1.2一定是直角三角形吗 培优检测 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版新初二数学衔接突围 1.2一定是直角三角形吗·培优检测 解析版 一、单选题 1．五根小木棒，其长度（单位：）分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，用勾股定理逆定理的条件去判断图中三角形是否为直角三角形即可，熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 故选：． 2．已知在直角坐标系中，，那么是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形． 由勾股定理逆定理进行判断． 【详解】∵， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，． 故选：C． 3．下列说法错误的是（   ） A．在直角三角形中，斜边大于直角边 B．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方 C．将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形是直角三角形 D．如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，大边对大角．根据相关定理逐个判断即可，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A. 在直角三角形中，斜边大于直角边，故该选项正确，不符合题意； B. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，故该选项正确，不符合题意； C. 将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形不一定是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； D. 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 6．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，进而完成解答． 【详解】解：如图:由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故选A． 7．下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（   ） A．4，5，6 B．5，12，13 C．60，80，100 D．15，8，17 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：若三角形三边长满足较小两边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形，否则不是．根据勾股定理的逆定理依次判断即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解： A、，而 ． ∵ ， ∴ 不满足勾股定理，不能构成直角三角形． B、，而 ． ∵ ， ∴ 满足勾股定理，是直角三角形． C、，而 ． ∵ ， ∴ 满足勾股定理，是直角三角形． D、，而 ． ∵ ， ∴ 满足勾股定理，是直角三角形． 故选：A． 8．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 9．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负性． 由非负数的和为0可得各边长，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可判断形状． 【详解】解：由方程可知，每个非负数项均为0，得： ，，， 解得：，，， 三边分别为9、12、15， 验证勾股定理的逆定理： 满足，故该三角形为直角三角形， 故选：A． 10．下列说法正确的是（   ） A．若，，是的三边，则． B．若，，是的三边，则． C．若，，是的三边，，则． D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理以及逆定理成为解题的关键． 运用勾股定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、未限定为直角三角形，任意三角形三边不一定满足勾股定理，故错误，不符合题意； B、虽指明，但未明确直角对应的边．若直角边为a、b、斜边c，则满足；若c为直角边，则等式不成立．因未指定直角位置，结论不必然成立，故错误，不符合题意； C、已知，则a为斜边，应满足，而非，故错误，不符合题意； D、由变形得，再根据勾股定理逆定理可得以a为斜边的三角形为直角三角形，故正确，符合题意． 故选D． 二、填空题 11．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，AD＝10，若点B和点D之间的距离为12，则平行四边形ABCD的面积是 ． 【答案】72 【分析】连接BD，如图所示，过点B作BF∥AE交DA延长线于点F，可得四边形AEBF为平行四边形，BF=AE=9，AF=BE=5，DF=15．再运用勾股定理逆定理证明△DBF为直角三角形，可求出DF边上高h为，最后根据SABCD=AD•h求面积即可得到答案． 【详解】解：连接BD，如图所示，过点B作BF∥AE交DA延长线于点F， ∴四边形AEBF为平行四边形． ∴BF=AE=9，AF=BE=BC=AD=5， ∴DF=AD+AF=10+5=15， 又BD=12，92+122=225=152， 即BD2+BF2=DF2， ∴△DBF为直角三角形． 则设DF上的高为h，根据面积公式有DF•h=BF•BD， 即15h=9×12，解得h=， ∴SABCD=AD•h=10×=72． 故答案为：72． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的面积计算，平行四边形的面积计算，过点B作BF∥AE，构造直角三角形DBF是解题关键． 12．观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 【答案】 【分析】根据题意，找出规律列式表示即可；本题主要考查勾股数，找规律，准确得出规律并列式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一列数字都为奇数，且后一排比上一排大2，第三列比第二列大1， 且三个数成勾股数 根据表格规律：第一列数字是组数的2倍加1 第组第一列数字为, 设第二列数为，则第三列数为，由勾股定理得： 解得： 第组的三个数字满足的等式是：， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、勾股定理逆定理，连接，取的中点，连接、，由勾股定理逆定理得出，再根据三角形中位线定理得出，，，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图：连接，取的中点，连接、， ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵M，N，分别为，，的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 【答案】（19，180，181） 【分析】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 【详解】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，，…可得第9组勾股数中间的数为：，进而得出（19，180，181）． 故答案为（19，180，181）． 15．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 三、解答题 16．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 17．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)应选择八（1）班铺设方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论； （2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度， ∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案． 18．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E．已知，，． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）连接BE，根据线段的和差关系求得，由线段垂直平分线的性质求得，然后利用勾股定理逆定理分析判断； （2）利用勾股定理解直角三角形． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由如下：如图，连接． ，， ． 垂直平分， ． 在中，，，， ，． ． ． 是直角三角形． （2）解：在中，，，， ． 垂直平分AB， ，． 在中，， ． 19．如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 20．随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩．为充电桩，和分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在中，交于点．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理． 直接根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理可得出的长，根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴． ∴， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 21．如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求三角形花园的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到； （2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的长，进而得到长，然后即可算出面积． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的长为， ∴， ∴三角形花园的面积为． 22．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 23．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版新初二数学衔接突围 1.2一定是直角三角形吗·培优检测 一、单选题 1．五根小木棒，其长度（单位：）分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ） A． B．   C．   D．   2．已知在直角坐标系中，，那么是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 3．下列说法错误的是（   ） A．在直角三角形中，斜边大于直角边 B．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方 C．将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形是直角三角形 D．如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 4．三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 5．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 6．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 7．下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（   ） A．4，5，6 B．5，12，13 C．60，80，100 D．15，8，17 8．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 9．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 10．下列说法正确的是（   ） A．若，，是的三边，则． B．若，，是的三边，则． C．若，，是的三边，，则． D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形． 二、填空题 11．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，AD＝10，若点B和点D之间的距离为12，则平行四边形ABCD的面积是 ． 12．观察下列表格中数组的规律． 组别 数字 等式 1 3，4，5 2 5，12，13 3 7，24，25 4 9，40，41 … … … 根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式： ． 13．如图，在中，，，，E，F分别为边，上的点，M，N分别为，的中点． 若，则的长为 ． 14．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：．分析上面勾股数组可以发现，，分析上面规律，第9个勾股数组为 ． 15．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 三、解答题 16．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 17．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 18．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E．已知，，． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 19．如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 20．随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩．为充电桩，和分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在中，交于点．求证：是直角三角形． 21．如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求三角形花园的面积． 22．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 23．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$