.三个角满足关系 ∠ B+ ∠ C= ∠ A 8 ．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a 2 +b 2 ，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论： ① 7不是广义勾股数； ② 13是广义勾股数； ③ 两个广义勾股数的和是广义勾股数； ④ 两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　） A． ②④ B． ①②④ C． ①② D． ①④ ) ( 9 ．如果正整数a、b、c满足等式a 2 +b 2 ＝c 2 ，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 10 ．在学习 “ 勾股数 ” 的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．250 B．288 C．300 D．574 二．填空题 11．若一个三角形的周长为 ，一边长为 ，其它两边之差为 ，则这个三角形是 　 　 三角形． 12．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 　 　 ． 13．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为 　 　 . 14．有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为 　 　 ． 15．在 中， ， ， 分别是 ， ， 所对的边．若 ， ， ，则最长边上的高是 　 　 ． 1 6 ．在 中， ， ， 边上的中线 ，则 的长为_____． 1 7 ．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上，则 ______． ) ( 1 8 ．如图，在 的网格中每个小正方形的边长都为1， 的顶点 、 、 都在格点上，点 为 边的中点，则线段 的长为________． 19 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 “ 弦图 ” ，后人称其为 “ 赵爽弦图 ” （如图（ 1 ））．图（ 2 ）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD 、正方形 EFGH 、正方形 MNKT 的面积分别为 S 1 、 S 2 、 S 3 ． 若正方形 EFGH 的边长为 2 ，则 S 1 +S 2 +S 3 = ________ ． 20. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 __________ 三．解答题（60分） 21 . 如图，网格中每 个小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，试问△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 22. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=10，BD=6，AD=8，且△ABC的周长为36，求AC的长． 23 ．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证： ； (2)求DF的长． ) ( 2 4 ．如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm． (1)判断△BCD的形状，并说明理由；(2)求△ABC的周长． 25. 能够成为直角三角形 三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，�观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c． 3，4，5 3 2 +4 2 =5 2 5，12，13 5 2 +12 2 =13 2 7，24，25 7 2 +24 2 =25 2 9，40，41 9 2 +40 2 =41 2 … … 17，b，c 17 2 +b 2 =c 2 （1）试找出它们的共同点，并证明你的结论． （2）写出当a=17时，b，c的值． 26. 勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有 “ 勾三股四弦五 ” 的记载．如果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫 “ 正整数直角三角形 ” ，这三个正整数叫做一组 “ 勾股数 ” ，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝2 2 +1 2 ，3＝2 2 ﹣ 1 2 ；5，12，13中，13＝3 2 +2 2 ，5＝3 2 ﹣ 2 2 ．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为 和 ，斜边长为4 ，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值． 27. 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： ①或 ②，要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： ③，如果等式③的右边也能写成“ ”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设 ， ，③式就可化成： ．于是，当 ， 为任意正整数，且 时，“ ， 和 ”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． (1)当 ， 时，该组勾股数是__________； (2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且 ，求 ， 的值； (3)若一组勾股数中最大的数是 （ 是任意正整数），则另外两个数分别为_____， ___（分别用含 的代数式表示）． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册23-《3.2勾股定理的逆定理》 ( 一．预习 目标 1.理解勾股定理的逆定理的内容，明白其与勾股定理的区别和联系。 2.能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 3.了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数 。 ) ( 二 、 预习内容 （一） 勾股定理的逆定理 【 思考探究 】 （1） 写出 “ 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 ” 的逆命题. 解:如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. （2） 在 △ ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a 2 +b 2 =c 2 ,则 △ ABC是不是直角三角形?为什么? 解: △ ABC是直角三角形.理由如下: 画Rt △ A'B'C',使 ∠ C'=90 ° ,B'C'=a,A'C'=b,如图. 根据勾股定理,可得A'B' 2 =a 2 +b 2 因为AB 2 =a 2 +b 2 ,所以A'B' 2 =AB 2 ， 所以A'B'=AB. 根据 “ SSS ” ,可证 △ ABC ≌△ A'B'C'.于是, ∠ C= ∠ C'=90 ° , 所以 △ ABC是直角三角形. 【 勾股定理的逆定理 】 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ， 那么 ， 这个三角形是直角三角形. 【 符号语言 】 ： ∵ a 2 ＋b 2 ＝c 2 ， ∴△ ABC为直角三角形且 ∠ C=90 ° ． （ 1 ）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形； （ 2 ）定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边 （ 3） 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【 易错提示 】 ： 没有弄清三角形三边的大小关系，不能正确利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【 勾股定理的逆定理的延伸 】 设三角形的三边长分别为a,b,c(c为最长边).如果a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角三角形;如果a 2 +b 2 <c, 2 那么这个三角形是钝角三角形;如果a 2 +b 2 >c 2 ,那么这个三角形是锐角三角形. ) ( 【 归纳总结 】 例1. 下列四组线段中 ，能组成直角三角形的是（　　） A．a=1 ，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 【答案】D 【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．A、 ∵ 1 2 +2 2 =5≠3 2 ， ∴ 不能构成直角三角形，故本选项错误；B、 ∵ 2 2 +3 2 =13≠4 2 ， ∴ 不能构成直角三角形，故本选项错误；C、 ∵ 2 2 +4 2 =20≠5 2 ， ∴ 不能构成直 角三角形，故本选项错误；D、 ∵ 3 2 +4 2 =25=5 2 ， ∴ 能构成直角三角形，故本选项正确．故选D． 例 2 . 如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，图中已给出△ABC的一边AB的位置． （1）请在所给的网格中画出边长分别为2， 2 ，4的一个格点△ABC； （2）根据所给数据说明△ABC是直角三角形． 【答案】（1）如图所示:（2）由图可知，AB＝4，BC＝2，AC＝ 2 ， ∵ AB 2 ＋BC 2 ＝20，AC 2 ＝20， ∴ AB 2 ＋BC 2 ＝AC 2 ， ∴ △ABC是直角三角形． 【解析】(1) 利用勾股定理即可作出边长为2， 2 ，4的一个格点△ABC；(2)根据勾股定理 的 逆定理即可证明. 例 3 . 如图，在△ABC中，BD=6，AD=8，AB=10，DC=2，求AC 的长． 解： 在△ABD中， ∵ BD 2 +AD 2 ＝6 2 +8 2 ＝100，AB 2 ＝10 2 ＝100， ∴ BD 2 +AD 2 ＝AB 2 ， ∴ △ABD是直角三角形， ∠ ADB＝90°， ∴∠ ADC＝ 180 ° － ∠ ADB＝90°，在Rt△ACD中， AC 2 ＝CD 2 +AD 2 ＝2 2 +8 2 ＝68， ∴ AC＝ ＝2 例4. 如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC ⊥ BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积． 解： 连接AB， ∵ AC ⊥ BC，AC=6m，BC=8m， ∴ Rt△ABC中，AB= =10m， ) ( ∵ AD=24m，BD=26m， ∴ AD 2 =24 2 =576，BD 2 =26 2 =676，AB 2 =100 2 =100， ∴ AB 2 +AD 2 =BD 2 ， ∴△ ABD是直角三角 形， ∴ S 四边形ADBC =S △ABD ﹣S △ABC = AB•AD﹣ AC•BC= ×10×24﹣ ×8×6=120﹣24=96m 2 ．答：这块耕地的面积是96m 2 ． 【 归纳总结 】 判断一个三角形是不是直角三角形的步骤 （二）勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 △ ABC   中, ∠ C=90 ° 在 △ ABC   中， a 2 ＋b 2 ＝c 2 结论 a 2 ＋b 2 ＝c 2 ∠ C=90 ° 区别 勾股定理是以 “ 一个 三角形是直角三角形 ” 为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即 “ a 2 ＋b 2 ＝c 2 （c   为斜边） ” ，由形到数 勾股定理的逆定理是以 “ 一个三角形的三边满 足   a2+b2=c2   （c   为最长边） ” 为题设，进而得到这个三角形是直角三角形， 由数到形 （ 三）勾股数 1.概念：满足 a 2 ＋b 2 ＝c 2 的三个正整数a，b，c称为勾股数。 2.常见勾股数： （ 1） （ 为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 （ 2） （ 为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 （ 3） （ ， 为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 例 5 . 阅读理解并解答问题 如果a、b、c为正整数，且满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么，a、b、c叫做一组勾股数． ) ( （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数； （2）写出一组不同于3、4、5的勾股数； （3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m 2 －1，c=m 2 +1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数． 解： （1） ∵ 3、4、5是正整数，且3 2 +4 2 =5 2 ， ∴ 3、4、5是一组勾股 数； （2） ∵ 12 2 +16 2 =20 2 ，且12，16，20都是正整数， ∴ 一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；   （3） ∵ m表示大于 1的整数， ∴ 由a=2m，b=m 2 -1，c=m 2 +1得到a、b、c均为正整数； 又 ∵ a 2 +b 2 =（2m） 2 +（m 2 -1） 2 =4m 2 +m 4 -2m 2 +1=m 4 +2m 2 +1，而c 2 =（m 2 +1） 2 =m 4 +2m 2 +1， ∴ a 2 +b 2 =c 2 ， ∴ a、b、c为勾股数 【 归纳总结 】判断一组数是不是勾股数的一般步骤 ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 【 答案 】A 【解析】A、 ∵ 30 2 +40 2 =50 2 ， ∴ 该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、 ∵ 7 2 +12 2 ≠13 2 ， ∴ 该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、 ∵ 5 2 +9 2 ≠12 2 ， ∴ 该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、 ∵ 3 2 +4 2 ≠6 2 ， ∴ 该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选A． 2. 下列各组数为勾 股数的是（　　） A. 6 ， 12 ， 13 B. 3 ， 4 ， 7 C. 8 ， 15 ， 16 D. 5 ， 12 ， 13 【答案】D 【解析】A选项：6 2 +12 2 ≠13 2 ，故此选项错误；B选项：3 2 +4 2 ≠7 2 ，故此选项错误；C选项：因为8 2 +15 2 ≠16 2 ，故此选项错误；D选项：5 2 +12 2 =13 2 ，故此选项正确．故选D． 3 ． △ ABC中， ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定 △ ABC为直角三角形的是（　　） A． ∠ A + ∠ B= ∠ C B． ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：2：3 C．a 2 =c 2 ﹣b 2 D．a：b：c=3：4：6 【答案 】D 【 解析 】A、 ∠ A + ∠ B= ∠ C，又 ∠ A + ∠ B + ∠ C=180°，则 ∠ C=90°，是直角三角形；B、 ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：2：3，又 ∠ A + ∠ B + ∠ C=180°，则 ∠ C=90°，是直角三角形；C、由a 2 =c 2 ﹣b 2 ，得a 2 + b 2 =c 2 ，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、3 2 + 4 2 ≠ 6 2 ，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D． 4 ．在 △ ABC中， ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别为a，b，c，且（a + b）（a﹣b）=c 2 ，则（　　） A． ∠ A为直角 B． ∠ C为直角 C． ∠ B为直角 D．不是直角三角形 【 答案 】A 【 解析 】 ∵ （a + b）（a﹣b）=c 2 ， ∴ a 2 ﹣b 2 =c 2 ，即c 2 + b 2 =a 2 ，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边， ∴∠ A为直角．故选A． ) ( 5 ．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a + b） 2 ﹣c 2 ，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【 答案 】 C 【解答】 ∵ 原式可化为a 2 + b 2 =c 2 ， ∴ 此三角形是直角三角形．故选：C． 6 ．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（　　） A．b 2 =（a + c）（a﹣c） B．a：b：c=1：2： C．a=3 2 ，b=4 2 ，c=5 2 D．a=6，b=8，c=10 【 答案 】 C 【解答】A、 ∵ b 2 =（a + c）（a﹣c）， ∴ b 2 =a 2 ﹣ c 2 ， ∴ b 2 + c 2 =a 2 ， ∴ 能构成直角三角形，故选项A错误；B、 ∵ a：b：c=1：2： ， ∴ 设a=x，则b=2x，c= x， ∵ x 2 + （ x） 2 =（2x） 2 ， ∴ 能构成直角三角形，故选项B错误；C、 ∵ a=3 2 ，b=4 2 ，c=5 2 ， ∴ a 2 + b 2 =（3 2 ） 2 + （4 2 ） 2 =81 + 256=337 ≠ （5 2 ） 2 ， ∴ 不能构成直角三角形，故选项C正确；D、 ∵ a=6，b=8，c=10，6 2 + 8 2 =36 + 64=100=10 2 ， ∴ 能构成直角三角形，故选项D错误；故选C． 7 ．在 △ ABC中， ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A． 如果 ∠ A﹣ ∠ B= ∠ C，那么 △ ABC是直角三角形 B．如果a 2 =b﹣ 2 c 2 ，那么 △ ABC是直角三角形且 ∠ C=90° C．如果 ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：3：2，那么 △ ABC是直角三角形 D．如果a 2 ：b 2 ：c 2 =9：16：25，那么 △ ABC是直角三角形 【 答案 】 B 【解答】 如果 ∠ A﹣ ∠ B= ∠ C，那么 △ ABC是直角三角形，A正确；如果a 2 =b﹣ 2 c 2 ，那么 △ ABC是直角三角形且 ∠ B=90°，B错误；如果 ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：3：2，设 ∠ A=x，则 ∠ B=2x， ∠ C=3x，则x + 3x + 2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么 △ ABC是直角三角形，C正确；如果a 2 ：b 2 ：c 2 =9：16：25，则如果a 2 + b 2 =c 2 ，那么 △ ABC是直角三角形，D正确； 故选：B． 8 ．由下列条件不能判定 △ ABC为直角三角形的是（　　） A． ∠ A + ∠ C= ∠ B B．a= ，b= ，c= C．（b + a）（b﹣a）=c 2 D． ∠ A： ∠ B： ∠ C=5：3：2 【 答案 】 B 【 解析 】A、 ∵∠ A + ∠ C= ∠ B， ∴∠ B=90°，故是直角三角形，正确；B、设a=20k，则b=15k，c=12k， ∵ （12k） 2 + （15k） 2 ≠ （20k） 2 ，故不能判定是直角三角形；C、 ∵ （b + a）（b﹣a）=c 2 ， ∴ b 2 ﹣a 2 =c 2 ，即a 2 + c 2 =b 2 ，故是直角三角形，正确；D、 ∵∠ A： ∠ B： ∠ C=5：3：2， ∴∠ A= × 180°=90°，故是直角三角形，正确．故选：B． （二）填空题 9 ．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为 　　 ． 【 答案 】4.8 【 解析 】 ∵ 三角形三边的长分别为6、8和10，6 2 + 8 2 =100=10 2 ， ∴ 此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h， ∴ 6 × 8=10h，解得，h=4.8． 10 ．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是 　　 ． 【 答案 】480 【 解析 】设三边的长是5x，12x，13x，则5x + 12x + 13x=120，解得：x=4，则三边长是20，48，52． ∵ 20 2 + 48 2 =52 2 ， ∴ 三角形是直角三角形， ∴ 三角形的面积是 × 20 × 48=480． 故答案是：480． 11．观察下列勾股数 第一组：3=2 × 1 + 1，4=2 × 1 × （1 + 1），5=2 × 1 × （1 + 1） + 1 第二组：5=2 × 2 + 1，12=2 × 2 × （2 + 1），13=2 × 2 × （2 + 1） + 1 第三组：7=2 × 3 + 1，24=2 × 3 × （3 + 1），25=2 × 3 × （3 + 1） + 1 第四组：9=2 × 4 + 1，40=2 × 4 × （4 + 1），41=2 × 4 × （4 + 1） + 1 ) ( …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是 　 　 （只填数，不填等式） 【 答案 】15，112，113． 【解答】解： ∵ 第1组：3=2 × 1 + 1，4=2 × 1 × （1 + 1），5=2 × 1 × （1 + 1） + 1，第2组：5=2 × 2 + 1，12=2 × 2 × （2 + 1），13=2 × 2 × （2 + 1） + 1，第3组：7=2 × 3 + 1，24=2 × 3 × （3 + 1），25=2 × 3 × （3 + 1） + 1，第4组：9=2 × 4 + 1，40=2 × 4 × （4 + 1）41=2 × 4 × （4 + 1） + 1， ∴ 第7组勾股数是2 × 7 + 1=15，2 × 7 × （7 + 1）=112，2 × 7 × （7 + 1） + 1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113． 1 2 ．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b） 2 + （a 2 + b 2 ﹣c 2 ） 2 =0，则三角形的形状为 　　 ． 【 答案 】等腰直角三角形． 【 解析 】 ∵ （a﹣b） 2 + （a 2 + b 2 ﹣c 2 ） 2 =0， ∴ a﹣b=0，且a 2 + b 2 ﹣c 2 =0， ∴ a=b，且a 2 + b 2 =c 2 ， ∴ 以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形． 1 3 ．所谓的勾股数就是指使等式a 2 + b 2 =c 2 成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m ＞ n），取a=m 2 ﹣n 2 ，b=2mn，c=m 2 + n 2 ，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 　　 组成一组勾股数． 【 答案 】 13 【解答】 ∵ 85 2 ﹣84 2 =13 2 ， ∴ 85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．故答案为：13． （ 三）解答题 14. 某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量 ∠ A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m． （1）试判断△BCD的形状； （2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 解：（1）△BCD是直角三角形；理由如下： ∵∠ A=90°，AB=3，AD=4，BC=12， 根据勾股定理得BD 2 =AB 2 +AD 2 =3 2 +4 2 =25， ∴ BD 2 +BC 2 =25+144=169=13 2 =CD 2 ，根据勾股定理的逆定理， ∴∠ CBD=90° ∴△ BCD是直角三角形． （2）四边形ABCD的面积= =6+30=36m 2 ∴ 学校要投入资金为：200×36=7200元；答：学校需要投入7200元买草皮． 1 5 ．如图所示，在 △ ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时， 求 △ BPQ的面积． 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵ 周长为36cm，AB + BC + AC=36cm， ∴ 3x + 4x + 5x=36， 解得x=3， ∴ AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm， ∵ AB 2 + BC 2 =AC 2 ， ∴△ ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9﹣3 × 1=6（cm），BQ=2 × 3=6（cm）， ∴ S △ PBQ = BP•BQ= × （9﹣3） × 6=18（cm 2 ）． ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 . 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【答案】C 【解析】A、因为3 2 +4 2 ＞4 2 ，所以三条线段能组成锐角三角形，不符合题意；B、因为3 2 +4 2 =5 2 ，所以三条 线段能组成直角三角形，不符合题意； C 、因为3+4＞6，且3 2 +4 2 ＜6 2 ，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A.5 ， 6， 7 B. 40 ， 41 ， 9 C. ， 1， D.0. 2 ， 0. 3 ， 0. 4 [来源:学科网] 【答案】B 【解析】勾股数为正整数，排除C，D，5 2 +6 2 ≠7 2 ，40 2 +9 2 =41 2 ，故A 不正确，B正确. 3 .以下列各组线段为边作三角形,能构成直角三角形的是(　　) A.2,3,4　　　　B.6,8,10 C.5,8,13　　　 D.12,13,14 【 答案】 B　 【 解析】 根据勾股定理的逆定理,验证两条较短线段长的平方和是否等于最长线段的平方即可,只有B选项符合,故选B. 4 .若△ABC的三边长a,b,c满足|a-3|+|4-b|+(c-5) 2 =0,则△ABC是(　　) A.直角三角形　　B.等腰三角形 C.等边三角形　　D.等腰直角三角形 【 答案】 A　 【 解析】 ∵ |a-3|+|4-b|+(c-5) 2 =0, ∴ a-3=0,4-b=0,c-5=0, ∴ a=3,b=4,c=5, ∵ a 2 +b 2 = 3 2 +4 2 =25,c 2 =5 2 =25, ∴ a 2 +b 2 =c 2 ,由勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形.故选A. 5 .下列五组数: ① 4、5、6; ② 0.6、0.8、1; ③ 7、24、25; ④ 8、15、17; ⑤ 9、40、41 . 其中是勾股数的组数为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 【 答案】 B　 【 解析】 ① 中4 2 +5 2 ≠6 2 ; ② 中的数不全是正整数; ③ 中7 2 +24 2 =25 2 ; ④ 中8 2 +15 2 =17 2 ; ⑤ 中9 2 +40 2 =41 2 .故有3组勾股数. 6 .古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 【 答案】 D　 【 解析】 设相邻两个结点的距离为m,则此三角形的三边长分别为3m、4m、5m, ∵ (3m) 2 +(4m) 2 =(5m) 2 , ∴ 以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形)故选D. 7 .下列条件中,不能判定一个三角形是直角三角形的是(　　) A.三个角的度数比为1 ∶ 2 ∶ 3 B.三条边的长度比为1 ∶ 2 ∶ 3 C.三条边满足关系a 2 +c 2 =b 2 D.三个角满足关系 ∠ B+ ∠ C= ∠ A 【 答案】 B　 ) ( 【 解析】 B选项中,设三边长分别为x、2x、3x(x≠0), ∵ x 2 +(2x) 2 =5x 2 ,(3x) 2 =9x 2 ,5x 2 ≠9x 2 , ∴ 三条边的长度比为1 ∶ 2 ∶ 3的三角形不是直角三角形.故选B. 8 ．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a 2 +b 2 ，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论： ① 7不是广义勾股数； ② 13是广义勾股数； ③ 两个广义勾股数的和是广义勾股数； ④ 两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　） A． ②④ B． ①②④ C． ①② D． ①④ 【答案】 C 【解析】 ①∵ 7不能表示为两个正整数的平方和， ∴ 7不是广义勾股数，故 ① 结论正确； ②∵ 13＝2 2 +3 2 ， ∴ 13是广义勾股数，故 ② 结论正确； ③ 两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故 ③ 结论错误； ④ 设 ， ，则 ＝a 2 c 2 +a 2 d 2 +b 2 c 2 +b 2 d 2 ＝（a 2 c 2 +b 2 d 2 +2abcd）+（a 2 d 2 +b 2 c 2 ﹣ 2abcd）＝（ac+bd） 2 +（ad ﹣ bc） 2 ，当ad＝bc时，m 1 • m 2 不是广义勾股数， ∴ 两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，故 ④ 结论错误， ∴ 依次正确的是 ①② ．故选：C． 9 ．如果正整数a、b、c满足等式a 2 +b 2 ＝c 2 ，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【 答案】C 【 解析】 由题可得，3＝2 2 ﹣ 1，4＝2 × 2，5＝2 2 +1， ……∴ a＝n 2 ﹣ 1，b＝2n，c＝n 2 +1， ∴ 当c＝n 2 +1＝65时，n＝8， ∴ x＝63，y＝16， ∴ x+y＝79，故选：C． 10 ．在学习 “ 勾股数 ” 的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．250 B．288 C．300 D．574 【 答案】B 【 解析】 从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24， ••• ，即24＝2 × （10+2），b依次为8，15，24，35，48， ••• ，即当a＝24时，b＝12 2 ﹣ 1＝143， c依次为10，17，26，37，50， ••• ，即当a＝24时，c＝12 2 +1＝145，所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，故选：B． 二．填空题 11．若一个三角形的周长为 ，一边长为 ，其它两边之差为 ，则这个三角形是 　 　 三角形． 【答案】直角 【解析】∵较小一边长为x，则另一边长为x+ ，根据题意得x+x+ + = ，解之： ，∴另一边长为 ，∵ ∴ ，∴此三角形是直角三角形.故答案为：直角. ) ( 12．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 　 　 ． 【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方那么这个三角形是直角三角形 【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m） 2 +（4m） 2 =（5m） 2 ，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 13．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为 　 　 . 【答案】14 【解析】∵AB=13，AD=12，BD=5，∴AB 2 =AD 2 +BD 2 ，∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，∴△ADC是直角三角形，在Rt△ADC中，CD= =9．故答案为： 14 . 14．有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为 　 　 ． 【答案】234m 2 【解析】连接AC，在Rt△ABC中，AC为斜边，则AC= = =25（m），在Rt△ACD中，AC为斜边，则AD= = ═24（m），四边形ABCD面积S= AB×BC+ AD×CD= ×20×15+ ×7×24=234（m 2 ）．故答案为234m 2 ． 15．在 中， ， ， 分别是 ， ， 所对的边．若 ， ， ，则最长边上的高是 　 　 ． 【答案】 【解析】由 ， 联立，组成方程组： 解得： ∵ ∴ 为直角三角形，c为斜边.设斜边c上的高为h，则面积s= 解得：h= 故答案为： . ) ( 1 6 ．在 中， ， ， 边上的中线 ，则 的长为_____． 【 答案】13 【 解析】 如图， 是 边上的中线， ， ， ， 是直角三角形， ， ．故答案为：13． 1 7 ．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上，则 ______． 【 答案】 45° 【 解析】 取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：∴AE=PF，PE=QF ∠AEP=∠PFQ=90°，∴△APE≌△PQF(SAS),∴∠PAB=∠QPF，∵PF∥BE，∴∠PBA=∠BPF， ∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25， ∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，∵PQ²=2²+1²=5=QB²， ∴△PQB为等腰直角三角形，∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，故答案为：45°． 1 8 ．如图，在 的网格中每个小正方形的边长都为1， 的顶点 、 、 都在格点上，点 为 边的中点，则线段 的长为________． 【 答案】 2.5 【 解析】 由勾股定理得：AC 2 =2 2 +4 2 =20，BC 2 =1 2 +2 2 =5，AB 2 =4 2 +3 2 =25，∴AC 2 +BC 2 =AB 2 ，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，∵点O为AB边的中点，∴CO= AB=2.5，故答案为：2.5． 19 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 “ 弦图 ” ，后人称其为 “ 赵爽弦图 ” （如图（ 1 ））．图（ 2 ）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD 、正方形 EFGH 、正方形 MNKT 的面积分别为 S 1 、 S 2 、 S 3 ． 若正方形 EFGH 的边长为 2 ，则 S 1 +S 2 +S 3 = ________ ． 【 答案】12 【 解析】 ∵ 八个直角三角形全等，四边形 ABCD ， EFGH ， MNKT 是正方形， ∴ CG=KG ， CF=DG=KF ， ∴ S 1 = （ CG+DG ） 2 =CG 2 +DG 2 +2CG•DG=GF 2 +2CG•DG ， S 2 =GF 2 ， S 3 = （ KF ﹣ NF ） 2 =KF 2 +NF 2 ﹣ 2KF•NF ， S 1 +S 2 +S 3 =GF 2 +2CG•DG+GF 2 +KF 2 +NF 2 ﹣ 2KF•NF=3GF 2 =12 ，故答案是： 12 ． ) ( 20. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 __________ 【 答案】 【 解析】 在矩形ABCD中，∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝5，折叠后A′D＝AD＝3，∴A′B＝2.设AG＝x，则BG＝4－x，在Rt△GA′B中，A′G 2 ＋A′B 2 ＝GB 2 ，∴x 2 ＋2 2 ＝(4－x) 2 ，∴x＝ . 三．解答题（60分） 21 . 如图，网格中每 个小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，试问△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 【 答案】 不是，理由： ∵ AC 2 =2 2 +3 2 =13，BC 2 =2 2 +5 2 =29，AB 2 =5 2 +3 2 =34， 即AC 2 +BC 2 = 4 2 ≠AB 2 ， ∴△ ABC不是直角三角形． 【解析】将△ABC三边分别放置在三个直角三角形中，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论。 22. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且AB=10，BD=6，AD=8，且△ABC的周长为36，求AC的长． 解：6 2 +8 2 =10 2 ， ∴ BD 2 +AD 2 =AB 2 ， ∴∠ ADB= ∠ ADC=90°， ∵ △ABC的周长为36，AB+AC+BC＝36，设AC=x，则CD＝20－x，在Rt△ADC中，AD 2 + CD 2 ＝AC 2 ， ∴ 8 2 +（20﹣x） 2 ＝ x 2 ， ∴ x= 11 . 6 ， ∴ AC= 11.6 23 ．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证： ； (2)求DF的长． 解： (1)证明：∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=∠CED=90°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD 2 =AE 2 +DE 2 =8 2 +4 2 =80，同理：CD 2 =20，∴AD 2 +CD 2 =80+20=100，∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC 2 =100，∴AD 2 +CD 2 =AC 2 ，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°； (2)∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵点F是边AB的中点，∴DF= AB=5．∴DF的长为5． ) ( 2 4 ．如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm． (1)判断△BCD的形状，并说明理由；(2)求△ABC的周长． 解： （ 1 ） △BDC为直角三角形，理由如下，∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，而10 2 =6 2 +8 2 ， ∴BC 2 =BD 2 +CD 2 ．∴△BDC为直角三角形； （2）设AB=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC=x，则AD=x-6，∵AB 2 =AD 2 +BD 2 ，即x 2 =（x-6） 2 +8 2 ，∴x= ，∴△ABC的周长=2AB+BC= （cm）． 25. 能够成为直角三角形 三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，�观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c． 3，4，5 3 2 +4 2 =5 2 5，12，13 5 2 +12 2 =13 2 7，24，25 7 2 +24 2 =25 2 9，40，41 9 2 +40 2 =41 2 … … 17，b，c 17 2 +b 2 =c 2 （1）试找出它们的共同点，并证明你的结论． （2）写出当a=17时，b，c的值． 解： （1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析： ①以上各组数均满足a 2 +b 2 =c 2 ； ②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数 ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如3 2 =9=4+5，5 2 =25=12+13，7 2 =49=24+25，9 2 =81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论： 设m为大于1的奇数，将m 2 拆分为两个连续的整数之和，即m 2 =n+（n+1）， 则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数． 证明：∵m 2 = n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m 2 +n 2 =2n+1+n 2 =（n+1） 2 ，∴m，n，（n+1）是一组勾股数．（2）运用以上结论，当a=17时，∵17 2 =289=144 +145，∴b=144，c=145． 26. 勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有 “ 勾三股四弦五 ” 的记载．如果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫 “ 正整数直角三角形 ” ，这三个正整数叫做一组 “ 勾股数 ” ，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝2 2 +1 2 ，3＝2 2 ﹣ 1 2 ；5，12，13中，13＝3 2 +2 2 ，5＝3 2 ﹣ 2 2 ．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为 和 ，斜边长为4 ，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值． 解：（1） ∵ 17＝4 2 +1 2 ，15＝8 2 ﹣ 7 2 ， ∴ 8，15，17是完美勾股数； ∵ 41＝5 2 +4 2 ，9＝5 2 ﹣ 4 2 ， ∴ 9，40，41是完美勾股数；（2）由勾股定理得：7a ﹣ 7+（150 ﹣ 30b）＝16 × 15， ∴ a＝ ，由题意可知：7a ﹣ 7＞0，150 ﹣ 30b＞0 ∴ a＞1，0＜b＜5 ∵ a和b均为正整数 ∴ b的可能值为：1，2，3，4．当b＝1时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝1不符合题意；当b＝2时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝2不符合题意；当b＝3时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝3不符合题意；当b＝4时，a＝ ＝31，是正整数，此时， ＝ ， ＝ ， ) ( ∵ （ ） 2 +（ ） 2 ＝240，（4 ） 2 ＝240， ∴ （ ） 2 +（ ） 2 ＝（4 ） 2 ， ∴ b＝4符合题意． ∴ a＝ ；a＝31，b＝4． 27. 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： ①或 ②，要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： ③，如果等式③的右边也能写成“ ”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设 ， ，③式就可化成： ．于是，当 ， 为任意正整数，且 时，“ ， 和 ”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． (1)当 ， 时，该组勾股数是__________； (2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且 ，求 ， 的值； (3)若一组勾股数中最大的数是 （ 是任意正整数），则另外两个数分别为_____， ___（分别用含 的代数式表示）． 解： （ 1 ） 当m=2，n=1时，m 2 +n 2 =5，m 2 -n 2 =3，2mn=4，∴该组勾股数是3，4，5， 故答案为：3，4，5； （ 2 ） ∵（m 2 +n 2 ）-（m 2 -n 2 ）=2n 2 ＞0，∴m 2 +n 2 ＞m 2 -n 2 ，∵m 2 +n 2 -2mn=（m-n） 2 ＞0， ∴m 2 +n 2 ＞2mn，∴最大的数为m 2 +n 2 ， ①当m 2 -n 2 最小时，（m 2 +n 2 ）+（m 2 -n 2 ）=2m 2 =72，解得m=6或m=-6（舍去），又∵m-n=1，∴n=5； ②当2mn最小时，（m 2 +n 2 ）+2mn=（m+n） 2 =72，解得m+n=± 6 （舍去）， 综上所述，m=6，n=5； （ 3 ） 2p 2 +6p+5=（p 2 +2p+1）+（p 2 +4p+4）=（p+1） 2 +（p+2） 2 ，令m=p+2，n=p+1，则 m 2 -n 2 =（p+2） 2 -（p+1） 2 =2p+3，2mn=2（p+2）（p+1）=2p 2 +6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p 2 +6p+4，故答案为：2p+3，2p 2 +6p+4． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$