精品解析：山西省运城市盐湖区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024—2025学年度第二学期期末质量监测 初二数学 注意事项： 1.本试卷共7页，满分120分，监测时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.监测结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答题卡上该选项涂黑．） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年世界读书日的主题是“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的4倍 D. 扩大为原来的2倍 5. 在中，已知，，，则的面积是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 6. 分式方程的根是（ ） A. B. 无解 C. D. 7. 如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 不等式的最大整数解是（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 9. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在中，，，，，，都等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是__________． 13. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则__________． 14. 如图，在中，，，平分，是的中点，连接，则的周长为__________． 15. 如图，在中，，，，是边上高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）因式分解： （2）解不等式组： 17. 下面是小红化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 （1）化简过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是____，第二步变形的依据是______． （2）上述解答过程中第______步开始出现错误．错误的原因是______． （3）请写出正确的化简过程． 18. 已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，如图所示， （1）请画出向右平移5个单位后得到． （2）经过一次旋转得到 ①请直接写出旋转中心点P的坐标_______． ②经过怎样的旋转可以得到？ 20. 年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到月日全球票房超亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． （1）从小明家到主题公园的路程为千米，其中高速公路路段与普通公路路段的长度比为，已知高速公路行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过小时后到达目的地．求汽车在高速路段行驶的平均速度是多少？ （2）小明计划用不超过元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价元，敖丙手办单价元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 21. 阅读与思考 下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法如图2： ①在直线上任取一点，连接并延长至点，使， ②在直线上再取一点，连接， ③作的垂直平分线，交于点， ④作直线．则直线即为所求． 勤学小组的证明： ，点是的中点 是的垂直平分线，点是的中点 ∴是的中位线 ∴（依据 ），即 善思小组的作法如图3： ①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求． 善思小组的证明：…… （1）任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______． （2）任务二：请完成善思小组的证明过程． （3）任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 【问题呈现】如图1，是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中，垂足为O，三角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域（图2），使点分别在上，点F在上，经测量，采购员需要准备分割所用的篱笆和． 【数学建模】采购员以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，直接写出直线的函数表达式． （2）①当米时，求点E的坐标． ②在①的基础上直接写出所需购买篱笆的总长（结果精确到1米，参考数据：） 23. 综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究． 【探索发现】 （1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明． 【猜想证明】 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末质量监测 初二数学 注意事项： 1.本试卷共7页，满分120分，监测时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.监测结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答题卡上该选项涂黑．） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2. 2025年世界读书日的主题是“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 下列由左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把多项式转化为几个整式的积的形式．需逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】解：A. ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法而非因式分解，故错误． B. ，右边为乘积与常数相加的形式，未完全转化为积的形式，故错误． C. ，左边是单项式与多项式的乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法，故错误． D. ，左边是二次多项式，右边分解为两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义，故正确． 故选：D 4. 把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的4倍 D. 扩大为原来的2倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 把分式中的a、b分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可解答． 【详解】解：，即分式的值不变． 故选：A． 5. 在中，已知，，，则的面积是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理； 过点C作于E，可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出，进而可计算的面积． 详解】解：如图，过点C作于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 6. 分式方程的根是（ ） A. B. 无解 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程乘以转化为整式方程求解，并检验解是否使分母为零解答即可． 【详解】解：两边同时乘以得， 解得：， 经检验：是原方程的增根， ∴原方程无解， 故选：B． 7. 如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质；根据勾股定理求出，由角平分线性质定理得，再证明可得，可得出，再由的周长求得结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 8. 不等式的最大整数解是（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，整数解，解出不等式，根据解集即可求出最大整数解． 【详解】解： 去分母：两边同乘6，得： 展开并整理： 合并同类项： 两边减2： 确定最大整数解：满足的最大整数是4， 故选：B 9. 如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的各种判定方法进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，，根据一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，故该选项不符合题意； B、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意； C、，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理得出，即可判断①；再由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定与性质可推出，，则四边形是平行四边形，即可判断③；然后由平行四边形的性质得，即可判断②；过作于，根据含角的直角三角形的性质和平行四边形的性质求出，进而得到，即可判断④；即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，且， ，故①正确； ，，都是等边三角形， ，，，， ，， 即，， 在与中， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ，故②正确； 过作于，则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提取公因式法，公式法分解因式，先提取公因数，再利用公式法分解因式即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．根据函数图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与图象相交于点， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方， ∴不关于x的不等式的解集是：， 故答案为：． 13. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，对顶角．根据多边形的内角和公式可得：正六边形的内角和为，再根据正六边形定义可得，由此可得．在四边形中，可知，即可得出的度数，根据对顶角性质可得：，，进而得出答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴正六边形的各内角相等， ∴． ∵正六边形的内角和为：， ∴． 在四边形中，， ∴ ． ∵，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，平分，是的中点，连接，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， ∵E是的中点，， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16 （1）因式分解： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和因式分解； （1）利用平方差公式分解因式，然后提取公因式解答即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） = = = =； （2）解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 17. 下面是小红化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 （1）化简过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是____，第二步变形的依据是______． （2）上述解答过程中第______步开始出现错误．错误的原因是______． （3）请写出正确的化简过程． 【答案】（1）完全平方公式；分式的基本性质 （2）三；括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）观察解答过程可得答案； （2）观察解答过程知第三步开始出现错误，原因的括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （3）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分． 【小问1详解】 解：观察解答过程可得，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是完全平方公式，第二步变形的依据是分式的基本性质； 故答案为：完全平方公式，分式的基本性质； 【小问2详解】 解：观察解答过程知，解答过程中第三步开始出现错误． 错误的原因是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 【小问3详解】 解： ． 18. 已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】，，见解析 【解析】 【分析】方法一：利用证明，则可得， ，进而可得，则； 方法二：利用证明，则可得， ，进而可得； 方法三：连接与交于点O，连接，,根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，则可得，． 【详解】解：，，理由如下： 方法一： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴． 方法二： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴，， ∴． 方法三： 连接与交于点O，连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，如图所示， （1）请画出向右平移5个单位后得到的． （2）经过一次旋转得到 ①请直接写出旋转中心点P的坐标_______． ②经过怎样的旋转可以得到？ 【答案】（1）见解析 （2）①；②绕点逆时针旋转可以得到 【解析】 【分析】此题考查了平移和旋转的作图和性质，根据旋转和平移的性质进行解答即即可． （1）根据平移方式作图即可得到答案； （2）①根据旋转的特征找到旋转中心即可；②根据旋转的特征找到旋转三要素即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 ①旋转中心点P的坐标为， 故答案为： ②由题意可得，绕点逆时针旋转可以得到 20. 年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到月日全球票房超亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩． （1）从小明家到主题公园的路程为千米，其中高速公路路段与普通公路路段的长度比为，已知高速公路行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过小时后到达目的地．求汽车在高速路段行驶的平均速度是多少？ （2）小明计划用不超过元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价元，敖丙手办单价元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多个．请问小明最多能买几个哪吒手办？ 【答案】（1）千米时； （2）个． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出分式方程和不等式是解题的关键． （）设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为千米时，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设小明购买了个哪吒手办，根据题意得，然后解不等式并检验即可． 【小问1详解】 解：设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为千米时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合实际， （千米时） 答：汽车在高速公路路段行驶的平均速度为千米时； 【小问2详解】 解：设小明购买了个哪吒手办， 根据题意，得， 解得：， ∵为正整数且取最大值， ∴， 答：小明最多能买个哪吒手办． 21. 阅读与思考 下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法如图2： ①在直线上任取一点，连接并延长至点，使， ②在直线上再取一点，连接， ③作的垂直平分线，交于点， ④作直线．则直线即为所求． 勤学小组的证明： ，点是的中点 是的垂直平分线，点是的中点 ∴是的中位线 ∴（依据 ），即 善思小组的作法如图3： ①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求． 善思小组的证明：…… （1）任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______． （2）任务二：请完成善思小组的证明过程． （3）任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）三角形的中位线定理 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 任务一：根据三角形中位线定理即可解答； 任务二：根据作图过程及等腰三角形的性质证明即可； 任务三：根据同位角相等，两直线平行，或者内错角相等，两直线平行作图即可． 【小问1详解】 解：任务一：证明过程中的“依据”：三角形的中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）， 故答案为：三角形的中位线定理； 【小问2详解】 解：任务二：由作图可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：任务三： 如图4，直线m即为所求作的直线．（方法不唯一）． 22. 综合与实践 【问题呈现】如图1，是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中，垂足为O，三角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域（图2），使点分别在上，点F在上，经测量，采购员需要准备分割所用的篱笆和． 【数学建模】采购员以点O为原点，以所在直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，直接写出直线的函数表达式． （2）①当米时，求点E的坐标． ②在①的基础上直接写出所需购买篱笆的总长（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】（1）见解析，； （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据题意画出坐标系，再用待定系数法求出直线解析式即可； （2）①设点D的坐标为，得到,由在直线上得到，解得，即可得到 ②求出，，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：画出直角坐标系如图， ∵， ∴， 设直线的表达式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 【小问2详解】 ①设点D的坐标为， ∵轴，， ∴, ∵在直线上， ∴， 解得， ∴ ②∴由①知， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴所需购买篱笆的总长为． 23. 综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究． 【探索发现】 （1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明． 【猜想证明】 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到； （2）根据全等三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图3，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴，C，B三点共线， 过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴C，B，三点共线， ∴过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$