《2.3实数（二）》导学案 暑假预习手册19-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册19-《2.3实数(二)》 ( 一.预习 目标 1.明确实数由有理数和无理数组成,感受数系的扩充。 2.学会用有理数估计无理数的大致范围,培养估算能力和数感 。 3.认识实数与数轴上的点一一对应关系,会用数轴上的点表示实数,并能比较实数大小,体会数形结合思想。 4.掌握实数的简单运算,明确有理数的绝对值、倒数、相反数的意义以及运算法则、运算性质在实数范围内同样适用,体会数的运算的一致性。 ) ( 一、 预习内容 【 知识回顾】 无理数的有关概念及分类 ( 1) 定义:无限不循环小数叫作无理数。这是判断一个数是不是无理数的重要依据。如 、 等都是无理数。 ( 2) 分类: ① 开方开不尽的数,如 、 、 … ; ② 含有 的一类数,如 、-4 、 … ; ③ 以无限不循环小数的形式出现的数,如0.2121121112 … (相邻两个2之间依次多一个1)。 ( 3)注意: ① 带根号的数不一定是无理数,如 , 就是有理数。不带根号的数也不一定都是有理数,如 ,0.3030030003 … (相邻两个3之间依次多一个0)就是无理数。 ② 无理数和有理数的和、差一定是无理数,无理数和无理数的和、差不一定是无理数。 ③ 无理数乘(或除以)一个不为0的有理数,结果一定是无理数,无理数与无理数 的积,商不一定是无理数 (一) 实数及其分类 1. 定义:有理数和无理数统称为实数。也就是说,在实数范围内,一个数要么是有理数,要么是无理数。 2. 分类 : (1)按定义分 实数 (2)按性质分 实数 ) ( ( 二) 实数与数轴 我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢?你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗? 【活动】 : ( 1). 如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O',点O'对应的数是多少? ( 2) 如图,以单位长度为边长画一个正方形,以原点为圆心,正方形对角线为半径画弧,与正半轴的交点就表示 ,与负半轴的交点就表示 - . 当数的范围从有理数扩充到实数以后, 实数与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都能表示一个实数。 ( 三) 实数的大小比较 1. 根据数轴比较实数大小 :对于数轴上的任 意两个点,右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 2. 根据符号比较实数大小:正实数都大于 0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数;两个负实数比较大小,绝对值大的反而小。 ( 四) 实数 的性质 在实数范围内,相反数,绝对值,倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同 。 概念 求法 性质 符号语言 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 在原数前面加“-”后进行符号化简 互为相反数的两数之和为0 ∵a,b互为相反数,∴a+b=0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置 互为倒数的两数之积为1 ∵a,b互为倒数,∴ab=1 绝对值 在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值 非负数的绝对值是它本身;非正数的绝对值是它的相反数 任何实数的绝对值都是非负数;互为相反数的两数的绝对值相等 ︱a︱≥0; ︱a︱=︱-a︱ 平方根 一般地,如果一个数的 平方等于a,那么这个数叫作a的平方根 开平方 非负数都有平方根,负数没有平方根 若a为非负数,则a的平方根为 立方根 一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫作a的立方根 开立方 任何实数都有立方根 若a为实数,则a的立方根为 ( 五) 实数的运算 1. 运算法则:与有理数的运算法则相同。 ) ( 2. 运算顺序:先算乘方、开方、再算乘除,最后算加减,同级运算按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的。 3. 运算律: (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); (3)乘 法交换律:ab=ba; (4)乘法结合律:(ab)c=a(bc); (5)乘法分配律:a(b+c)=ab+bc。 4. 实数混合运算的注意点: (1)要注意运算顺序; (2)应用乘法分配律去括号时,注意不要漏乘及运算的符号问题; (3)在进行开方与乘方运算时,要注意符号问 题。 ) ( 三.经典例题 例1 . 若 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. - 2 B. -( +1) 2 C.- D.-( +1) 例2. 实数 在数轴上的位置如图所示, 化简: = 例3 . 如图所示,数轴上 A 、 B 两点分别表示实数1, ,点 B 关于点 A 的对称点为 C ,则点 C 所表示的实数为( ) A. -2 B. 2- C. -3 D.3- 例4 . 已知 、b是有理数,且满足( -2) 2 + =0,则 b 的值为 。 例 5. 下列计算: ① =5; ② = ; ③ =﹣2; ④ (﹣ ) 2 =3; ⑤ =1 ,其中正确的个数有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 例6. 已知m是 的 整 数部分,n是 的 小 数部分。 求:(1)(m + n) 2 的值; (2) - m的值。 ) ( 例7. 计算 : (1)(﹣2) 3 + ( ) 2 ﹣ ; (2) 例8. 阅读下列材料:如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a,这个数就叫做a的n次方根,即x n =a,则x叫做a的n次方根.如:2 4 =16,(-2) 4 =16,则2,-2是16的4次方根,或者说16的4次方根是2和-2;再如(-2) 5 =-32,则-2叫做-32的5次方根,或者说-32的5次方根是-2.回答问题: (1)64的6次方根是 ,-243的5次方根是 ,0的10次方根是 ; (2)归纳一个数的n次方根的情况. ) ( 三.基础过关 (一)选择题 1. 下列实数中,是有理数的为( ) A. B. C. D. 0 2. 下列各数是无理数的是( ) A. 0 B. ﹣1 C. D. 3. 下列各数中 3.14159;- ;0.131131113 … ;- ; ; ,无理数的个数有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 下列说法:①有理数都是有限小数;②有限小数都是有理数;③无理数都是无限不循环小数;④无限小数都是无理数,正确的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 5. 在0,1,﹣ ,﹣ 这四个数中,比﹣1小的数是 ( ) A. 0 B. 1 C. ﹣ D. ﹣ 6. 已知下列结论: ① 在数轴上的点只能表示无理数; ② 任何一个无理数都能用数轴上的点表示; ③ 实数与数轴上的点一一对应; ④ 有理数有无限个,无理数有限个,其中正确的结论是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 7. 若 < a < ,则下列结论中正确的是 ( ) A. 1 < a < 3 B. 1 < a < 4 C. 2 < a < 3 D. 2 < a < 4 8. 有下列说法: ① 无理数一定是无限不循环小数 , ② 最小的算术平方根是零 , ③ ﹣6是(﹣6) 2 的算术平方根 , ④ = 2 。 其中正确的是 ( ) A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ ) ( ( 二)填空题 9. 在 实数﹣5,﹣ ,0, , 中,最大的一个数是 _。 10 . 点A在数轴上和原点相距3个单位,点B在数轴上和原点相距 个单位,则A,B两点之间的距离是_ 11 . 直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴的负方向滚动2周(不滑动),圆上的一点由原点到达O′,点O′所对应的实数是_. 12. 规定用符号 [ x ] 表示一个实数的整数部分,例如 [ 2.89 ] =2, [ ] =1,按此规定, [ ﹣1 ] = _ 。 1 3 . 如果 是 的整数部分, 是 的小数部分, =_. (三)解答题 1 4 . 计算 ⑴.5+ -2 ⑵.4 -2(1- )+ ⑶ + + 15. 阅读理解题: 定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为i 2 =﹣1,这个数i叫做虚数单位,把形如a + bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似。 例如计算:(2﹣i) + (5 + 3i)=(2 + 5) + (﹣1 + 3)i=7 + 2i; (1 + i) (2﹣i)=1 2﹣i + 2 i﹣i 2 =2 + (﹣1 + 2)i + 1=3 + i; 根据以上信息,完成下列问题: (1)填空:i 3 = _ ,i 4 = _ ; (2)计算:(1 + i) (3﹣4i) (3)计算:i + i 2 + i 3 + … + i 20 25 。 ) ( 四 .强化练习 (时间:60分钟 满分:120分) 一.选择题(30分) 1. 在实数 , ,0, ,3.1415, , , ,2.123122312233...(不循环)中,无理数的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 数轴上表示 的点 的位置应在( ). A. 与 之间 B. 与 之间 C. 与 之间 D. 与 之间 3. 下列计算正确的是( ). A. B. C. D. 4. 如图中是实数a、b在数轴上的对应点的位置,化简 的结果是( ) A. B. C. D. 5. 在实数0.333…, , ,- ,3.1415,2.010010001…(相邻两个1之间0的个数逐渐增加)中,无理数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 下列说法正确的个数有( ). ①近似数 千万精确度是个位; ②两个无理数的和一定是无理数; ③平方根等于本身的数只有 ; ④实数与数轴上的点一一对应. A. B. C. D. 7. 比较下列各数的大小,结果正确的是( ). A. B. C. D. ) ( 8. 设 =a,则下列结论正确的是( ) A. 4.5<a<5.0 B. 5.0<a<5.5 C. 5.5<a<6.0 D. 6.0<a<6.5 9. 任意实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[ ]=1,现对72进行如下操作:72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1,这样对72只需进行3次操作后变为1.类似地:对数字900进行了n次操作后变为1,那么n的值为( ) A.3 B.4 C.5 D. 6 10 . 将1、 、 、 按如图方式排列,若规定(m,n)表示第m排从左向右第n个数,则(6,5)与(13,6)表示的两数之积是( ) A. B.6 C. D. 二.填空题 11. 数轴上与1、 对应的点分别为A、B,点B关于A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x- |+ =_. 12 .一个实数的两个平方根分别是a+3和2a-5,则这个实数是_. 13 .若 =1.38 , = 13.8 , 则b =_. 1 4 .埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,其底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是 ,它介于整数 和 之间,则 的值是_. 1 5 .已知 的整数部分是 .小数部分是 ,则 _. 16 .定义新运算2*3=2X+3Y,3*2=3X+2Y,若2*3=5,3*2=10,则3X+3Y的平方根是 . 17 .如图,用两个边长分别为1的小正方形,拼成一个大正方形,则该大正方形的边长为 . 1 8 . 已知m是整数,且 ,那么m的值等于 ; 1 9 .某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下:第k棵树种植在点 处,其中 ,当 时. 表示非负实数a的整数部分,例如 .按此方案,第202 5 棵树种植在点 处,则 x 2025 = _. 20 .观察下列等式: ①3- =( -1) 2 ,②5- =( - ) 2 ,③7- =( - ) 2 ,… 请你根据以上规律,写出第5个等式_. 三.解答题(60分) 21 . 将这些数按要求填入下列集合中: ,4, ,3 2,0,-1,-(-5),-|-5|, 负数集合{ …} 分数集合{ …} 非负整数集合{ …} 无理数集合{ …} ) ( 22. 计算: ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . 23. 已知实数a,b,c,d,e,f,且a,b互为倒数,c,d互为相反数,e的绝对值为 , f的算术平方根是8,求 ab+ +e 2 + 的值. 2 4 . 定义一种新运算“ ”: ,比如: . (1) 求 的值; (2) 若 ,求 的值. 25 . (1)若x,y都是实数,且 ,求5x+13y+6的立方根; (2)已知 ABC的三边长分别为a,b,c,且满足 ,求c的取值范围. 26 .先观察下列等式,再回答下列问题: ① ; ② ; ③ . (1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想 的结果,并验证; (2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数). 27. 阅读材料:小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2 =(1+ ) 2 ,善于思考的小明进行了以下探索:设a+b =(m+n ) 2 (其中a、b、m、n均为正整数)则有:a+b =m 2 +2n 2 +2mn ,所以a=m 2 +2n 2 ,b=2mn.这样小明就找到了一种把a+b 的式子化为平方式的方法. 请仿照小明的方法探索并解决下列问题: (1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b =(m+n ) 2 ,用含m、n的式子分别表示a、b,得a= ,b= (2)若a+4 =(m+n ) 2 (其中a、b、m、n均为正整数),求a的值. ) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册19-《2.3实数（二）》 ( 一．预习 目标 1.明确实数由有理数和无理数组成，感受数系的扩充。 2.学会用有理数估计无理数的大致范围，培养估算能力和数感 。 3.认识实数与数轴上的点一一对应关系，会用数轴上的点表示实数，并能比较实数大小，体会数形结合思想。 4.掌握实数的简单运算，明确有理数的绝对值、倒数、相反数的意义以及运算法则、运算性质在实数范围内同样适用，体会数的运算的一致性。 ) ( 一、 预习内容 【 知识回顾】 无理数的有关概念及分类 （ 1） 定义：无限不循环小数叫作无理数。这是判断一个数是不是无理数的重要依据。如 、 π 等都是无理数。 （ 2） 分类： ① 开方开不尽的数，如 、 、 … ； ② 含有 π 的一类数，如 π 、－4 π 、 … ； ③ 以无限不循环小数的形式出现的数，如0.2121121112 … （相邻两个2之间依次多一个1）。 （ 3）注意： ① 带根号的数不一定是无理数，如 ， 就是有理数。不带根号的数也不一定都是有理数，如 π ，0.3030030003 … （相邻两个3之间依次多一个0）就是无理数。 ② 无理数和有理数的和、差一定是无理数，无理数和无理数的和、差不一定是无理数。 ③ 无理数乘（或除以）一个不为0的有理数，结果一定是无理数，无理数与无理数 的积，商不一定是无理数 （一） 实数及其分类 1. 定义：有理数和无理数统称为实数。也就是说，在实数范围内，一个数要么是有理数，要么是无理数。 2. 分类 ： （1）按定义分 实数 （2）按性质分 实数 ) ( （ 二） 实数与数轴 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？ 【活动】 ： （ 1）. 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ 【 解析】 OO'的长是这个圆的周长 π ，所以点O'的 表示的数 为 π .无理数 π 可以用数轴上的点来表示出 。 （ 2） 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 - . 当数的范围从有理数扩充到实数以后， 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都能表示一个实数。 （ 三） 实数的大小比较 1. 根据数轴比较实数大小 ：对于数轴上的任 意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 2. 根据符号比较实数大小：正实数都大于 0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小。 （ 四） 实数 的性质 在实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同 。 概念 求法 性质 符号语言 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 在原数前面加“－”后进行符号化简 互为相反数的两数之和为0 ∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置 互为倒数的两数之积为1 ∵a，b互为倒数，∴ab＝1 绝对值 在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值 非负数的绝对值是它本身；非正数的绝对值是它的相反数 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两数的绝对值相等 ︱a︱≥0； ︱a︱＝︱－a︱ 平方根 一般地，如果一个数的 平方等于a，那么这个数叫作a的平方根 开平方 非负数都有平方根，负数没有平方根 若a为非负数，则a的平方根为 ± 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根 开立方 任何实数都有立方根 若a为实数，则a的立方根为 （ 五） 实数的运算 1. 运算法则：与有理数的运算法则相同。 ) ( 2. 运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 3. 运算律： （1）加法交换律：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； （3）乘 法交换律：ab＝ba； （4）乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； （5）乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋bc。 4. 实数混合运算的注意点： （1）要注意运算顺序； （2）应用乘法分配律去括号时，注意不要漏乘及运算的符号问题； （3）在进行开方与乘方运算时，要注意符号问 题。 ) ( 三．经典例题 例1 . 若 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. － 2 B. －( +1) 2 C.－ D.－( +1) 【 答案】D 【 解析】 由于 为实数, 2 、( +1) 2 、 均为非负数，∴－ 2 ≤0，－( +1) 2 ≤0，－ ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此， A 、 B 、 C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－( +1)﹤0．故选 D 例2. 实数 在数轴上的位置如图所示, 化简: = 【 答案】1 【 解析】 由数轴可知:1﹤ ﹤2,于是 所以, = －1+2－ =1. 例3 . 如图所示,数轴上 A 、 B 两点分别表示实数1， ，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，则点 C 所表示的实数为（ ） A. －2 B. 2－ C. －3 D.3－ 【 答案】A 【 解析】 B、C 两点关于点 A 对称，因而 B、C 两点到点 A 的距离是相同的，点 B 到点 A 的距离是 －1，所以点 C 到点 A 的距离也是 －1，设点 C 到点 O 的距离为 ，所以 +1= －1，即 = －2．又因为点 C 所表示的实数为负数，所以点 C 所表示的实数为2－ ． 例4 . 已知 、b是有理数，且满足（ －2） 2 + =0，则 b 的值为 。 【 答案】8 【 解析】 因为（ －2） 2 + =0，所以 －2=0， b －3=0。所以 =2， b =3；所以 b =8 ) ( 例 5. 下列计算： ① ＝5； ② ＝ ± ； ③ ＝﹣2； ④ （﹣ ） 2 ＝3； ⑤ ＝1 ，其中正确的个数有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【 答案 】 ：B 【 解析】 ① ＝5，故 ① 正确； ② ＝﹣ ，故 ② 错误； ③ ＝2，故 ③ 错误； ④ （﹣ ） 2 ＝3，故 ④ 正确； ⑤ ＝ ＝ ， ⑤ 错误。故选：B。 例6. 已知m是 的 整 数部分，n是 的 小 数部分。 求：（1）（m ＋ n） 2 的值； （2） － m的值。 解： ∵ m是 的 整 数部分，n是 的 小 数部分， ∴ m ＝ ﹣ 4 ，n＝4； （1）（m ＋ n） 2 ＝（ ﹣ 4＋ 4） 2 ＝（ ） 2 ＝ 19 ； （2） － m ＝ ＝－ ＝－ 。 例7. 计算 ： （1）（﹣2） 3 × ＋ × （ ） 2 ﹣ ； （2） 解： （1）原式＝﹣8 × 4 ＋ （﹣4） × ﹣3＝﹣32﹣1﹣3＝﹣36； （2）原式＝﹣3﹣0﹣ ＋ ＋ ＝﹣2 。 例8. 阅读下列材料： 如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a，这个数就叫做a的n次方根，即x n ＝a，则x叫做a的n次方根．如：2 4 ＝16，(－2) 4 ＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如(－2) 5 ＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2. 回答问题： (1)64的6次方根是 ，－243的5次方根是 ，0的10次方根是 ； (2)归纳一个数的n次方根的情况． 【答案】（1）±2，-3，0；（2）当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个；0的n次方根是0. 【解析】（1）（±2） 6 =64，所以64的6次方根是±2；（－3） 5 =－243，所以－243的5次方根是－3；0 10 =0，所以0的10次方根是0；（2）当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个；0的n次方根是0. ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. π D. 0 【答案】D 【解析】 是无理数， A 不正确； 是无理数， B 不正确； π 是无理数， C 不正确； 0 是有理数， D 正确；故选 D ． 2. 下列各数是无理数的是（　　） A. 0 B. ﹣1 C. D. 【答案】C 【解析】 是无理数 . 故选 C 3. 下列各数中， 3.14159；- ；0.131131113 … ；- π ； ； ， 无理数的个数有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 ，∴由定义可知无理数有： 0.131131113… ，﹣ π ，共两个．故选 B ． 4. 下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限不循环小数；④无限小数都是无理数，正确的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 有理数可以是无限循环小数，①错误；有限小数都是有理数，②正确；无理数都是无限不循环小数，③正确；无限循环小数是有理数，④错误.故选C. 5. 在0，1，﹣ ，﹣π这四个数中，比﹣1小的数是 （ ） A. 0 B. 1 C. ﹣ D. ﹣π 【 答案】 D 【 解析】 根据实数比较大小的方法，可得0 ＞ ﹣1，1 ＞ ﹣1，﹣ ＞ ﹣1，﹣π ＜ ﹣1， ∴ 在0，1，﹣ ，﹣π这四个数中，比﹣1小的数是﹣π。故选：D。 6. 已知下列结论： ① 在数轴上的点只能表示无理数； ② 任何一个无理数都能用数轴上的点表示； ③ 实数与数轴上的点一一对应； ④ 有理数有无限个，无理数有限个，其中正确的结论是 （ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【 答案】 B 【 解析 】 ： ① 数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，故 ① 错误； ② 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故 ② 正确； ③ 实数与数轴上的点一一对应，故 ③ 正确； ④ 有理数有无限个，无理数无限个， 故 ④ 错误；故选：B。 7. 若 ＜ a ＜ ，则下列结论中正确的是 （ ） A. 1 ＜ a ＜ 3 B. 1 ＜ a ＜ 4 C. 2 ＜ a ＜ 3 D. 2 ＜ a ＜ 4 【 答案】 B 【 解析 】 ： ∵ 1 ＜ ＜ 2，3 ＜ ＜ 4，又 ∵ ＜ a ＜ ， ∴ 1 ＜ a ＜ 4，故选B。 8. 有下列说法： ① 无理数一定是无限不循环小数 ， ② 最小的算术平方根是零 ， ③ ﹣6是（﹣6） 2 的算术平方根 ， ④ ＝ ± 2 。 其中正确的是 （ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ ) ( 【 答案】 A 【 解析 】 ： ① 无理数一定是无限不循环小数，符合无理数的定义，故 本小题正确； ② 最小的算术平方根是零，符合算术平方根的定义，故本小题正确； ③ ﹣6是（﹣6） 2 的平方根，不是算术平方根，故本小题错误； ④ ＝2 ≠± 2，故本小题错误。故选A。 （ 二）填空题 9. 在 实数﹣5，﹣ ，0，π， 中，最大的一个数是 __________。 【 答案】 π 【 解析】 根据实数比较大小的方法，可得π ＞ ＞ 0 ＞－ ＞ ﹣5，故实数﹣5， － ，0，π， 其中最大的数是π。故答案为：π。 10 . 点A在数轴上和原点相距3个单位,点B在数轴上和原点相距 个单位,则A，B两点之间的距离是________ 【答案】3＋ 或3－ 【解析】根据题意，点A在数轴上距原点的距离为3个单位，则A表示的实数为±3；点B在数轴上和原点相距 个单位，B表示的实数为± ，则A、B两点之间的距离为 或3+ . 11 . 直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴的负方向滚动2周(不滑动)，圆上的一点由原点到达O′，点O′所对应的实数是___________． 【答案】-2π 【解析】2×2π× =2π，所以点O '所对应的实数是－2π. 12. 规定用符号 [ x ] 表示一个实数的整数部分，例如 [ 2.89 ] ＝2， [ ] ＝1，按此规定， [ ﹣1 ] ＝ __________ 。 【 答案】 3 【 解析 】 ： ∵ 4 ＜ ＜ 5， ∴ 3 ＜ ﹣1 ＜ 4， ∴ [ ﹣1 ] ＝3。故答案为：3。 1 3 . 如果 是 的整数部分， 是 的小数部分， =________． 【答案】 【解析】根据估算，可知 的整数部分为a=3，小数部分为 -3. 所以a-b=3-（ -3）=6- . （ 三）解答题 1 4 . 计算 ⑴.5+ -2 ⑵.4 -2（1- ）+ ⑶ + + 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式=2+0+2=4； 15. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2 ＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a ＋ bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似。 例如计算：（2﹣i） ＋ （5 ＋ 3i）＝（2 ＋ 5） ＋ （﹣1 ＋ 3）i＝7 ＋ 2i； （1 ＋ i） × （2﹣i）＝1 × 2﹣i ＋ 2 × i﹣i 2 ＝2 ＋ （﹣1 ＋ 2）i ＋ 1＝3 ＋ i； 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：i 3 ＝ __________ ，i 4 ＝ __________ ； （2）计算：（1 ＋ i） × （3﹣4i） （3）计算：i ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ … ＋ i 20 25 。 解：（1）i 3 ＝i 2 •i＝﹣i，i 4 ＝（i 2 ） 2 ＝ （﹣1） 2 ＝1。故答案为：﹣i，1；（2）（1 ＋ i） × （3﹣4i）＝3﹣4i ＋ 3i﹣4i 2 ＝3﹣i ＋ 4＝7﹣i；（3）i ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ … ＋ i 20 25 ＝i﹣1﹣i ＋ 1 ＋ … ＋ i＝i。 ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1. 在实数 ， ，0， ，3．1415，π， ， ，2.123122312233．．．（不循环）中，无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】根据无理数的定义：无限不循环小数即是无理数；则 ，2.123122312233．．（不循环）均为无理数，-3，0， ，3，1415， ，是有理数，故选：C． 2. 数轴上表示 的点 的位置应在（ ）． A. 与 之间 B. 与 之间 C. 与 之间 D. 与 之间 【答案】B 【解析】∵9<13<16，∴ ，∴ .故选B. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A选项： ，故是错误的；B选项： 计算正确，故是正确的；C选项： 无意义，是错误的； D选项： ，故是错误的.故选B. 4. 如图中是实数a、b在数轴上的对应点的位置，化简 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，∴a+b＜0，a-b<0，∴ 故答案为：D． 5. 在实数0.333…， ， ，-π，3.1415，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐渐增加）中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】由无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知，上述6个数中，属于无理数的是： ，一共3个，其余的数都是有理数.故选C. 6. 下列说法正确的个数有（ ）． ①近似数 千万精确度是个位； ②两个无理数的和一定是无理数； ③平方根等于本身的数只有 ； ④实数与数轴上的点一一对应． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】① 千万精确度是千万位，故①错误；②两个无理数的和可能是有理数，故②错误；③平方根等于本身的数只有 ，正确；④实数与数轴上的点一一对应，正确；所以正确的有2个，故选 B ． 7. 比较下列各数的大小，结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A. ，故A选项错误；B. ，正确； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项错误，故选B． ) ( 8. 设 ＝a，则下列结论正确的是（ ） A. 4.5＜a＜5.0 B. 5.0＜a＜5.5 C. 5.5＜a＜6.0 D. 6.0＜a＜6.5 【答案】B 【解析】∵ ＜ ，即5＜ ，∴5＜a．∵5.5 2 =30.25，∴5＜a＜5.5．故选B ． 9. 任意实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，现对72进行如下操作：72 → [ ]=8 → [ ]=2 → [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D． 6 【答案】B 【解析】 900 → 第一次[ ]=30 → 第二次[ ]=5 → 第三次[ ]=2 → 第四次[ ]=1，即对数字900进行了4次操作后变为1 ． 10 . 将1、 、 、 按如图方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（　 B 　） A． B．6 C． D． 【答案】B 【解析】 ( 6，5）表示第6排从左向右第5个数是 ，（13，6）表示第13排从左向右第6个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第6个就是 ，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是6． 二．填空题 11. 数轴上与1、 对应的点分别为A、B，点B关于A的对称点为C，设点C表示的数为x，则|x－ |＋ ＝______. 【答案】 3 【解析】x＝1－( －1)＝1－ ＋1＝2－ ，|x－ |＋ ＝|2－ － |＋ ＝|2－2 |＋(2＋ )＝2 －2＋2＋ ＝3 12 .一个实数的两个平方根分别是a+3和2a－5，则这个实数是________. 【答案】 【 解析】 根据题意得：(a+3)+(2a－5)=0 解得a= 2/3 .则a+3= 11/3 ， 则这个数时 (11/3) 2 = ，故答案为： . 13 .若 =1.38 ， = 13.8 ， 则b =______. 【答案】 b=1000 【 解析】 由 =1.38 ， = 13.8 ， 可得 =10 ， 根据立方根 ∴b=1000， 1 4 ．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是 ，它介于整数 和 之间，则 的值是______． 【答案】1 【解析】 ∵ ；∴ ；因为1.236介于整数1和2之间，所以 ;故答案为：1． ) ( 1 5 ．已知 的整数部分是 ．小数部分是 ，则 ______． 【 答案 】 6 -16 【解析】 ∵ ＜ ＜ ∴3＜ ＜4，又∵a是 的整数部分，b是 的小数部分，∴a＝3，b＝ −3，∴ 3-( −3) 2 =3-(10-6 +9)= 3-10+6 -9=6 -16．故答案是：6 -16． 16 ．定义新运算2*3＝2X+3Y，3*2＝3X+2Y，若2*3＝5，3*2＝10，则3X+3Y的平方根是 　 　 ． 【答案】 ± 3 【解析】 ：依题意得： 由 ① + ② ，得5X+5Y＝15，所以X+Y＝3 所以 ＝ ± ＝ ± ＝ ± 3．故答案是： ± 3． 17 ．如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 　 　 ． 【 答案 】 ． 【 解析】 ：两个正方形的边长都是1，两个小正方形的面积都为1，剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为2， ∴ 此大正方形的边长为 ，故答案为： ． 1 8 . 已知m是整数，且 ，那么m的值等于 ； 【答案】3 【解析】：∵ ，∴ ，∵m是整数，∴m=3．故答案为3． 1 9 ．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树种植在点 处，其中 ，当 时． 表示非负实数a的整数部分，例如 ．按此方案，第202 5 棵树种植在点 处，则 x 2025 = _______． 【 答案 】 67 5 【 解析】 由题意可得：当 ，7，10， 13 时， ， 当 等于其余大于等于2的正整数时， 均等于0，∴ ， ， ， ．且 2025=675 × 3 ， x 2025 =675 ，故答案为：67 5 ． 20 ．观察下列等式： ①3－ =（ －1） 2 ，②5－ =（ － ） 2 ，③7－ =（ － ） 2 ，… 请你根据以上规律，写出第5个等式____． 【 答案 】 【解析】 观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案．因为等式左边第一项依次增加2，所以第5个等式的第一项是11，因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1，所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5，因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积，所以这个数是30，观察其余部分都相同，直接带下来即可，所以第5个等式是 ．故答案为： ． ) ( 三．解答题（60分） 21 . 将这些数按要求填入下列集合中： ，4， ，3 2，0，-1，-（-5），-|-5|， 负数集合｛ …｝ 分数集合｛ …｝ 非负整数集合｛ …｝ 无理数集合｛ …｝ 解：负数集合｛ ，-1，-|-5|， …｝ 分数集合｛ ，3.2 …｝ 非负整数集合｛ 4，0，-（-5） …｝ 无理数集合｛ ， …｝ 22. 计算： （ ） ． （ ） ． （ ） ． （ ） ． 解 ： （ ）原式 ； （ ）原式 ； （3）原式 ； （ ）原式 ． 23. 已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为 ，f的算术平方根是8，求 ab＋ ＋e 2 ＋ 的值． 解：由题意可知：ab＝1，c＋d＝0，e＝± ，f＝64， ∴e 2 ＝(± ) 2 ＝2， ＝ =4. ∴ ab＋ ＋e 2 ＋ ＝ ＋0＋2＋4＝6 ． 2 4 . 定义一种新运算“ ”： ，比如： ． （1） 求 的值； （2） 若 ，求 的值． 解： （ 1） （ 2） ) ( 25 . （1）若x，y都是实数，且 ，求5x+13y+6的立方根； （2）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足 ，求c的取值范围． 解 : （1）∵要使 有意义∴x-3≥0且3-x≤0,∴x≥3且x≤3 ∴x=3,∴ =0+0+8=8,∴5x+13y+6=15+104+6=125∴5x+13y+6的立方根是 ； （2）∵ ∴ +（b-3） 2 =0,又∵ ≥0，（b-3） 2 ≥0，∴a-1=0,b-3=0,∴a=1 ， b=3,∴b-a<c<b+a∴2<c<4 26 ．先观察下列等式，再回答下列问题： ① ； ② ； ③ ． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． 解：（1） ，验证： ＝ ； （2） （n为正整数）． 27. 阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 =（1+ ） 2 ，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b =（m+n ） 2 （其中a、b、m、n均为正整数）则有：a+b =m 2 +2n 2 +2mn ，所以a=m 2 +2n 2 ，b=2mn．这样小明就找到了一种把a+b 的式子化为平方式的方法． 请仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b =（m+n ） 2 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得a= 　 　 ，b= 　 　 （2）若a+4 =（m+n ） 2 （其中a、b、m、n均为正整数），求a的值． 解：(1)∵a+b =(m+n ) 2 ，∴a+b =m 2 +3n 2 +2mn ，∴a=m 2 +3n 2 ，b=2mn.故a=m 2 +3n 2 ，b=2mn； （2）由题意，得 ∵4=2mn，且m、n为正整数， ∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=2 2 +3×1 2 =7或a=1 2 +3×2 2 =13 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$