等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 教学设计 -2024-2025学年北师大版数学八年级下册

本文围绕等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质展开，承接等腰三角形知识背景，为后续几何学习奠基。通过观察图形、探究例题等环节，培养学生数学眼光、思维与语言表达等核心素养。 该设计创新点在于借助多媒体、几何画板辅助教学。从学生层面看，能提升其逻辑推理能力；从教师层面看，提供了清晰授课路径；从课堂效果看，增强了互动性，有效突破教学难点。

教学内容 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 授课人 教材分析 （1）本节课的主要教学内容是等边三角形的判定及其与含有 30° 角的直角三角形性质的应用。 （2）本节课主要介绍了等边三角形判定的三种方法：通过三边相等、三个角均为 60° 以及有一个角是 60° 的等腰三角形来判定等边三角形。同时，课程深入探讨了含有 30° 角的直角三角形的独特性质，包括该直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边一半的规律。 （3）通过学习本节课，学生能够理解并掌握等边三角形的判定方法，进而灵活应用这些方法解决相关的几何问题。此外，学生还能学会如何利用含有 30° 角的直角三角形的特殊性质解决实际问题，提高综合运用知识的能力。这一过程不仅锻炼学生的逻辑推理能力，还培养他们对几何图形的敏感性和空间想象能力。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过观察等边三角形和含 30° 角的直角三角形的图形特征，理解其几何性质，并能够从现实情境中抽象出数学模型。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过探究等边三角形的判定方法及含 30° 角的直角三角形的性质，发展逻辑推理能力，能够运用数学思维解决相关几何问题。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过书写和表达等边三角形及含 30° 角直角三角形的性质与判定过程，掌握数学语言的准确性和严谨性，能够清晰地阐述数学结论。 教学重难点 （1）掌握等边三角形的判定方法，并能在实际问题中灵活运用，培养学生逻辑推理和几何直观的核心素养。 （2）理解含 30° 角的直角三角形的性质，并能运用其解决几何问题，提升学生的数学建模和运算能力。 教学资源 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示等边三角形及其性质的动态演示，以及含 30° 角直角三角形的几何图形和相关例题的解析过程。 （2）《北师大版数学八年级下册》教材，确保学生能够参考课本中的相关内容，加深对等边三角形判定方法和含 30° 角直角三角形性质的理解。 （3）几何画板软件，用于辅助学生绘制和探索等边三角形和含 30° 角直角三角形的相关图形，增强直观感受和动手操作能力。 教学过程 一、情境导入 观察下面的图形： 师： 等腰三角形中有一种特殊的三角形，大家知道是什么三角形吗？ 生： 等边三角形。 师： 很好！等边三角形具有一种和谐的对称美。今天我们就要深入了解这种特殊的三角形，引出课题《等边三角形》。 二、合作探究 探究点一：等边三角形的判定 【类型一】 三边都相等的三角形是等边三角形 （1）已知 a，b，c 是△ABC 的三边，且满足关系式 a² + c² = 2ab + 2bc - 2b²，试说明△ABC 是等边三角形。 解析：将已知的关系式化简为两个完全平方和的形式，并求解。 解：移项得 a² + c² - 2ab - 2bc + 2b² = 0， 即 a² - 2ab + b² + c² - 2bc + b² = 0， ∴ (a - b)² + (b - c)² = 0。 因为平方和为零，则每一项都为零，所以 a - b = 0 且 b - c = 0，即 a = b 且 b = c， 因此 a = b = c。 故△ABC 是等边三角形。 （2）师： 我们已经知道如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形就是等边三角形。接下来，请大家思考一个问题：如果一个三角形的三个内角都是 60°，这样的三角形是不是也是等边三角形呢？（生：是） 【类型二】 三个角都是 60° 的三角形是等边三角形 如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O，且 OD∥AB，OE∥AC。试判断△ODE 的形状，并给出理由。 解析：根据平行线的性质和等边三角形的性质，可以得出∠ODE = ∠OED = 60°，再利用三角形内角和定理得到∠DOE = 60°，从而推断出△ODE 是等边三角形。 解：△ODE 是等边三角形。 理由如下：因为△ABC 是等边三角形，所以∠ABC = ∠ACB = 60°。 由 OD∥AB，OE∥AC 可知 ∠ODE = ∠ABC = 60°，∠OED = ∠ACB = 60°。 因此，∠DOE = 180° - ∠ODE - ∠OED = 180° - 60° - 60° = 60°。 综上所述，∠DOE = ∠ODE = ∠OED = 60°。 故△ODE 是等边三角形。 （3）师： 我们已经学习了两种判定等边三角形的方法。现在来看第三种方法。如果一个等腰三角形有一个角是 60°，那么这个三角形是否一定是等边三角形呢？（生：是） 【类型三】 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 如图，在△EBD 中，EB = ED，点 C 在 BD 上，CE = CD，BE⊥CE，A 是 CE 延长线上一点，AB = BC。请问△ABC 是什么形状？并证明你的结论。 解析：由于 EB = ED，CE = CD，结合等边对等角及三角形外角性质，可以推出∠CBE = ∠ECB。再利用 BE⊥CE，通过三角形内角和定理，进一步可得∠ECB = 60°。又因为 AB = BC，从而得出△ABC 是等边三角形。 解：△ABC 是等边三角形。 理由如下：因为 CE = CD，所以∠CED = ∠D。 又因为∠ECB = ∠CED + ∠D，所以∠ECB = 2∠D。 由于 BE = DE，因此∠CBE = ∠D，继而∠ECB = 2∠CBE，这意味着∠CBE = ∠ECB。 因为 BE⊥CE，所以∠CEB = 90°。 依据三角形内角和定理，∠ECB + ∠CBE + ∠CEB = 180°，代入已知条件得 ∠ECB + ∠ECB + 90° = 180°，解得∠ECB = 60°。 最后，既然 AB = BC，那么△ABC 是等边三角形。 探究点二：含 30° 角的直角三角形的性质 【类型一】 利用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD = 3cm，请问 AB 的长度是多少？（选项：A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm） 解析：在 Rt△ABC 中，因为 CD 是斜边 AB 上的高，所以∠ADC = 90°，进而∠ACD = ∠B = 30°。从 Rt△ACD 中，我们知道 AC = 2AD = 6cm；然后在 Rt△ABC 中，AB = 2AC = 12cm。因此，正确答案是 D 选项。 （4）师： 刚才我们一起探讨了含 30° 角的直角三角形的一些特性。下面我们来看看这些特点在实际问题中的具体运用情况。 【类型二】 与角平分线相关的综合应用 如图，∠AOB = 30°，OP 平分∠AOB，PC∥OA 并交 OB 于点 C，PD⊥OA 于点 D，若 PC = 3cm，求 PD 的长度。（选项：A. 3cm B. 2cm C. 1.5cm D. 1cm） 解析：过 P 作 PE⊥OB 于 E，因为 PC∥OA，所以∠AOP = ∠CPO，意味着∠PCE = ∠BOP + ∠CPO = ∠BOP + ∠AOP = 30°。已知 PC = 3cm，则 PE = ×3 = 1.5cm。因为∠AOP = ∠BOP，OP = OP，同时∠OEP = ∠ODP，所以△OPE≌△ODP，从而 PD = PE = 1.5cm。因此，正确答案是 C 选项。 （5）师： 接下来我们继续解决一个实际问题，了解一下含 30° 角的直角三角形在生活中如何应用。 【类型三】 利用含 30° 角的直角三角形解决实际问题 某市 “旧城改造” 项目中计划在一个如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境。已知 AC = 50m，AB = 40m，∠BAC = 150°，这种草皮每平方米售价为 a 元，那么购买这种草皮至少需要多少钱？ 解析：作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于 D。在 Rt△ABD 中，利用 30° 角所对的直角边是斜边的一半求 BD，即△ABC 的高度。再利用三角形面积公式计算该地块面积，最终得出所需金额。 解：如图所示，过 B 作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于 D。因为∠BAC = 150°，所以∠DAB = 30°。给定 AB = 40m，那么 BD = AB/2 = 20m。因此 S△ABC = ×50×20 = 500 (m²)。既然这种草皮每平方米售价为 a 元，则总共需要支付 500a 元。 三、课堂小结 师： 通过今天的课程，我们掌握了三种判定等边三角形的方法： 当一个三角形的三条边都相等时，它是等边三角形； 如果一个三角形的三个角都是 60°，它也是等边三角形； 对于一个有 60° 角的等腰三角形来说，它还是等边三角形。 此外，我们也学习了含有 30° 角的直角三角形的性质，通过具体的例子加深了理解。希望大家能熟练掌握这些知识点，并能在实际操作中灵活运用。 作业设计 （1）请根据等边三角形的判定方法，证明以下三角形是否为等边三角形，并说明理由：一个三角形两边相等，且其中一个角为 60°。 （2）应用含 30° 角的直角三角形的性质，计算以下直角三角形的斜边长度：一个直角三角形的一个锐角为 30°，且该角所对的直角边长度为 4cm。 学科网（北京）股份有限公司 $$