第一章 三角形的证明复习讲义（一）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明（一） 知识讲解： 一、全等三角形 ( 图1 )性质：对应边相等，对应角相等 判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL（直角三角形） 对应小练： 1.如图1,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AB=ED,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是 (　　) ( 图2 )A.∠A=∠D B.AC=DF C.BF=EC D.AC∥FD 2.如图2,△ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC=40°,则∠DCA的度数为　 .  3. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F． ( A B C D F E )求证：DE=DF． ( 第3题 )二、等腰三角形 （一）定义： （二）性质 （1）等腰三角形两条腰相等 （2）等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）； （3）推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；（三线合一） （4）等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴） （三）判定 （1）如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形； ( D B C A )（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（等角对等边） 对应小练： 1.如图，在△ACD中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= . 2.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　） ( 第1题 )A．12 B．16 C．20 D．16或20 3.等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（　　） A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°，20° 4.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°,∠B=50° B．∠A=40°,∠B=60°C．∠A=20°,∠B=80° D．∠A=40°,∠B=80° ( A B C E D F )5.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC （1）若∠ADE=80°，则∠DEB= . （2）若F为BE中点，求证DF与BE的位置关系. ( 第5题 ) 三、等边三角形 （一）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） （二）性质 （1）等边三角形三条边都相等； （2）等边三角形的三个内角都是60〬； （3）等边三角形的每条边都存在三线合一； （4）等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线（有3条对称轴）； （三）判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形。 对应小练：1.在中，，，则的长为　 　． 2.在中，已知，且的周长为，则的长为　 　． 3.如图所示，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线， 求证：是等边三角形． 四、直角三角形 （一）定义：三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. （二）性质 （1） 直角三角形中两锐角互余. （2） 直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半. （3） 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. （4） 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半. （5） 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积 对应小练： 1.在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是 (　　) A.75° B.65° C.55° D.45° 2.在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是 (　　) A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.b2+c2=a2 D.以上都有可能 3. 一个三角形的两边长分别为3和4,要使该三角形为直角三角形,则第三边长为　　　　.  4.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P,已知 ∠EPD=125°,则∠BAD= . （三）判定 (1) ( 第4题 )有两内角互余的三角形是直角三角形.　 (2) 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 对应小练： 1. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件中,不能判定△ABC为直角三角形的是 (　　) A.∠A=∠B+∠C B.a：b：c=1：1： C.∠A：∠B：∠C=3：4：5 D.b2=a2+c2 2.若三角形的三边长分别为6,8,10,则它的最长边上的高为　　　　.  3.如图是一个机器零件的示意图,∠ACD=90°是衡量这个零件合格的一项指标,现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm,∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由. （四）直角三角形全等的“HL”的判定定理 （1）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （2）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 对应小练： 1.如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,则能直接得到△PEA与△PFA全等的理由是 (　　) ( 第1题 )A.HL　　 B.AAS　　 C.SSS　　 D.SAS 2.如图所示,∠C=∠D=90°,若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需要添加的条件是(　　) A.∠BAC=∠BAD 　 B.BC=BD或AC=AD C.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确 3.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 (　　) ( 第2题 )A.一个锐角和斜边分别相等 B.两条直角边分别相等 C.两个锐角分别相等 D.斜边和一条直角边分别相等 4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在边AB上,且BD=BC,过点D作EF⊥AC,交AC于点E,交CB的延长线于点F.求证:AB=BF. ( 第4题 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$