1.1探 索勾股定理 培优检测 2025--2026学年北师大版八年级数学上册（七升八 衔接）

北师大版新初二数学衔接突围 1.1探索勾股定理·培优检测 解析版 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解． 【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、． ∴，， ． ∵是直角三角形，， ∴ ． ∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长， ∴；； ． ∴ ． 故选：A． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（   ） 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧， A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、三角形面积公式，由勾股定理可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ，， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故选：D． 5．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，理解题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边，，，满足的关系”， ∴根据题意可得：， ∴， ∴， 以此类推，， ∵， ， ， 以此类推，， ∴的面积为， 故选：A． 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．已知在矩形中，是对角线，则有，即，，满足勾股定理；类比矩形的性质，如图，是长方体，若长方体的面，面，面的面积分别为，，，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，分别计算出面，面，面的面积，求出它们的平方即可得出结论． 【详解】解：在长方体中，设 ∴， ∴面的面积，面的面积；面的面积， ∴， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的一个大正方形．已知图1中的，将其重新拼接后，恰可以拼成如图2所示的平行四边形，则此时对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理和完全平方式，设直角三角形的两直角边长边为、短边为，则，根据面积得，则，由图可知，，，则计算即可． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长边为、短边为，结合图1和图2可知， 连接,过点G作交的延长线与点M， ∵， ∴， ∴， 由图可知，，， 则 ， 故选：． 8．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A．28 B．25 C．30 D．24 【答案】A 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，然后，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点M ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 9．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键．设正方形的边长为，求出找出规律，则，即可得出结论． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为， 则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， ， 同理，， 则， ， ． 故选：D． 10．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，长为的橡皮筋放置在地面上，固定两端点和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为几何线段计算是解题的关键．根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：中，，； 根据勾股定理，得：； ∴； ∴橡皮筋被拉长了. 故选：A． 二、填空题 11．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接，证明当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接， 则， 即当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长． ∵中，， ， ∴， 又∵P为的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 12．（24-25八年级下·河南许昌·期末）将两个大小一致的含角的直角三角板按如图所示摆放，点和点重合，点在上，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理依次计算出和长解答即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 14．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 【答案】2.4 【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 延长交于点，过作于点，先由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，进而得，则，然后根据得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，过点作于点，如图所示： 在中，，，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，高为，则梯形的周长为 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，由等腰梯形得，，证明，则有，，再通过勾股定理，从而求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴腰长， ∴周长， 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． (1)______； (2)①当P在边上时，的长为______（用含t的代数式表示），t的取值范围是______； ②若点P在的角平分线上，求t的值． 【答案】(1)4 (2)①，；②点P在的角平分线上时，t为或． 【分析】（1）根据勾股定理，得，解答即可； （2）①根据题意，得，当P在边上时，，列式解答即可； ②点P在的角平分线上，一是点P与点A重合，二是点P在上，平分，解答即可． 本题考查了勾股定理，动点问题，角的平分线，熟练掌握勾股定理，角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：4． （2）①解：根据题意，得， 当点P在上，，此时，； 当P在边上时，，且， 故，且， 故答案为：，； ②解：点P在的角平分线上， 当点P与点A重合时，此时， 解得； 当点P在上，平分时， 过点P作于点Q， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， 故当t为或时，点P在的角平分线上． 17．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 【答案】(1)； (2)17米 【分析】（1）根据题意列式表达即可． （2）设旗杆的高为x米，则绳子长为米，利用勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米 故绳长为米； 根据题意，得到四边形是矩形，得到米， 故米， 故答案为：；． （2）解：在中，      即     解得：     答：旗杆的值为17米． 18．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 19．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理． （1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中， ， 由（1）得， ∴． 20．（2025·四川南充·三模）如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是熟练掌握垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由垂直得到，进而得到，证明，即可得到； （2）根据勾股定理得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）证明：，， ． ，． ． 在和中， ． ； （2）解：在中， ， ， ． 21．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，为边上一点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）由题意易证．再根据等腰三角形的定义得出，，即可证； （2）由全等三角形的性质可得，，，，从而可证，进而由勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，，，， ∴，即， ∴，， ∴． 22．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·山西忻州·期末）综合与实践 定义：如图，点把线段分割成．若以为边的三角形是直角三角形，则称点是线段的“勾股分割点”． 数学思考： （1）已知点把线段分割成．若，则点是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由． 深入探究： （2）已知点是线段的“勾股分割点”． ①“善思小组”提出问题：若是以是边的三角形的最长边，且，求的长． ②“智慧小组”提出问题：若是以是边的三角形的直角边，且，，请直接写出的长． 【答案】（1）点，不是线段的“勾股分割点”，见解析；（2）①；②6或10 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，理解“勾股分割点”的定义是解此题的关键． （1）根据“勾股分割点”判断即可得解； （2）①根据“勾股分割点”的定义结合勾股定理计算即可得解；②设，则，分两种情况：当为直角三角形的斜边时，当为直角三角形的直角边时，分别利用勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）不是，理由如下： ∵， ∴以、、为边的三角形不是一个直角三角形， ∴点不是线段的“勾股分割点”； （2）①点是线段的“勾股分割点”．为以为边的三角形的最长边，且， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴的长为； ②设，则， ∵点是线段的“勾股分割点”．为以为边的三角形的直角边，且，， ∴当为直角三角形的斜边时，， ∴， 解得：，此时， 当为直角三角形的直角边时，， ∴， 解得：，此时． 综上所述，的长为6或10． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版新初二数学衔接突围 1.1探索勾股定理·培优检测 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（   ） 如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧， A． B．3 C． D．5 4．（24-25八年级下·吉林松原·期末）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　  ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25八年级下·福建福州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．已知在矩形中，是对角线，则有，即，，满足勾股定理；类比矩形的性质，如图，是长方体，若长方体的面，面，面的面积分别为，，，则，，的数量关系为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的一个大正方形．已知图1中的，将其重新拼接后，恰可以拼成如图2所示的平行四边形，则此时对角线的长为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A．28 B．25 C．30 D．24 9．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，长为的橡皮筋放置在地面上，固定两端点和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 12．（24-25八年级下·河南许昌·期末）将两个大小一致的含角的直角三角板按如图所示摆放，点和点重合，点在上，若，则的长为 ． 13．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 14．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 15．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，高为，则梯形的周长为 三、解答题 16．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为t秒． (1)______； (2)①当P在边上时，的长为______（用含t的代数式表示），t的取值范围是______； ②若点P在的角平分线上，求t的值． 17．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）． 根据以上信息，解答下列问题 (1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示） (2)求旗杆的值． 18．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 19．（24-25八年级下·广东汕尾·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 20．（2025·四川南充·三模）如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 21．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，为边上一点．求证： (1)； (2)． 22．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 23．（24-25八年级下·山西忻州·期末）综合与实践 定义：如图，点把线段分割成．若以为边的三角形是直角三角形，则称点是线段的“勾股分割点”． 数学思考： （1）已知点把线段分割成．若，则点是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由． 深入探究： （2）已知点是线段的“勾股分割点”． ①“善思小组”提出问题：若是以是边的三角形的最长边，且，求的长． ②“智慧小组”提出问题：若是以是边的三角形的直角边，且，，请直接写出的长． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$