1.2一定是直角三角形吗◆基础过关2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版新初二数学衔接突围 1.2一定是直角三角形吗·基础过关 解析版 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，，D是上的一点，，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到直角三角形． 勾股定理逆定理，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆梁平·期末）已知三组数据：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．② B．③ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据三角形勾股定理的逆定理符合即为直角三角形 ，将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形． 【详解】解：由题意得： ① ；②；③ ， 所以能构成直角三角形的是③． 故选：B． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（   ） A．点A、点B、点D B．点A、点C、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，不可以构成直角三角形，不符合题意； C、，可以构成直角三角形，符合题意； D、，不可以构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当时，的值为（   ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数，通过观察表格中a、b、c的规律，发现c = b + 2，且满足勾股定理．将代入方程求解b和c，再求和即可． 【详解】根据表格规律得，，且． 将代入得， 解得 ∴． 故选C． 5．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）如图，下列三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解∶A．∵，∴该三角形不是直角三角形； B．∵，∴该三角形不是直角三角形； C．∵，∴该三角形不是直角三角形； D．∵，∴该三角形不是直角三角形； 故选∶D． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键． 根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论． 【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ． 则弦为， 故选：B． 7．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，与6，8能构成勾股数的是（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数． 根据勾股数的定义，分当第三个数为最大数，或当8为最大数，求出两种情况下的第三数，验证是否满足正整数，即得． 【详解】解：当第三个数为最大数，第三数为 ，与6，8能构成勾股数． 当8为最大数，第三数为 ，不是勾股数． 故选：C． 8．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 【详解】解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．0.03，0.04，0.05 C．7，24，25 D．3，4，5 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 根据勾股定理的逆定理，判断各组数中最大数的平方是否等于另两数的平方和。若相等，则能构成直角三角形；否则不能。 【详解】A、，，故不是直角三角形，故此选项符合题意； B、，故是直角三角形，故此选项不合题意； C、，故是直角三角形，故此选项不合题意； D、，故是直角三角形，故此选项不合题意． 故选：A． 10．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可． 【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． B．，不满足勾股定理． C．，不满足勾股定理． D．，满足勾股定理且均为正整数． 故选：D． 二、填空题 11．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，A、D两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴与射线的交点，即为使周长最小的点E， ∵．且， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 中，， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键． 12．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律． 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则． ， 即， 同理可得：， ， 故答案为：． 13．（2025九年级下·浙江·专题练习）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数，分、、三种情况，根据勾股数的概念判断即可，熟练掌握勾股数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，， 则， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴， 此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述：对应的数为或， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（河北省张家口市经开区2024-2025学年七年级下学期期末数学练习卷）如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【详解】解：∵， ， ∴是直角三角形，且， 过点D作，垂足为E， ∵平分， ∴点到的距离， 故答案为：3． 15．（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 三、解答题 16．（24-25八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），根据勾股定理计算即可； 对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可. 【详解】（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 17．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)，或，． 【分析】本题考查了勾股数及其应用． （1）根据解题过程，结合上下文即可完成； （2）分三种情况：；；，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． （2）解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 18．（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键． （1）当，时，代入勾股数生成公式计算即可得解； （2）由题意求出，从而可得，或，，再结合题意验证即可得解． 【详解】（1）解：当，时，代入勾股数生成公式， 得，，． 对应的勾股数是． （2）解：根据题意得，，． ． 又，m，n都是正整数， ，或，． 当，时，，不符合题意； 当，时，，，符合题意． ∴，． 19．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 【答案】(1)60；61；17；144 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； （2）解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； （3）证明： ， ∴是勾股数组． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可求解； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 21．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，为线段上一点，，连接．若，求的长度． 【答案】20 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， 在中，由勾股定理得， ∴的长度为． 22．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 23．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据垂直平分线的性质得出，结合得出即可证明； （2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：边的垂直平分线为， ∴， ， 在中，， ； （2）解：设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版新初二数学衔接突围 1.2一定是直角三角形吗·基础过关 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，，D是上的一点，，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C． D． 2．（24-25八年级下·重庆梁平·期末）已知三组数据：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．② B．③ C．①② D．①③ 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（   ） A．点A、点B、点D B．点A、点C、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当时，的值为（   ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 5．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）如图，下列三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（   ） A．25 B．26 C．27 D．28 7．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，与6，8能构成勾股数的是（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 8．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．0.03，0.04，0.05 C．7，24，25 D．3，4，5 10．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 二、填空题 11．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ． 12．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    13．（2025九年级下·浙江·专题练习）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 14．（河北省张家口市经开区2024-2025学年七年级下学期期末数学练习卷）如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 15．（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 17．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 18．（24-25八年级下·山西忻州·期中）阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． (1)使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 19．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 20．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 21．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，为线段上一点，，连接．若，求的长度． 22．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． (1)求证：； (2)求四边形面积． 23．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$