第01讲 探索勾股定理 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（北师大版2024）

第01讲 探索勾股定理 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1勾股定理 2勾股定理的验证 3勾股定理的简单应用 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三、利用勾股定理证明线段平方关系 四、勾股定理的证明方法 五、以弦图为背景的计算题 六、用勾股定理构造图形解决问题 七、求旗杆高度(勾股定理的应用) 题型八、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（8） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1勾股定理 1. 勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c a²=c²-b²， b²=c²-a² 确定了直角三角形三边的数量关系 2. 找准条件灵活应用勾股定理 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b²+c²=a²  (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a²+c²=b²  (b为斜边长) ∠C =90° a²+b²=c²  (c 为斜边长) 知识点2勾股定理的验证 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又因为大正方形的面积＝4×ab＋  (b－a)²＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 知识点3勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 若所求线段不在 直角三角形中， 常作辅助线构造 直角三角形 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·广东河源·期中）在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【详解】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 【答案】289或161 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论． 分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①当第三边为斜边时， 由勾股定理得，； ②当第三边为直角边时， 由勾股定理得，； 综上，的值为289或161， 故答案为：289或161． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9，则正方形A，B，C，D的面积之和为（   ） A．9 B．18 C．81 D．56 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理推出正方形A，B，C，D的面积之和即为正方形G的面积，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理可知E的面积等于A的面积加上B的面积，F的面积等于C的面积加上D的面积，G的面积等于E的面积加上F的面积， ∴正方形A，B，C，D的面积之和即为正方形G的面积， ∵正方形G的边长为9， ∴正方形A，B，C，D的面积之和为81， 故选：C． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为 ． 【答案】100 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查正方形的面积以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出的长，再由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：100． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）陕西剪纸在中国及世界上都享有较高的声誉，有着“民族母体艺术”“源头文化历史活化石”的美誉．小华热爱剪纸，课后他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究． (1)图1是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，测得，，求该飞镖状图形的面积． (2)图2是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求的值． 【答案】(1)飞镖状图案的面积为； (2)． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题： （1）根据周长公式和勾股定理求出的长，分割法求出面积即可； （2）利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可． 【详解】（1）解：设，，由题意，得：， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴飞镖状图案的面积为； （2）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ∴ ， ∴． 题型三、利用勾股定理证明线段平方关系 7．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 8．（2025八年级·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 题型四、勾股定理的证明方法 9．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故该选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理； D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； 故选：C． 10．如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【答案】见解析． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明方法，准确识别图形，熟练掌握相关图形积的求解方法是解题的关键．首先根据正方形的面积公式列出表示正方形的面积的代数式，根据三角形的面积公式列出表示四边形的面积的代数式，根据两个四边形的面积相等可得等式，整理可得：． 【详解】解：根据题意可知， ， 由题意得：， ， 整理得：． 题型五、以弦图为背景的计算题 11．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图），大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边和为（　　） A．5 B．7 C．25 D．3 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】先设直角三角形的两直角边为a、b，然后根据题意，可以得到ab×4=13-1，a2+b2=13，然后即可计算出（a+b）2的值，从而可以求得a+b的值． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为a、b， 由题意可得，ab×4=13-1，a2+b2=13， ∴ab=6， ∴（a+b）2=a2+2ab+b2=（a2+b2）+2ab=13+2×6=13+12=25， ∴a+b=5或a+b=-5（舍去）， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、正方形的面积、三角形的面积、完全平方公式，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 12．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝2，b＝3，则长方形的面积为 ． 【答案】12 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为x， ∵a=2，b=3， ∴AB=2+3=5， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（2+x）2+（x+3）2=52， 整理得，x2+5x-6=0，即x2+5x=6， 而矩形面积为（2+x）（3+x）=x2+5x+6=6+6=12， 即该矩形的面积为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理得到x2+5x=6再整体代入计算是解题的关键． 题型六、用勾股定理构造图形解决问题 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理．电梯是个长方体，电梯中能放下的最大长度就是长方体对角线的长度，连接、构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图所示， 电梯中能放下的最大长度就是线段的长度， ， ， ， 故选：C． 14．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）请构图求出代数式的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查最短路线问题，勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键，过点作，过点作，使，，，为上一点，连接，则，当三点共线时，取到最小值，最小值为的长，过点作交的延长线于点，在中根据勾股定理，可得答案. 【详解】解：如图所示，过点作，过点作，使，，，为上一点，连接． 设，则， ∴，， ∴， 当三点共线时，取到最小值，最小值为的长． 过点作交的延长线于点，得长方形， 则，． ∴， 在中， 由勾股定理得：． ∴的最小值为． 故答案是：． 15．如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ 【答案】能，理由见解析 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】首先根据题意确定相应线段，再根据勾股定理求出CD的长，进而求出CH的长，再判断即可． 【详解】能通过，理由如下： 根据题意可知DH=2.3米． 卡车关于中线对称更容易通过，所以OD=0.8米． 在Rt△OCD中，根据勾股定理，得 （米）， ∴CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5， ∴卡车能通过此门． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是解决这一类问题的常用方法． 题型七、求旗杆高度(勾股定理的应用) 16．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为 1m，则学校教学楼的高度为（　　） A．11 m B．13 m C．14 m D．15 m 【答案】C 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为，可得，，，利用勾股定理可求出． 【详解】解：如图， 设学校教学楼的高度为，则，，， 左图，根据勾股定理得，绳长的平方， 右图，根据勾股定理得，绳长的平方， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 17．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为尺，木柱AB的长用含的代数式表示为 尺，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， 根据勾股定理可列方程：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，，由勾股定理得，求得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则，， 由勾股定理得，即， 解得，即， 由勾股定理得（米）， 答：旗杆的高度为12米． 题型八、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 19．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（    ） A．8m B．10m C．16m D．18m 【答案】C 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米． 所以大树的高度是10＋6＝16米． 故选：C． ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，大风将一棵大树从处折断，树尖刚好落在离树底处，大树在折断之前的高为 ． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得的长，则树折断之前的高度为，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， 由勾股定理得：， ∴大树在折断之前的高为， 故答案为：． 分层强化 一、单选题 1．已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形;已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边的平方为：； （2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边的平方为：． ∴第三边长的平方是25或7， 故选：B． 2．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（    ） A．7 B．5 C．25 D．1 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵正方体A的面积为3，正方体B的面积为4， ∴正方体C的面积=3+4=7， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，是解答此题的关键． 3．如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（  ） A．5尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】B 【分析】由题意可作一个直角三角形ABC，设AC长为x尺，则BC长为（25−x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图：由题意可知AB＝5尺，设AC长为x尺，则BC长为（25−x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＋AB2＝BC2， 则x2＋52＝（25−x）2， 解得：x＝12，即AC＝12尺， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际运用，读懂题意，画出图形运用方程思想是解题的关键． 4．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长． 【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6， ∴CD=6+6=12， 由勾股定理得，BD2=BC2+CD2， ∴BD2=122+52=169， 所以BD=13， 所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76． 故选：D． 【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2． 5．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解，从而可得答案. 【详解】解： 矩形纸片ABCD， 由折叠可得： 同理： 故选： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键. 6．如图，在中，，点D在上，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理， 利用勾股定理计算的长，结合题意可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 7．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C．   D． 【答案】D 【分析】对于选项的图形，可以用两种方法分别表示出大正方形的面积，然后由两种表示法的面积相等进行证明；对于选项的图形，可以用两种方法都表示中间正方形的面积，一种是直接表示正方形的面积，另一组是根据“中间正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积”进行表示，再由两种表示法的面积相等，结合整式的运算证明勾股定理；接下来按照同样的方法，表示出选项、中图形的面积，进而得出结论． 【详解】解：、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、三个直角三角形的面积和梯形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、不能证明勾股定理，故此选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理计算与证明，熟练掌握勾股定理，根据图形的面积关系进行证明是解答本题的关键． 8．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD， ∴AB＝BE， ∴∠A＝∠E＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠EDF＝90°， 设BC＝x， ∴AB＝BE＝2x， ∴CE＝x，AC＝， ∵∠ECF＝90°，∠E＝30°， ∴CF＝EF， ∵CE＝x， ∴CF＝， ∵AF＝8， ∴， ∴x＝ ∴AB＝2x＝， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A．10πcm B．20πcm C．10cm D．5cm 【答案】C 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点， ∵AB=5cm，BC=×10=5cm， ∴装饰带的长度=2AC=cm， 故选：C． 【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键． 二、填空题 10．中，，，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了勾股定理，熟知任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于直角三角形的斜边不能确定，故分是斜边与直角边两种情况进行解答． 【详解】解：当是直角边时，， 当是斜边时，， 故答案为：4或． 11．小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是 米． 【答案】170 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图：OA＝80米，AB＝150米， 根据勾股定理得：OB＝（米）． 故答案为：170． 【点睛】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算． 12．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为 ．    【答案】64 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，字母A代表的正方形的面积， 故答案为：64．    【点睛】本题考查了勾股定理，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键． 13．如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．连结，若，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，求出，进而得出，根据勾股定理计算，得到答案．此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 由四个全等的直角三角形可得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 即正方形的面积为． 故答案为：． 14．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为 m． 【答案】500 【分析】根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=53°，再根据平角的定义得出∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可． 【详解】由题意知BE∥AD， ∴∠DAB=∠ABE=53°， ∵∠FBC+∠CBA+∠ABE=180°且∠FBC=37°， ∴∠CBA=90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵BC=300，AB=400， ∴AC=（m）． 答：A、C两点之间的距离为500m． 【点睛】此题考查用勾股定理求两点之间的距离，用方位角的知识得到直角三角形是关键． 15．如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，当牙刷一端在底面圆上时，露在筒外的长度最小，根据实际情况构建数学模型是解题的关键． 【详解】解：如图，为底面直径，为高，当牙刷如图放置时露在筒外的长度最小， ，， ， ， 即牙刷露在筒外的长度最小， 故答案为：5． 16．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为 【答案】10或13 【分析】本题主要考查了勾股定理，设“完美直角三角形”的三边长为 ，其中是斜边，则可得方程组，进而可得，再由， 得到，即 为正整数)，据此讨论求解即可． 【详解】解：设“完美直角三角形”的三边长为 ，其中是斜边， 由题意得， 由②得③， 把③代入代入①得 ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴ 为正整数) ∴ ， 当时，， 当，则 当，则， 当，则； 综上所述，“完美直角三角形”的斜边长为10或13； 故答案为：10或13． 17．在中，，（1）如果，，则 ．（2）如果，，则 ． 【答案】 （1）； （2） 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理，即可求出答案； （2）先求出，再利用勾股定理，即可求出答案； 【详解】解：在中，，则为斜边； （1）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴, ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方． 三、解答题 18．在中，已知，求的长． 【答案】 【分析】先判定三角形是直角三角形，后用勾股定理计算即可． 【详解】∵∠A=∠B=45°， ∴∠C=90°，AC=BC=3， ∴AB=． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 19．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是，两孔中心的水平距离是．计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACB＝90°， ∴AC＝＝ ≈109.7mm， 答：两孔中心的垂直距离为109.7mm． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用．解此题的关键是注意数形结合思想的应用． 20．在举国欢庆中华人民共和国成立75周年之际，宁夏交通又添“新动脉”月1日上午，包银高铁惠农至银川段正式开通运营，贺兰山下高铁贯通南北．如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，， 若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通? 【答案】天才能把隧道凿通 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理列式算出，因为每天凿隧道，所以，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵每天凿隧道， ∴（天）， ∴天才能把隧道凿通． 21．在中，，所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素： （1）； （2）． 【答案】（1），，；（2），， 【分析】（1）利用勾股定理求出b，根据tanA==1，求出∠A即可解决问题． （2）利用勾股定理求出c，根据tanA==，求出∠A即可解决问题． 【详解】解：（1）b=， tanA==1， ∴∠A=45°， ∴∠B=90°-45°=45°； （2）c=， tanA==， ∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 22．小明从点A出发向北偏西方向走了3米到达点B，小林从点A出发向南偏西方向走了4米到达点C，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示1米），并从图上通过测量估算出B点到C点的实际距离． 【答案】图见解析，5米 【分析】根据方向角的概念画出图形，然后根据已知条件结合勾股定理，列出式子即可求出结果． 【详解】解：根据题意，如图： 由题意，，，， ∴； ∴B点到C点的实际距离是5米． 【点睛】本题主要考查了方向角的概念以及勾股定理，解题时要注意把直角三角形的性质和方向角的概念相结合． 23．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是多少米？ 【答案】12m 【分析】设旗杆的高度为xm，则AC=x m，AB=（x+1）m，BC=5m，利用勾股定理得到52+x2=（x+1）2，然后解方程求出x即可． 【详解】解：设旗杆的高度为xm，则，，， 在中，， 解得 答：旗杆的高度是12m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 24．如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？ 【答案】施工队天能挖完 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意可得，再利用勾股定理得出，继而即可求解． 【详解】解：由题意知，，   米，米， 米， 故（天）， 答：施工队天能挖完． 25．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． (1)求小凳子的高度； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可； （2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． （2）解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 探索勾股定理 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1勾股定理 2勾股定理的验证 3勾股定理的简单应用 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三、利用勾股定理证明线段平方关系 四、勾股定理的证明方法 五、以弦图为背景的计算题 六、用勾股定理构造图形解决问题 七、求旗杆高度(勾股定理的应用) 题型八、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（8） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1勾股定理 1. 勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c a²=c²-b²， b²=c²-a² 确定了直角三角形三边的数量关系 2. 找准条件灵活应用勾股定理 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b²+c²=a²  (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a²+c²=b²  (b为斜边长) ∠C =90° a²+b²=c²  (c 为斜边长) 知识点2勾股定理的验证 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又因为大正方形的面积＝4×ab＋  (b－a)²＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 知识点3勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 若所求线段不在 直角三角形中， 常作辅助线构造 直角三角形 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·广东河源·期中）在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9，则正方形A，B，C，D的面积之和为（   ） A．9 B．18 C．81 D．56 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为 ． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）陕西剪纸在中国及世界上都享有较高的声誉，有着“民族母体艺术”“源头文化历史活化石”的美誉．小华热爱剪纸，课后他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究． (1)图1是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，测得，，求该飞镖状图形的面积． (2)图2是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求的值． 题型三、利用勾股定理证明线段平方关系 7．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2025八年级·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 题型四、勾股定理的证明方法 9．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 题型五、以弦图为背景的计算题 11．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图），大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边和为（　　） A．5 B．7 C．25 D．3 12．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦如图1所示，数学家刘徽（约公元225年﹣公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a＝2，b＝3，则长方形的面积为 ． 题型六、用勾股定理构造图形解决问题 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）请构图求出代数式的最小值为 ． 15．如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ 题型七、求旗杆高度(勾股定理的应用) 16．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为 1m，则学校教学楼的高度为（　　） A．11 m B．13 m C．14 m D．15 m 17．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为尺，木柱AB的长用含的代数式表示为 尺，根据题意，可列方程为 ． 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，小明想要测量旗杆的高度（已知旗杆直立于地面，即），他将绳子拉到旗杆底端5m处A点，并在绳子上打了个结，然后向后退11米到达B处，发现此时绳子底端距打结处约7米，设法求出旗杆的高度． 题型八、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 19．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（    ） A．8m B．10m C．16m D．18m 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，大风将一棵大树从处折断，树尖刚好落在离树底处，大树在折断之前的高为 ． 分层强化 一、单选题 1．已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（    ） A． B．或 C． D． 2．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（    ） A．7 B．5 C．25 D．1 3．如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（  ） A．5尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 4．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　） A． B．2 C． D．1 6．如图，在中，，点D在上，，则的长为（    ） A． B．5 C． D．8 7．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C．   D． 8．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．6 9．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　） A．10πcm B．20πcm C．10cm D．5cm 二、填空题 10．中，，，则 ． 11．小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是 米． 12．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为 ．    13．如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．连结，若，，则正方形的面积为 ． 14．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.此时A，C两点之间的距离为 m． 15．如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小 ． 16．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等， 则称此三角形为“完美直角三角形”， 求“完美直角三角形”的斜边长为 17．在中，，（1）如果，，则 ．（2）如果，，则 ． 三、解答题 18．在中，已知，求的长． 19．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是，两孔中心的水平距离是．计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）． 20．在举国欢庆中华人民共和国成立75周年之际，宁夏交通又添“新动脉”月1日上午，包银高铁惠农至银川段正式开通运营，贺兰山下高铁贯通南北．如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，， 若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通? 21．在中，，所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素： （1）； （2）． 22．小明从点A出发向北偏西方向走了3米到达点B，小林从点A出发向南偏西方向走了4米到达点C，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示1米），并从图上通过测量估算出B点到C点的实际距离． 23．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是多少米？ 24．如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？ 25．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． (1)求小凳子的高度； (2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度. 学科网（北京）股份有限公司 $$