精品解析：山东省青岛市城阳区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共18小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A.∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．逐个判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和步骤．根据因式分解的方法和步骤逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A正确，符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、不能因式分解，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 一次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．熟练掌握图象法解不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为， A、当时，，选项正确，不符合题意； B、当时，，选项正确，不符合题意； C、当时，，选项错误，符合题意； D、当时，，选项正确，不符合题意； 故选:C． 5. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） x取值 4 a 16 分式的值 无意义 0 b A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的值，分式有意义的条件，解分式方程，结合已知条件列得正确的算式及方程是解题的关键． 结合已知条件，利用分式的值及分式有意义的条件分别求得的值即可． 【详解】解：由表格可得当时，分式无意义， 则， 解得：，则A不符合题意； 当时，分式的值为0， 则， 解得：，则B不符合题意； 当时，分式的值为0.1， 则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，则C不符合题意； 当时，分式的值为， 则，则D符合题意； 故选：D． 6. C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，解题关键是从题干中提取出等量关系式．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-C919所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 7. 如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，则，由可得，则，所以，即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 根据旋转的性质可得，，则， ∵， ∴， ∴， 由可得， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程． 8. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，三角形三边关系灵活运用完全平方公式是解题的关键．根据三角形三边关系可判断①正确；根据完全平方公式即可得到②③正确；将不等式两边平方再相减即可得出④正确． 【详解】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知，故①正确； ②，， 即，故②正确； ③，， ，故③正确； ④， ， 、、都大于0， ，故④正确； 故选：D． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 10. 若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是______边形． 【答案】十## 【解析】 【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和．根据任意凸多边形的外角和都为，内角和都为（其中n为边数），再结合题意列出等式，求出n即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，则依题意得： ， 解得， 故这个多边形十边形． 故答案为：十． 11. 不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先分别求解两个不等式，根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出不等式组的解集，结合原不等式组的解集是，得出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，两个正方形的边长分别为m，n，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及三角形面积、正方形面积，熟练掌握提公因式分解因式是解题关键．先表示阴影部分的面积为，再进一步的运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质，构造角平分线的性质定理的条件和直角三角形是解题的关键．过D作于H，根据角平分线的定义可得，再根据，推出即可解答． 【详解】解：如图：过D作于H，即， ∵平分交于点D ∴， ∵， ∴ 故答案为：10． 14. 如图，在中，，是边上的高，点F在边上，E为的中点，连接．若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 先根据“三线合一”得出点D为中点，再根据三角形的中位线定理得出，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴点D为中点， ∵E为的中点，， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰·彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对晶体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中的度数是______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质，求得平行四边形的锐角是解题的关键．由图①可知，图②中的平行四边形的锐角等于周角的五分之一，即，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：由图①可知，图②中的平行四边形的锐角， ， ， 根据题意得， ， 故答案为：36． 16. 如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是图形变化规律以及结合全等三角形，等边三角形的知识内容，关键在于通过证明全等三角形的基础上去研究边的变化规律． 先连接，找到全等三角形，进而得到，理清边与边的大小变化规律，然后总结出变化规律式子即可得解． 【详解】解：如图1，连接． ∵六边形是正六边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵、分别为、中点， ∴， ， ∵六边形是正六边形，是等边三角形， ， ， 同理， 即， ∵等边三角形的边长是， ∴第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的， 如图2，过作于，过作于， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵(已证)， ， ， 同理， ∴，即第二个等边三角形的边长是； 同理第三个等边三角形的边长是； 同理第四个等边三角形的边长是； 第五个等边三角形的边长是； 第个等边三角形的边长是， ∴第2024个等边三角形的边长为：． 故答案为：． 三、作图题 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：及其一边上的两点A，B． 求作：，使，点C在内部且到角两边的距离相等． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图． 作平分，过点作与交于点，连接即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. （1）解不等式组：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法，以及提公因式法因式分解． （1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可； （2）整理后，提公因式即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为： （2） ． 19. 化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】化简结果： 当时，原式= 【解析】 【分析】先把分式中能分解因式的先分解因式，把除法转化为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】解： 当时，上式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意代入时一定要注意使原分式有意义，掌握以上的知识是解题的关键． 20. 如图，三个顶点的坐标分别是，，，为内任意一点． （1）将平移得到，点C的对应点是，请在图中画出，并写出点的坐标（___，___）； （2）若是经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（____，____）（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）画图见解答； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、坐标与图形变化-旋转，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）由题意得，向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到，根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）连接，相交于点，可知绕点旋转得到，进而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到，如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：连接，相交于点，则绕点旋转得到，点的对应点的坐标为． 故答案为：． 21. 围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出 了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副； 方案二：按购买总金额的八折付款． 该学校选择哪一种方案支付的总费用较少？ 【答案】当时，方案一总费用少；当时，两种方案费用相同；当时，方案二总费用少． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，正确列出方程，不等式和函数表达式． 设方案一、方案二够买总费用分别为，先根据题意列出的表达式，再进行分类讨论即可． 【详解】解：设方案一、方案二够买总费用分别为， 方案一：， 方案二：， 当时，， 解得：， ∴当时，方案一总费用少； 当时，， 解得：， ∴当时，两种方案费用相同； 当时，， 解得：， ∴当时，方案二总费用少； ∵ ∴当时，方案一总费用少；当时，两种方案费用相同；当时，方案二总费用少． 22. 如图，在中，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）的度数为 （2）的周长为18 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ， ， ∵是的一个外角， ， ， ， ， ∴的度数为； 【小问2详解】 ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长 ， 即的周长为18． 23. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 【答案】（1）见解答 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点于点，得，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由全等三角形的性质得，再证，然后由三角形面积关系得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案，证明：∵于点于点， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：50． 24. 类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的． 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步探究】 小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：，（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式： 通过计算，求得：□所代表的系数是______，☆所代表的常数是______； 【深入探究】 小明用上述方法对多项式进行因式分解，得到：（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为______； 【拓展应用】 我们知道，若则或，例如：，则或，由此我们可以求出关于x的方程的一个解为，另一个解为．结合上述信息解答下列问题： （1）若关于x的方程的一个解为，则另一个解为_____； （2）若关于x的方程有两个解为，，则第三个解为______． 【答案】初步探究：；深入探究：；拓展应用：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解、二元一次方程组的求解、归纳与类比，会利用类比的方法，关键在于掌握类比推理的思想方法． 初步探究：根据，即可求解； 深入探究：对该多项式列出竖式进行因式分解，即可求解※所代表的多项式； 拓展应用：（1）将方程左边进行因式分解，即可得到另一个解； （2）将方程左边进行因式分解，即可得到第三个解； 【详解】解：初步探究：根据题意，，， 解得：，； 深入探究：根据题意，列出竖式如下： 则※所代表的多项式为：； 拓展应用：（1）∵关于x的方程的一个解为， 则将方程左边进行因式分解，得到其中一个因式为，列竖式如下图： 则，则另一个解为； （2）∵关于x的方程有两个解为，， 则将方程左边进行因式分解，得到其中两个因式为，列竖式如下图： 则，则第三个解为． 25. 某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题： （1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元； （2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）1800，1500 （2） （3）购进甲种空调15台、乙种空调5台，最大利润是11500元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设乙种空调每台的进价是元，则甲种空调每台的进价是元，根据“购进某种空调的数量=购进该种空调金额该种空调每台进价”列方程并求解即可； （2）购进乙种空调的数量为台，根据“所获利润＝甲种空调每台利润甲种空调数量+乙种空调每台利润乙种空调数量"写出与之间的函数关系式即可； （3）根据“甲种空调每台的进价购进甲种空调的数量+乙种空调每台的进价购进乙种空调的数量”列关于的一元一次不等式并求解；根据（2）中求得的函数关系式的增减性和的取值范围，确定当为何值时值最大，求出其最大值及对应的的值即可． 【小问1详解】 解：设乙种空调每台的进价是元，则甲种空调每台的进价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)， ∴甲种空调每台的进价是1800元，乙种空调每台的进价是1500元． 【小问2详解】 解：由题意可知，购进乙种空调的数量为台． ， ∴与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得； ， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，（台）， ∴购进甲种空调15台、乙种空调5台时，该商场获得的利润最大，最大利润是11500元． 26. 如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． （1）当时，求t的值； （2）连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）2或6 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定可知：，列方程可解答； （2）根据梯形面积公式可解答； （3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， 如图2，当点的对称点在线段上时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图3，当点的对称点在线段的延长线上时， ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是2或6． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共18小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A B. C. D. 4. 一次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） x的取值 4 a 16 分式的值 无意义 0 b A. B. C. D. 6. C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将含有锐角三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：2a3﹣8a=________． 10. 若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则它是______边形． 11. 不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 12. 如图，两个正方形的边长分别为m，n，若，，则图中阴影部分的面积为________． 13. 如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，连接．若，则的长为______． 14. 如图，在中，，是边上的高，点F在边上，E为的中点，连接．若，则的长为______． 15. 图①所示的彭罗斯地砖，是由获得诺贝尔奖的英国数学家罗杰·彭罗斯提出的一种铺满平面的方案．这种地砖蕴含着准晶体原子排列的秘密，打破了人们对晶体认知的局限．它是由图②和图③所示的两种不同平行四边形镶嵌而成，则图③中的度数是______． 16. 如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为______． 三、作图题 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：及其一边上的两点A，B． 求作：，使，点C在内部且到角两边的距离相等． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. （1）解不等式组：； （2）分解因式：． 19. 化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 如图，三个顶点的坐标分别是，，，为内任意一点． （1）将平移得到，点C的对应点是，请在图中画出，并写出点的坐标（___，___）； （2）若是经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（____，____）（用含m，n的式子表示）． 21. 围棋与象棋作为两种深受人们喜爱的古老棋艺，它们不仅体现了中华民族智慧的精髓，同时也反映了中国文化的深厚底蕴．国家“双减”政策实施后，某校积极开设棋类社团，并计划为参加棋类社团的同学购买30副围棋和副象棋，已知每副围棋的价格是60元，每副象棋的价格是25元．在购买时，恰逢商场推出 了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过10副时，每超过1副则赠送象棋1副； 方案二：按购买总金额的八折付款． 该学校选择哪一种方案支付总费用较少？ 22. 如图，在中，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 23. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 24. 类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的． 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步探究】 小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：，（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式： 通过计算，求得：□所代表的系数是______，☆所代表的常数是______； 深入探究】 小明用上述方法对多项式进行因式分解，得到：（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为______； 【拓展应用】 我们知道，若则或，例如：，则或，由此我们可以求出关于x的方程的一个解为，另一个解为．结合上述信息解答下列问题： （1）若关于x的方程的一个解为，则另一个解为_____； （2）若关于x的方程有两个解为，，则第三个解为______． 25. 某商场准备购进甲、乙两种空调，已知甲种空调的每台进价比乙种贵300元，用36000元购进甲种空调的数量与用30000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题： （1）甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元； （2）若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价2000元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调的数量m（台）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过34500元购进两种空调，则甲、乙两种空调各购进多少台时，该商场获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． （1）当时，求t值； （2）连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$