第一章《勾股定理》 章末复习题（1）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 章末复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各组数据中能作为直角三角形的三条边长的是（　　） A．3，4，5 B．3，3，1 C．4，5，7 D．2，，5 2．四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（　　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 3．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（　　） A．6 B．28 C．10或28 D．10或2 4．下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C． D．a2﹣b2＝c2 5．贵州植被具有明显的亚热带性质，组成种类繁多，区系成分复杂，吸引了不少对植被有研究的学者去贵州考察．如图，有学者在考察时发现一棵树在距离地面2m处折断了，倒下的部分与地面形成了30°的夹角，这棵树原来的高度是（　　） A．4m B．6m C． D． 6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AC＝AB，若CD＝6，BC＝8，则四边形ABCD的面积为（　　） A．44 B．48 C． D． 7．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（　　） A．8 B．14 C．20 D．25 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD交BC于点E，垂足为F，则BE的长为（　　） A．8 B．7.5 C．7 D．6 9．如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地ABCD，测得∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，则这块菜地的面积是（　　） A．104m2 B．114m2 C．118m2 D．122m2 10．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（　　）cm． A．15 B． C．12 D．18 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是4和5，则第三个数是 　 　 ． 12．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝　 　 ． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA的度数是 　 　 ． 14．如图所示，一只小鸟在一棵高20米的大树树梢上觅食，它的伙伴在离该树12米，高4米的一棵小树树梢上发出叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向它的伙伴，那么这只鸟 　 　 秒后能与它的伙伴在一起． 15．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：AD是锐角△ABC的高，则．当AB＝6，BC＝5，AC＝4时，AD的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC：BC＝3：4，AB＝10，求AC和BC的长． 17．如图，在5×2的网格中，每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．求∠BAC的度数． 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若AB＝6，AC＝8，BC＝10，求BD的长． 19．已知a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1． （1）当n＝5时，则以a，b，c的值为三边长的三角形面积为　 　 ； （2）小安猜想：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D是边AC上的一点，BD＝8，CD＝6． （1）求证：△BDC是直角三角形； （2）求线段AD的长． 21．勾股定理神秘西美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，性惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图摆收时，可以用“面积法”来证明勾股定理a2+b2＝c2，图中∠BAD＝90°，四边形ACFE是正方形． （1）请把四边形ACFD的面积表示出来； （2）请你用该图证明勾股定理，写出过程． 22．重庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的过江索道，它不仅是一座标志性景观，也是游览长江和重庆城市风光的重要交通工具．一天一群游客从酒店A处出发，到达长江索道的入口C处，想乘坐长江索道去D处吃火锅．由于排队的乘客太多，这群游客便分成两组，甲组选择乘坐索道从C→D（排队时间不计），乙组选择乘坐观光车C→B→D（排队等车时间不计），已知点C在点A的南偏西45°方向上，点D在点C的正西方向，点B在点A的正西方向900米处，点D在点B的南偏西60°方向上，且BD＝600米．（参考数据：，，） （1）求CD的长度（精确到个位）； （2）已知长江索道的速度是每分钟360米，观光车的速度是每分钟500米，请通过计算说明，哪组游客会先到达D处？ 23．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9， （1）求DC、AB的长； （2）求证：△ABC是直角三角形． 24．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线AB上两点A，B的距离分别为120m和160m，AB＝200m，吊车周围120m以内为受噪声影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若吊车的行驶速度为每分钟60m，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 25．如图，AD是等边△ABC的中线，DF⊥AC交AB的延长线于点E，垂足为点F．（1）求证：BD＝BE； （2）连接CE，若AC＝2，则CE的长度为　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B B A C B B A 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．3． 12．86． 13．45°． 14．5． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：设AC＝3x，则BC＝4x， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（3x）2+（4x）2＝102， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴AC＝3x＝6，BC＝4x＝8． 17．解：AB2＝22+12＝5， AC2＝42+22＝20， BC2＝52＝25， ∵AB2+AC2＝20+5＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°． 18．解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10， ∴AB2+AC2＝62+82＝100＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵AD是BC边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴BD的长为． 19．解：（1）当n＝5时，a＝2n＝10，b＝n2﹣1＝24，c＝n2+1＝26， 则a2+b2＝c2， ∴以a，b，c的值为三边长的三角形是直角三角形， ∴以a，b，c的值为三边长的三角形面积为：10×24＝120， 故答案为：120； （2）小安的猜想正确， 理由：a2+b2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2， ∴a2+b2＝c2， ∴当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数， ∴小安的猜想正确． 20．解：（1）∵BD＝8，CD＝6，BC＝10， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BDC是直角三角形． （2）∵BD2+AD2＝AB2， ∵AB＝AC， ∴AB＝AD+DC＝AD+6， ∴82+AD2＝（AD+6）2， ∴， 故AD的长为． 21．（1）解：四边形ACFD的面积； （2）证明：由题意知BF＝b﹣a， ∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE，S四边形ABED＝S△ADB+S△DEBa（b﹣a）， ∴a（b﹣a）， ∴a2+b2＝c2． 22．解：（1）如图，过点B作BE⊥CD于E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于F， 则四边形BEFA为矩形， ∴BE＝AF，EF＝AB＝900米， 在Rt△BDE中，∠DBE＝60°， 则∠D＝90°﹣60°＝30°，BD＝600米， ∴BEBD＝300米， 由勾股定理得：DE300（米）， 在Rt△ACF中，∠CAF＝45°， 则CF＝AF＝BE＝300米， ∴EC＝EF﹣CF＝900﹣300＝600（米）， ∴CD＝DE+EC＝300600≈1120（米）， 答：CD的长度约为1120米； （2）在Rt△BCE中，BE＝300米，EC＝600米， 由勾股定理得：BC300（米）， 则BC+BD＝300600≈1271（米）， 1271÷500＝2.542（分），1120÷360≈3.11（分）， ∵2.542＜3.11， ∴乙组乘坐观光车先到达D处． 23．解：（1）∵在Rt△BCD中，BC＝15，BD＝9， ∴CD12． 在Rt△ADC中，AC＝20，CD＝12， ∴AD16． ∴AB＝AD+DB＝16+9＝25． （2）∵AB＝25，AC＝20，BC＝15， ∴AB2＝252＝625，AC2+BC2＝202+152＝625， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形． 24．解：（1）∵点C与直线AB上两点A，B的距离分别为120m和160m，AB＝200m， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°； （2）学校C会受噪声影响．理由如下： 过点C作CD⊥AB于点D． ∵， ∴； ∵吊车周围120m以内为受噪声影响区域，且96＜120， ∴学校C会受噪声影响； （3）在AB上取一点E，使CE＝120m，连接CE， ∴CE＝AC＝120m， ∴当吊车在线段AE上时产生的噪声会影响学校． ∵CD⊥AB， ∴ED＝AD， 在Rt△CDA中，， ∴AE＝2AD＝144m，144÷60＝2.4（分钟）． 答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟． 25．（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠CBA＝60°， ∵DF⊥AC， ∴∠AFE＝∠CFE＝90°， ∴∠CAB+∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝30°， ∵∠AEF+∠BDE＝∠CBA， ∴∠BDE＝30°＝∠AEF， ∴BD＝BE； （2）解：∵AD是等边△ABC的中线，AC＝2， ∴AB＝BC＝AC＝2，BDBCAC＝1， ∴BE＝BD＝1， ∴AE＝AB+BE＝3， ∵∠AEF＝30°，∠AFE＝90°， ∴AFAE， ∴CF＝AC﹣AF，EF， ∴CE， 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $