第8章 第4节 机械能守恒定律（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版2019）

第4节　机械能守恒定律 物理观念 科学思维 科学态度与责任 1.会用能量观念分析具体实例中动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化。 2．理解机械能守恒定律的推导过程。 3．会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。 　　通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念、体会守恒思想。 　　体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性。 [对应学生用书P123] 一、动能与势能的相互转化 1．追寻守恒量：能量对于科学研究和日常生活有着巨大的影响，但要用一句话说清楚能量究竟是什么却非易事。 (1)如果不采用能量的概念，我们也可以利用以前的语言来描述伽利略的斜面实验。为了把小球从桌面提高到斜面上的某个位置，伽利略施加了与重力相反的力；当他释放小球时，重力使小球滚下斜面A；在斜面的底部，小球由于惯性而滚上斜面B。 (2)上面的描述不能直接表达一个最重要的事实：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。 2．重力势能与动能的转化 (1)物体沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能减少，物体的动能增加；具有一定速度的物体沿光滑斜面上升时，重力对物体做负功，物体的动能减少，重力势能增加。 (2)重力势能可以与动能相互转化。 3．弹性势能可以与动能相互转化：被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来形状时，就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，而物体得到一定的速度，动能增加。弹簧的弹性势能转化成了物体的动能。 4．机械能：重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。 二、机械能守恒定律 1．推导：从A到B过程，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，又由动能定理得mg(h1－h2)＝mv－mv， 整理得mgh1＋mv＝mgh2＋mv。等式左边为物体初状态动能与势能之和，等式右边为物体末状态动能与势能之和。 2．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫作机械能守恒定律。 3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算。 4．表达式：①mv＋mgh2＝mv＋mgh1。 ②Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。 5．守恒条件：物体系统内只有重力或系统内弹力做功。 1．(物理与生活)如图所示的是正在运行的翻滚过山车，若它运行到最高处时关闭发动机，则在飞奔而下(忽略一切阻力)的过程中，判断下列说法的正误。(对的画“√”，错的画“×”) (1)通过重力做功，过山车动能和重力势能可以相互转化。 (　　√　　) (2)过山车只受重力和弹力作用时，其机械能守恒。 (　　√　　) (3)过山车所受合力为零时，其机械能才守恒。 (　　×　　) (4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。 (　　√　　) (5)若过山车匀速下滑，则其机械能守恒。 (　　×　　) 2．(教材拓展P92)“图8.4-4”滑雪者沿斜面下滑 (1)下滑时，滑雪者的机械能是否守恒？ (2)物体运动过程中有其他力做功，其他力做功的代数和为零。其机械能是否守恒？ 提示：(1)不守恒。 (2)不一定守恒。 [对应学生用书P124] 探究点一 动能与势能的相互转化 撑竿跳高是一项运动员经过持竿助跑，借助撑竿的支撑腾空，在完成一系列复杂的运动后越过横竿的运动。在体育比赛中，撑竿跳运动员起跳后在空中上升运动的过程如图所示。 [问题设计] 运动员的动能、弹性势能和重力势能如何变化？ 提示：动能减小，重力势能增加，弹性势能先增加后减小。 1．动能与势能的相互转化 (1)由动能定理可知，所有外力做的总功可能会改变动能，即动能的改变量等于合力做的功。 (2)重力势能的变化仅由重力做功决定，重力做多少正功，重力势能就减少多少；重力做多少负功，重力势能就增加多少。 (3)弹性势能的改变仅由弹簧弹力做功决定，弹力做多少正功，弹性势能就减少多少；弹力做多少负功，弹性势能就增加多少。 (4)在只有重力做功的情况下，仅有动能与重力势能的相互转化；在只有弹力做功的情况下，仅有动能和弹性势能的相互转化。 2．机械能 (1)机械能是状态量，做机械运动的物体在某一位置时，具有确定的速度，也就具有确定的动能和势能，即具有确定的机械能。 (2)机械能具有相对性，其大小与参考系、参考平面的选取有关。 (3)机械能是标量。 【例1】 (多选)科技馆中有一个“球体上滚”装置，如图所示，组成架子的两条支撑杆由低处到高处，杆间距离不断增大。将一个球放在架子低处，它会由静止自动从架子的低处向高处滚动，在球自动向高处加速滚动的过程中，下列说法正确的是 (　　) A．球的重心升高了 B．球的重心降低了 C．球的动能减少了 D．球的动能增加了 BD　解析：该过程满足能量守恒定律，球向高处滚的过程中，杆间距离在不断增大时实际上重心在降低，重力势能减小，球的动能在增大，B、D正确。 [练1] (2025·湖南永州高一期末)如图所示，水平桌面高度为H，从桌面上的A点将一个质量为m的小球以初速度v0水平抛出，不计空气阻力，以A点所在的水平面为参考平面，小球可视为质点，重力加速度为g。当小球下落高度h到达B点时，下列说法正确的是 (　　) A．小球的重力势能为mg B．小球的动能为 mv＋mgh C．小球的机械能为 mv＋mg D．小球重力的瞬时功率为mg B　解析：以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点时的重力势能为Ep＝－mgh，A错误；根据机械能守恒有mv＝Ek－mgh，小球的动能为Ek＝mv＋mgh，B正确；根据机械能守恒，小球的机械能为E＝mv，C错误；小球做平抛运动的竖直分速度为vy＝，小球重力的瞬时功率为P＝mgvy＝mg，D错误。 [练2] 从地面竖直向上抛出一个物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到空气阻力作用。已知物体上升、下降过程中机械能E随距地面高度h的变化关系如图所示，以地面作为重力零势能面，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　) A．物体的质量为3 kg B．物体落回到抛出点速度为2 m/s C．物体受到的空气阻力大小为1 N D．物体在上升过程中动能减少了6 J C　解析：由题图可知，物体在最高点时，动能为0，则有E＝mgh＝120 J，可得物体的质量为m＝ kg＝2 kg，A错误；物体落回到抛出点时，重力势能为0，则有E＝mv2＝114 J，可得物体落回到抛出点速度为v＝＝ m/s，B错误；物体上升过程减少的机械能等于物体克服空气阻力做的功，则有|ΔE|＝fh＝126 J－120 J＝6 J，可得物体受到的空气阻力大小为f＝ N＝1 N，C正确；根据动能定理可知，物体在上升过程中动能减少了|ΔEk|＝(mg＋f)h＝126 J，D错误。 探究点二 机械能守恒定律 1．守恒条件：系统内只有重力或弹簧弹力做功 (1)从能量的观点看：只有动能和势能的相互转化，而没有机械能与其他形式的能的转化。 (2)从做功观点看 ①物体只受重力或弹力，不受其他力。 ②物体除受到重力(和弹簧弹力)以外还受到了其他力，但其他力不做功。 2．机械能守恒定律常用的三种表达式 (1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)，系统初状态的总机械能等于末状态的总机械能。 注意：参考平面的选取。 (2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp，此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量。 特别提醒：机械能守恒指的是机械能在动能与势能转化的整个过程中时刻守恒，即整个过程中任一时刻、任一状态时的机械能的总量保持不变。正因为如此，所以才可以在整个过程中任取两个状态列方程求解。 3．机械能守恒定律和动能定理的比较 内容 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk 应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制 关注角度 守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合力做功情况 【例2】 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，若当略有扰动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？ 答案： 解析：方法一(取整个铁链为研究对象)： 设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为 ΔEp＝mg·L 由机械能守恒得mv 2＝mg·L， 解得v＝。 方法二(将铁链看成两段)： 如图所示，铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移动到AA′位置 重力势能减少量为ΔEp＝mg· 由机械能守恒得mv 2＝mg· 则v＝。 方法三：(动能定理) 铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置 此过程选整个铁链为研究对象，由动能定理得 mg·＝mv 2－0 则v＝。 【例3】 如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M的砝码相连。已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离(未落地)时，若木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？ 答案： 解析：(解法一　用E1＝E2求解) 设砝码开始时离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考面，则系统的初始机械能E1＝－Mgx 系统的末机械能E2＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2 由E1＝E2得－Mgx＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2 解得v＝。 (解法二　用ΔEk＝－ΔEp求解) 在砝码下降h的过程中，系统增加的动能 ΔEk＝(M＋m)v2 系统减少的重力势能ΔEp＝－Mgh 由ΔEk＝－ΔEp得(M＋m)v2＝Mgh 解得v＝。 (解法三　用ΔEA＝－ΔEB求解) 在砝码下降过程，木块增加的机械能ΔEm＝mv2 砝码减少的机械能ΔEM＝Mv2－Mgh 由ΔEm＝－ΔEM得 mv2＝Mgh－Mv2 解得v＝。 (1)多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能是守恒的。 (2)关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)机械能守恒定律表达式的选取技巧 ①当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。 ②当研究对象为两个物体组成的系统时： a．若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。 b．若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。 [练3] 如图所示，一条轻绳跨过光滑定滑轮，两端与质量分别为2m和m的物体P、Q连接，轻弹簧竖直放置，上端与物体Q相连，下端固定在水平面上。用手托住物体P，当轻绳刚好被拉直时，物体P离地的高度为L，重力加速度大小为g。若物体P由静止释放后，落地时的速度恰好为0，则物体P下落过程中 (　　) A．物体P、Q组成的系统机械能守恒 B．物体P、Q组成的系统机械能一直减少 C．弹簧的弹性势能增加了0.5mgL D．弹簧的弹性势能增加了mgL D　解析：物体P下落过程中，物体P、Q和弹簧组成的系统满足机械能守恒；弹簧先处于压缩状态后处于伸长状态，弹性势能先减小后增加，则物体P、Q组成的系统机械能先增加后减小，A、B错误；物体P下落过程中，物体P、Q组成的系统重力势能减少了ΔEp＝2mgL－mgL＝mgL，则弹簧的弹性势能增加了mgL，C错误，D正确。 求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选取研究对象。 (2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断其机械能是否守恒。 (3)恰当选取参考平面，确定研究对象初、末状态的机械能。 (4)根据机械能守恒定律列方程求解。 [练4] 如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一个小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。不计空气阻力，从静止开始释放b球后，a球可能达到的最大高度为 (　　) A．h B．1.5h C．2h D．2.5h B　解析：在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知ΔEk＝－ΔEp，即(m＋3m)v2＝3mgh－mgh，解得v＝；b球落地时，a球高度为h，之后a球以v为初速度做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能到达的最大高度为1.5h，B正确。 创新探究 解决实际问题 【例4】 (多选)如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一个质量也为m的小球(直径相对链条长度可忽略不计)，如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是 (　　) A．两链条在触地之前做加速度大小不变的加速运动 B．两链条在触地之前做加速度越来越大的加速运动 C.图甲中链条触地瞬间的速度大小为 D．图乙中链条触地瞬间的速度大小为 BD　解析：根据题意可知，链条总长度为3l，根据分析可知，平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，根据牛顿第二定律可知，两链条在触地之前做加速度越来越大的加速运动，A错误，B正确；题图甲中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有mg(l＋)＝mv，解得v1＝，C错误；题图乙中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有mg(l＋)＋mgl＝×2mv，解得v2＝，D正确。 [练5] (生活情境)(2025·浙江绍兴高一期末)如图所示，一名小朋友在水上世界玩水滑梯，她坐在离水面高为16 m的滑梯顶端由静止下滑。不考虑水的阻力，下滑过程可认为机械能守恒，小朋友的质量为30 kg，下列说法正确的是 (　　) A．无论选择哪个位置为参考平面，她下滑时的总机械能总是4 800 J B．无论选择哪个位置为参考平面，她下滑时的总机械能变化量总是4 800 J C．小朋友质量越大，下滑到水滑梯底端的速度越大 D．下滑时，小朋友会偏向滑道的外侧 D　解析：由于下滑过程可认为机械能守恒，可知下滑时的总机械能变化量为零，下滑时的总机械能等于静止在滑梯顶端时的重力势能，由于重力势能具有相对性，选择不同位置为参考平面，小朋友的初始位置重力势能不一样，则小朋友的机械能不一样，A、B错误；根据机械能守恒定律可得mgh＝mv2，解得下滑到水滑梯底端的速度大小为v＝，可知下滑到水滑梯底端的速度大小与小朋友的质量无关，C错误；小朋友下滑时，水平方向可认为做圆周运动，由于离心现象，小朋友会偏向滑道的外侧运动，D正确。 [练6] (娱乐情境)(2023·湖北卷)如图所示为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： (1)小物块到达D点的速度大小； (2)B和D两点的高度差； (3)小物块在A点的初速度大小。 答案：(1)　(2)0　(3) 解析：(1)设小物块质量为m，由题可知，小物块恰好能到达轨道最高点D，则小物块在D点由重力提供向心力有 mg＝m　① 解得vD＝　②。 (2)设B点比D点高h，小物块由C点运动到D点的过程中，由机械能守恒定律有mv＋mgR(1＋cos 60°)＝mv　③ 将小物块在C点沿圆弧切线方向进入轨道的速度沿水平方向与竖直方向分解，则有vCsin 60°＝vCy　④ 小物块由B到C的过程中，由运动学公式可得 v＝2g(h＋R＋R cos 60°)　⑤ 联立②③④⑤解得h＝0　⑥。 (3)小物块由B点运动到C点的过程中由平抛运动规律有vCcos 60°＝vB　⑦ 设小物块在A点初速度为vA，则此过程中由动能定理有 －μmgs＝mv－mv　⑧ 其中s＝2πR　⑨ 联立②③⑦⑧⑨解得vA＝。 [对应学生用书P128] 1．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 (　　) A．图甲中，火箭升空的过程，匀速上升机械能守恒，加速上升机械能不守恒 B．图乙中物体匀速运动，机械能守恒 C.图丙中小球做加速运动，机械能守恒 D．图丁中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒 D　解析：题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力做正功，机械能增加，A错误；题图乙中物体沿斜面匀速上升，动能不变，重力势能增加，机械能增加，B错误；题图丙中，小球沿粗糙斜面加速滚下过程中，除了重力做功，还有摩擦力做负功，机械能减少，C错误；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车组成的系统机械能增加，而两小车与弹簧组成的系统机械能守恒，D正确。 2．(2025·海南三亚期末)2024年8月3号，我国选手获得巴黎奥运会乒乓球女单金、银牌。如图所示为运动员某次发球后乒乓球的运动轨迹，已知运动员发球时将球斜向下以 m/s的初速度击出，击球点到台面的竖直距离为0.3 m，球在桌面上的两个落点间的距离为2 m，重力加速度g取10 m/s2，忽略所有阻力、球的旋转以及球与台面碰撞时的能量损失。球离桌面的最大高度为 (　　) A．0.25 m B．0.4 m C．0.8 m D．1.0 m A　解析：设球离桌面的最大高度为h，乒乓球从最高点到落点做平抛运动，设乒乓球在最高点的速度为v，从最高点到落点的时间为t，则h＝gt2，球在桌面上的两个落点间的距离为2 m，则＝vt，联立得v＝，乒乓球从抛出点到乒乓球离台面最高点过程中机械能守恒，可得mv＋mgh0＝mv2＋mgh，联立解得h＝0.25 m，A正确。 3．(2025·山东青岛高一期末)如图所示，在竖直平面内有一条半径为R的四分之一圆弧轨道BC，与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑。现有长也为R的轻杆，两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点)，用某装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑。设小球始终与轨道接触，重力加速度为g。则 (　　) A．下滑过程中a球机械能增大 B．下滑过程中b球机械能守恒 C．小球a滑过C点后，a球速度大于 D．从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做的正功为 D　解析：最终a、b都滑至水平轨道时(即小球a滑过C点后)，速度相等，设为v，下滑过程中只有重力对a、b组成的系统做功，则根据机械能守恒定律有2mg＝·2mv2，解得v＝，C错误；设从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做的功为W，对b根据动能定理有W＋mgR＝mv2，解得W＝mgR，D正确；根据前面分析可知，下滑过程中，杆对a球做负功，对b球做正功，所以a球机械能减少，b球机械能增加，A、B错误。 4．(2025·四川成都高一期末)如图所示为幼儿园的可调臂长的跷跷板的示意图，O为跷跷板的支点。开始时一名质量为m的小朋友坐在跷跷板的A端，此时A端恰好着地，跷跷板与水平地面的夹角为θ＝30°。现有一名质量为4m的老师轻坐在跷跷板的B端，经过一段时间后跷跷板处于水平位置。已知OA＝2L，OB＝L，不计空气阻力和跷跷板的质量，重力加速度大小为g，小朋友与老师均可视为质点，则 (　　) A．此过程中小朋友的机械能守恒 B．此过程中小朋友与老师的速度大小之比为1∶2 C．跷跷板处于水平位置时，老师的速度大小为 D．此过程中跷跷板对小朋友做的功为mgL D　解析：此过程中小朋友的速度增大，动能增大，重力势能增大，则小朋友的机械能增大，A错误；小朋友与老师的角速度总是相等，根据v＝ωr，由于小朋友与老师绕O点转动的半径之比为2∶1，可知小朋友与老师的速度大小之比为2∶1，B错误；跷跷板处于水平位置时，设老师的速度大小为v，则小朋友的速度大小为2v，根据系统机械能守恒可得4mg·L sin 30°－mg·2L sin 30°＝m＋×4mv2，解得v＝，C错误；根据动能定理可得W－mg·2L sin 30°＝m，解得W＝mgL，可知此过程中跷跷板对小朋友做的功为mgL，D正确。 5．(2025·河北保定期末)如图所示，AB是一个倾角为37°的足够长倾斜轨道，在B处与水平面平滑连接，CDE是由两个半径为R的半圆管组成的S形轨道，EFG是以C为圆心的四分之一圆弧面。从AB某位置由静止释放一个质量为m的小物块，小物块恰好能运动到E点。已知小物块和斜面间动摩擦因数为0.25，其余部分摩擦不计，重力加速度为g。求： (1)小物块在C点对轨道的压力大小； (2)小物块从轨道释放点到水平面的高度； (3)若小物块停在E点后给小物块一个微小扰动(视为从静止出发)使其向右运动，则小物块在下滑高度为多少时与轨道脱离。 答案：(1)9mg　(2)6R　(3) 解析：(1)小物块恰好能运动到E点，可知在E点时的速度为零，则由C到E由机械能守恒定律可得 mv＝mg×4R 在C点时，根据牛顿第二定律，有 FNC－mg＝m 解得FNC＝9mg 由牛顿第三定律得，小物块在C点对轨道的压力大小为9mg。 (2)从释放点到水平面由动能定理可得 mgh－μmg cos θ·＝mv 解得小物块从轨道释放点到水平面的高度为h＝6R。 (3)物块在F点脱离，设该位置与C点连线与水平方向夹角为θ，根据牛顿第二定律，有 mg sin θ＝m 由机械能守恒可得mg4R(1－sin θ)＝mv2 解得sin θ＝ 则小物块下落的高度为 h＝4R(1－sin θ) 联立可得h＝。 学科网（北京）股份有限公司 $$