第一章三角形的证明【特殊三角形之等腰三角形】复习讲义 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

特殊三角形之等腰三角形 开心一笑 板块一：等腰三角形 知识清单 三角形知多少？ 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 等腰三角形的性质： (1)两腰相等。 (2)两底角相等。 (3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 (4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴。 （5）等腰三角形两腰上的高线、中线、两底角的角平分线也相等。 基础过关 【例1】 ⑴等腰三角形的一边长为3，一边长为5，那么它的周长是________。 ⑵等腰三角形的一边长为4，一边长为9，那么它的周长是________。 ⑶等腰三角形的一边长为4，周长为9，那么它的腰长是________。 ⑷若等腰三角形的周长为18cm，其中一边是另一边的1.5倍，求这个等腰三角形的各边长。 （5）△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是( ) A．140° B．80°或100° C．100°或140° D．80°或140° (6)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=. 能力提升 【例2】 （1）已知△ABC是等腰三角形，其中一边长为5，另一边长为6，求它的底边上的高。 (2)在中，，于D，CE平分交AB于E，求证：BC=BE （3)在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC,延长BC到E,使CE=CD,连接D. E.  (1)小华同学说：BD=DE，她说得对吗?请你说明道理。 (2)小敏说：把“BD平分∠ABC”改成其它条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢? （4）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D在BC上，∠BAD＝50°，在AC上取一点E，使得∠ADE＝∠AED，求∠EDC的度数。 板块二：等边三角形 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形的性质：（1）三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°。 （2) 三组三线合一 （3) (表示等边三角形的边长） 基础过关 【例3】（1）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° （2）如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，试判断△ADE的形状。 能力提升 【例4】 （1）下面给出的几种三角形：①三个外角相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有一个角为60°且有一边上的高也是这边的中线的三角形；④以等边三角形三边中点为顶点的三角形。其中是等边三角形的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（　　） A．25° B．30° C．45° D．60° （3）如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D. (1)求证：PD=DQ； (2)若△ABC的边长为1，求DE的长。 （4）已知：点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H， (1)求证：△BCE≌△ACD； (2)求证：CF =CH； (3)判断△CFH的形状并说明理由。 课后作业 知识模块一 等腰三角形 课后演练 【演练1】（1） 已知一个等腰三角形两内角的度数之比是1：4，则这个等腰三角形顶角的度数（ ） A.200 B.1200 C.200 或1200 D.360 (2)AB＝7cm，BC∶AC＝2∶5，如果△ABC恰好是等腰三角形，试求BC、AC的值。 （3）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰形成的夹角度数为40∘，求此等腰三角形的底角度数。 【演练2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB，DE⊥AB于点E，若BC=10，且△BDC的周长为24，(1)求AC的长。 (2)求AE的长。 【演练3】如图所示，五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点。求证：AF⊥CD. 知识板块二 等边三角形 课后演练 【演练4】边长为4的正三角形的高为（　　） 　 A． 2 B． 4 C． D． 2 【演练5】如图，在正△ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作正△CDE， 求证：BE=AD。 【演练6】已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证： （1）△AEF≌△CDE； （2）△ABC为等边三角形． 挑战题 【挑战1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号　　　（把你认为正确结论的序号都填上） 【挑战2】如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度数． 【挑战3】如图，直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ADCB是菱形，BA的延长线交CF于点F，连接AC． （1）图中有几对全等三角形，请把它们都写出来； （2）证明：△ABC是正三角形． 【挑战4】已知：如图△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD． （1）求证：△AGE≌△DAC； （2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论． 【挑战5】如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC＋∠DAE＝150 °，求∠BAC。 【挑战6】如图，△ABC中，AM＝AN，CN＝CP，AB＝AQ，CB＝CG。试比较∠MNP和∠GBQ的大小。 【挑战7】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD，则△COD是等边三角形；当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $$