专题1.5 有理数的乘法与除法运算（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题1.5 有理数的乘法与除法运算 1.有理数乘法的法则，尤其是符号法则（重点） 2.多个有理数相乘时，积的符号的确定方法（重点） 3.有理数除法的法则，包括符号法则和绝对值的除法（重点） 4.除法与乘法的转化（重点） 5.理解 “负负得正” 的乘法法则（难点） 6.除法转化为乘法时，倒数的确定及符号的处理（难点） 7.乘除混合运算的顺序及符号处理（难点） 知识点1 有理数的乘法法则 1.有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 (2)任何数与0相乘，都得 0. 1.“同号得正，异号得负”是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 2.有理数乘法的运算步骤: (1)确定积的符号; (2)确定积的绝对值 2.有理数的乘法符号法则 （1） 或 ； （2） 或 ； （3） 或 或 ． 知识点2 有理数乘法的运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 运用乘法的运算律进行计算，是为了简化运算。它只改变其中的运算顺序，而不改变算式中每个数的性质和大小。 知识点3 多个有理数相乘 1. 几个不等于0的数相乘的法则几个不等于0的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的个数为奇数时，积为负;当负乘数的个数为偶数时，积为正.确定积的正负号后，再把这几个有理数的绝对值相乘 2.有因数零的几个数相乘的法则 几个数相乘，有一个乘数为0，积就为0.同样，若积为0，则至少有一个乘数为 0. 多个有理数相乘的三个步骤 第1步:看乘数中有没有0; 第2步:判断积的符号; 第3步:计算积的绝对值 知识点4 倒数 1.定义 乘积是1的两个数互为倒数 2.倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1的 两个数互为倒数 的 倒数是 若a, b互为倒数，则 若 ，则a, b互为倒数 都成对出现 相反数 只有正负号不同的两个数互为相反数 的相反数是 若a, b互为倒数，则 若 ，则a, b互为相反数 1.“乘积是1”是判断两个数互为倒数的关键。 2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系单独一个数不能称其为倒数 3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数 知识点5 有理数的除法法则 1．有理数除法法则一 除以一个数等于乘以这个数的倒数注意： 0 不能作除数． 用字母表示： ． 2.有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数，都得 0. 1.除法法则---两变: 一变，将除号变成乘号; 二变，将除数变成倒数。 2.除法法则二是先确定商的符号，再求商的绝对值 知识点6 分数的化简 1.实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，让分数的分子除以分母的运算过程 2．分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 用字母表示： 。 3．分数化简的结果为最简分数或整数． 1.分数线既代表除号，又有括号的功能 2.最简分数的条件: (1)分子、分母同为正数; (2)分子、分母不能再约分，即分子、分母互质 知识点7 有理数的乘除混合运算 1.有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的 2.有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 乘除混合有理数，统一为乘第一步,乘法“三律”使简单,负因个数定正负. 题型一、两个有理数的乘法运算 例1（24-25七年级上·河南濮阳·期中）定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 1-1（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示的点一定在原点的左边 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数． D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 1-2（24-25七年级上·广东珠海·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 1-3（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）对于有理数x，y，定义一种新运算：，如：，则的值为 ． 1-4（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）计算： ． 题型二、多个有理数的乘法运算 例2（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 2-1（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 2-2（24-25七年级上·广东中山·期中）对于有理数a，b，定义新运算：，则的值为（   ） A．12 B． C． D．48 2-3（24-25七年级上·广东东莞·期中）在，，，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是 ； 2-4（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若是互不相等的整数，且，则 ． 题型三、有理数乘法的实际应用 例3（23-24七年级上·江苏扬州·期中）某种商品原价为8元，现打五折促销，促销价为（    ） A．2元 B．4元 C．16元 D．40元 3-1（24-25七年级上·河南南阳·期中）某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 3-2（24-25七年级上·四川眉山·期中）一件风衣，原价1200元，现在八五折出售，现在一件这样的风衣（    ） A．1002元 B．1000元 C．696元 D．1020元 3-3（24-25七年级上·山西临汾·期中）某学校数学学期成绩的计算方法是：平时成绩期中成绩期末成绩，小明的数学平时成绩、期中成绩和期末成绩分别为92分，95分，96分，则小明的数学学期成绩为 分． 3-4（24-25七年级上·河南南阳·期中）一根长为2025厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2024次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为 厘米． 题型四、有理数乘法运算律 例4（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 4-1（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 4-2（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 4-3（24-25七年级上·天津河东·期中）计算的结果是 ． 4-4（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）计算： ． 题型五、倒数 例5（24-25七年级上·全国·期中）的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 5-1（24-25七年级上·广西贺州·期中）下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 5-2（24-25七年级上·广西桂林·期中）的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 5-3（24-25七年级上·北京·期中）的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 5-4（24-25七年级上·北京·期中）的绝对值是 ，倒数是 ． 题型六、有理数的除法运算 例6（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6-1（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6-2（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（   ） A．6 B． C． D． 6-3（24-25七年级上·广东东莞·期中）化简下列各数： （1） ；（2）＝ ；（3）＝ ； 6-4（24-25七年级上·河北邢台·期中）若，那么□中填入正确的数是 ． 题型七、有理数除法的应用 例7（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 7-1（24-25七年级上·四川巴中·期中）天干地支纪年法源于中国，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支．如下表，算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以的余数查出地支．如：年尾数3为癸，除以余数为7，7为卯，那么年就是癸卯年，七年级某班小明同学出生年份是年，则年是（   ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 A．庚寅年 B．庚辰年 C．辛卯年 D．辛辰年 7-2（24-25七年级上·四川眉山·期中）2024年是新中国成立75周年，这一年的第一季度有（    ）天． A．90 B．91 C．89 D．92 7-3（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 7-4（24-25七年级上·黑龙江·期中）一个长方形的草坪周长是米，长是米，宽是 米． 题型八、有理数乘除混合运算 例8（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 8-1（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 8-2（24-25七年级上·贵州毕节·期中）计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 8-3（24-25七年级上·黑龙江·期中）圆的直径是6厘米，面积是 平方厘米． 8-4（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： ． 题型九、有理数四则混合运算 例9（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9-1（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 9-2（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： ． 9-3（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）对于有理数a、b定义一种运算：，计算 ． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 例10（24-25七年级上·广西玉林·期末）随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如表： 出租车 A打车软件 B打车软件 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/时，去8千米远的地方，出行方式更省钱的是（   ） A．出租车出行更省钱 B．A打车软件更省钱 C．B打车软件更省钱 D．都一样省钱 10-1（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 10-2（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：，则他们的平均成绩是 个． 10-3（24-25七年级上·北京·期中）小明计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为6元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元．如果小丽在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元． 菜品 单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 40元 1 醋溜土豆丝（小） 12元 1 豉汁排骨（小） 30元 1 手撕包菜（小） 12元 1 米饭 3元 2 题型十一、数轴上的翻折 例11（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 11-1（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 11-2（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 例12（24-25七年级上·福建南平·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 12-1（24-25七年级上·广西贺州·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 12-2（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，数轴上的点分别对应有理数，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 12-3（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请用“”连接a、b、、为 ． 12-4（24-25七年级上·广东中山·期中）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 易错点1几个有理数相乘时忽视符号法则而致错 例1 ． 【答案】0 【分析】该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则． 根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 易错点2忽略除法的符号法则，符号判断错误 例2 计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．若数、、在数轴上的位置如图所示，下列五个结论：①；②；③；④．⑤其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知4个数，，，它们两两之和为5，8，9，11，12，15，则四个数的乘积的所有可能值为（    ） A．214和304 B．234和314 C．224和324 D．234和334 4．若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 7．已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 8．在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 ． 9．已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 10．新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 11．计算： (1) (2) 12．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 13．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 有理数的乘法与除法运算 1.有理数乘法的法则，尤其是符号法则（重点） 2.多个有理数相乘时，积的符号的确定方法（重点） 3.有理数除法的法则，包括符号法则和绝对值的除法（重点） 4.除法与乘法的转化（重点） 5.理解 “负负得正” 的乘法法则（难点） 6.除法转化为乘法时，倒数的确定及符号的处理（难点） 7.乘除混合运算的顺序及符号处理（难点） 知识点1 有理数的乘法法则 1.有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 (2)任何数与0相乘，都得 0. 1.“同号得正，异号得负”是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 2.有理数乘法的运算步骤: (1)确定积的符号; (2)确定积的绝对值 2.有理数的乘法符号法则 （1） 或 ； （2） 或 ； （3） 或 或 ． 知识点2 有理数乘法的运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 运用乘法的运算律进行计算，是为了简化运算。它只改变其中的运算顺序，而不改变算式中每个数的性质和大小。 知识点3 多个有理数相乘 1. 几个不等于0的数相乘的法则几个不等于0的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的个数为奇数时，积为负;当负乘数的个数为偶数时，积为正.确定积的正负号后，再把这几个有理数的绝对值相乘 2.有因数零的几个数相乘的法则 几个数相乘，有一个乘数为0，积就为0.同样，若积为0，则至少有一个乘数为 0. 多个有理数相乘的三个步骤 第1步:看乘数中有没有0; 第2步:判断积的符号; 第3步:计算积的绝对值 知识点4 倒数 1.定义 乘积是1的两个数互为倒数 2.倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1的 两个数互为倒数 的 倒数是 若a, b互为倒数，则 若 ，则a, b互为倒数 都成对出现 相反数 只有正负号不同的两个数互为相反数 的相反数是 若a, b互为倒数，则 若 ，则a, b互为相反数 1.“乘积是1”是判断两个数互为倒数的关键。 2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系单独一个数不能称其为倒数 3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数 知识点5 有理数的除法法则 1．有理数除法法则一 除以一个数等于乘以这个数的倒数注意： 0 不能作除数． 用字母表示： ． 2.有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数，都得 0. 1.除法法则---两变: 一变，将除号变成乘号; 二变，将除数变成倒数。 2.除法法则二是先确定商的符号，再求商的绝对值 知识点6 分数的化简 1.实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，让分数的分子除以分母的运算过程 2．分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 用字母表示： 。 3．分数化简的结果为最简分数或整数． 1.分数线既代表除号，又有括号的功能 2.最简分数的条件: (1)分子、分母同为正数; (2)分子、分母不能再约分，即分子、分母互质 知识点7 有理数的乘除混合运算 1.有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的 2.有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 乘除混合有理数，统一为乘第一步,乘法“三律”使简单,负因个数定正负. 题型一、两个有理数的乘法运算 例1（24-25七年级上·河南濮阳·期中）定义一种新运算：，例如．则的结果是（   ） A．10 B． C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算，根据新运算的定义，先计算a的绝对值，再减去a与b的乘积．将，代入运算即可． 【详解】解：由定义， 代入，，得： ． 故选：B． 1-1（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上表示的点一定在原点的左边 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数． D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 【答案】D 【分析】题目主要考查绝对值的性质，有理数的乘法，结合绝对值、数轴及有理数乘法法则逐一分析各选项的正误即可 【详解】解：选项A：当时，，对应原点，不在左边，故A错误，不符合题意； 选项B：互为相反数的数绝对值相等（如与），但两数不相等，故B错误，不符合题意； 选项C：偶数个负因数相乘结果为正数，不是负数，故C错误，不符合题意； 选项D：设该数为，若，则必为负数（正数和零均满足），故D正确，符合题意； 故选：D 1-2（24-25七年级上·广东珠海·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 1-3（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）对于有理数x，y，定义一种新运算：，如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新运算，正确理解新运算法则是解题的关键； 根据新运算的法则代入数值计算即可. 【详解】解：； 故答案为：． 1-4（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）计算： ． 【答案】1012 【分析】本题考查了有理数加减的简便运算，利用结合律进行简便运算是解题的关键．利用有理数加减的结合律将前面2022个数字两两组合，计算得到，最后加上2023即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：1012． 题型二、多个有理数的乘法运算 例2（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 【答案】C 【分析】根据多个有理数相乘，奇数个负数时，乘积为负数，结合3个有理数的乘积为负数，得到有1个或3个负数，即有2个正数或0个正数，解答即可． 本题考查了多个因数之积的符号确定，熟练掌握确定原则是解题的关键． 【详解】解：根据多个有理数相乘，奇数个负数时，乘积为负数， 得3个有理数的乘积为负数时有1个或3个负数，即有2个正数或0个正数， 故选：C． 2-1（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数；当有偶数个负因数时，积为正数”，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 积为负，不符合题意； B. 积为负，不符合题意； C. 积为正，符合题意； D. 积为0，不符合题意； 故选：C． 2-2（24-25七年级上·广东中山·期中）对于有理数a，b，定义新运算：，则的值为（   ） A．12 B． C． D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，直接根据新定义计算，即可求解，熟练掌握根据新定义进行计算是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 2-3（24-25七年级上·广东东莞·期中）在，，，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是 ； 【答案】30 【分析】此题考查有理数的乘法，有理数大小比较，解题关键在于掌握运算法则． 根据正数大于一切负数，同号得正，异号得负，找出乘积是正数绝对值最大的三个数相乘即可． 【详解】解：由题意可知，要使三个数的积最大，则应取绝对值较大的两个负数，一个正数， 所以最大乘积是． 故答案为：30． 2-4（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，把169分解成四个整数的乘积形式，从而确定代表的数即可得到答案. 【详解】解：∵，且是互不相等的整数， ∴代表的是这四个数， ∴， 故答案为：． 题型三、有理数乘法的实际应用 例3（23-24七年级上·江苏扬州·期中）某种商品原价为8元，现打五折促销，促销价为（    ） A．2元 B．4元 C．16元 D．40元 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用． 将原价乘以折扣率计算促销价即可． 【详解】解：商品原价为8元，打五折即按原价的出售， ∴促销价为：（元）， 故选：B． 3-1（24-25七年级上·河南南阳·期中）某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 根据题意分别计算出套餐和套餐的花费，然后比较大小即可． 【详解】解：解：套餐每买2杯的花费为（元）， 套餐每买3杯话费为（元）， 买6个套餐的花费为（元）； 买4个套餐的花费为（元）； 买3个套餐，2个套餐的花费为（元）； 买2个套餐，3个套餐，则（杯），不符合题意； ， ∴买4个套餐花费最少， 故选：B． 3-2（24-25七年级上·四川眉山·期中）一件风衣，原价1200元，现在八五折出售，现在一件这样的风衣（    ） A．1002元 B．1000元 C．696元 D．1020元 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法的应用，关键是理解打折的含义：打几折现价就是原价的百分之几十几，由此找出单位“1”，进而求解．八五折是指现价是原价的，把原价看成单位“1”，用原价乘上就是现在的价格． 【详解】解：（元） 答：现在的售价是1020元． 故选：D． 3-3（24-25七年级上·山西临汾·期中）某学校数学学期成绩的计算方法是：平时成绩期中成绩期末成绩，小明的数学平时成绩、期中成绩和期末成绩分别为92分，95分，96分，则小明的数学学期成绩为 分． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为： ． 3-4（24-25七年级上·河南南阳·期中）一根长为2025厘米的塑料管，第1次截去全长的，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，直到第2024次截去剩下的，则最后剩下的塑料管长为 厘米． 【答案】1 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： （厘米）； 故答案为1． 题型四、有理数乘法运算律 例4（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 4-1（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 4-2（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘法运算律，理解的定义是解题关键．根据题意可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 故选：B． 4-3（24-25七年级上·天津河东·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意运算顺序和符号；将乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 4-4（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的乘法分配律及加法运算可进行求解．熟练掌握有理数的运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型五、倒数 例5（24-25七年级上·全国·期中）的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念．倒数是指乘积为1的两个数，求一个数的倒数只需将其分子和分母交换位置，并保持符号不变． 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解： 的倒数是， 故选：D． 5-1（24-25七年级上·广西贺州·期中）下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 分别计算各选项中两数的乘积，判断是否等于1即可． 【详解】解：A：，不互为倒数； B：，，互为倒数； C：，不互为倒数； D：，不互为倒数； 故选：B． 5-2（24-25七年级上·广西桂林·期中）的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，由此计算即可得解，熟练掌握倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数是2024， 故选：B． 5-3（24-25七年级上·北京·期中）的倒数是 ；比较大小： ．（用“、或”连接） 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数以及有理数大小比较的方法，倒数：乘积是1的两数互为倒数；有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：的倒数是； ，，而， ． 故答案为：；． 5-4（24-25七年级上·北京·期中）的绝对值是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，倒数，熟练掌握绝对值，倒数． 利用绝对值，倒数的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是， ， 的倒数是， ∴的倒数是． 故答案为：． 题型六、有理数的除法运算 例6（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 6-1（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 各式计算得到结果，判断即可． 【详解】解：A、，不正确； B、，不正确； C、，不正确； D、，正确； 故选：D． 6-2（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法，除法变乘法，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 6-3（24-25七年级上·广东东莞·期中）化简下列各数： （1） ；（2）＝ ；（3）＝ ； 【答案】 68 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，有理数的除法，根据多重符号的化简规律、绝对值的性质、除法法则求解即可． 【详解】解：（1） （2） （3） 故答案为：（1）68；（2）；（3）． 6-4（24-25七年级上·河北邢台·期中）若，那么□中填入正确的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算以及乘法逆运算，解题的关键是利用因数与积的关系． 已知一个因数与积，根据乘法逆运算，用积除以已知因数，即可求出另一个因数． 【详解】， 即中应填入， 故答案为：． 题型七、有理数除法的应用 例7（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法、除法应用，根据题意列出算式即可，掌握有理数减法、除法的应用是解题的关键． 【详解】解： 实际多招了， 故选：． 7-1（24-25七年级上·四川巴中·期中）天干地支纪年法源于中国，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支．如下表，算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以的余数查出地支．如：年尾数3为癸，除以余数为7，7为卯，那么年就是癸卯年，七年级某班小明同学出生年份是年，则年是（   ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 A．庚寅年 B．庚辰年 C．辛卯年 D．辛辰年 【答案】C 【分析】本题考查了有理数除法的实际应用，理解并掌握天干地支纪年法的确定方法是解题的关键．先根据的尾数确定天干，再用得到余数，确定地支即可． 【详解】的尾数为，1为辛， ，为卯， 年是辛卯年． 故选：C． 7-2（24-25七年级上·四川眉山·期中）2024年是新中国成立75周年，这一年的第一季度有（    ）天． A．90 B．91 C．89 D．92 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法的应用，有理数除法的应用，解题的关键是得出二月份有天．根据题意先得出二月份有29天，然后列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴2024能被4整除， ∴二月份有29天， ∴这一年的第一季度有（天）， 故选：B． 7-3（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 【答案】 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， （克）， 故答案为：． 7-4（24-25七年级上·黑龙江·期中）一个长方形的草坪周长是米，长是米，宽是 米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，减法，根据长方形的周长（长宽）可得长方形的宽长方形的周长长方形的长，所以用可求出宽，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据长方形的周长（长宽）可得， 长方形宽是 （米）， 故答案为：． 题型八、有理数乘除混合运算 例8（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 8-1（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 8-2（24-25七年级上·贵州毕节·期中）计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算．根据有理数乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 8-3（24-25七年级上·黑龙江·期中）圆的直径是6厘米，面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】此题考查有理数的乘除混合运算，正确理解圆的面积的公式是解题的关键 【详解】解：圆的面积为（平方厘米）， 故答案为 8-4（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数乘除法，原式先把除法转换为乘法，进行乘法计算即可． 【详解】解： ． 题型九、有理数四则混合运算 例9（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 9-1（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 9-2（24-25七年级上·湖南郴州·期中）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，先进行乘除运算，再进行减法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：2． 9-3（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）对于有理数a、b定义一种运算：，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 例10（24-25七年级上·广西玉林·期末）随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如表： 出租车 A打车软件 B打车软件 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/时，去8千米远的地方，出行方式更省钱的是（   ） A．出租车出行更省钱 B．A打车软件更省钱 C．B打车软件更省钱 D．都一样省钱 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，分别求出各种出行方式的费用，出租车的费用为3千米的费用加上超过3千米的部分的费用，A、B打车软件的费用为路程的费用加上时间的费用，计算后进行比较即可解答． 【详解】解：出行的时间为 出租车的费用为（元）； A打车软件的费用为（元）； B打车软件的费用为（元）； ∵， ∴A打车软件更省钱． 故选：B 10-1（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的9倍， 故选：C． 10-2（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：，则他们的平均成绩是 个． 【答案】152 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义等知识；由题意平均成绩为标准数与5个数的平均数的和． 【详解】解：平均成绩为：（个）； 答：他们的平均成绩是152个． 10-3（24-25七年级上·北京·期中）小明计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为6元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元．如果小丽在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元． 菜品 单价（含包装费） 数量 水煮牛肉（小） 40元 1 醋溜土豆丝（小） 12元 1 豉汁排骨（小） 30元 1 手撕包菜（小） 12元 1 米饭 3元 2 【答案】66 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，正确的理解题意是解题的关键．根据满30元减12元，满70元减30元，满100元减40元，即可得到结论． 【详解】解：依题意，购买所有菜品花费元， 若订单方式采用3份满30元减12元，则减36元，加上3份配送费18元，实际减18元， 若订单方式采用70一份，30一份，优惠，加上2分配送费12元，实际减30元， 若订单方式采用满100一份，则优惠40元，加上1分配送费6元，实际减34元 ∴应采取的订单方式是100一份， 所以点餐总费用最低可为（元）， 即他点餐总费用最低可为66元． 故答案为：66． 题型十一、数轴上的翻折 例11（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 11-1（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【详解】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 11-2（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查折叠的性质，数轴上两点间的距离，掌握两点间距离的计算方法是解题的关键． （1）设与数8对应的点重合的点对应的数为，根据题意得到，即可解题． （2）设折叠处为点C，根据折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【详解】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负 例12（24-25七年级上·福建南平·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置比较大小. 根据a、b在数轴上的位置可得到b为正数且离原点较远，a为负数且离原点比b离的要近，进行判断即可． 【详解】解：A、和均为正数，但离原点要比离的远，所以，该选项结果正确，不符合题意； B、由数轴可知，该选项结果正确，不符合题意； C、本身为负数，本身为正数，离原点要比离的远，所以，该选项结果错误，符合题意； D、本身为负数，本身为正数，所以，该选项结果正确，不符合题意； 故选：C． 12-1（24-25七年级上·广西贺州·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与有理数． 根据数轴可得，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴选项正确，错误， 故选：． 12-2（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，数轴上的点分别对应有理数，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由数轴上点的位置判定代数式符号及大小，先数形结合得到，且，再结合选项中各个代数式，逐项判定即可得到答案，数形结合得到，且是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，且， A、由得，再由得，选项结论正确，符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、由得，再结合可知，选项结论错误，不符合题意； D、由，且可知，选项结论错误，不符合题意； 故选：A． 12-3（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请用“”连接a、b、、为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出、所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：由数轴得，， 找出、的位置如图： ∴， 故答案为：． 12-4（24-25七年级上·广东中山·期中）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，，然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，故错误，不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意； 由数轴得，， ∴，故不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意． 故答案为：②④． 易错点1几个有理数相乘时忽视符号法则而致错 例1 ． 【答案】0 【分析】该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则． 根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 易错点2忽略除法的符号法则，符号判断错误 例2 计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可． 【详解】解：，， ，， 又， 、同号， 当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值是或， 故D选项符合题意． 故选：D ． 2．若数、、在数轴上的位置如图所示，下列五个结论：①；②；③；④．⑤其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，以及有理数的乘法、加减运算法则，化简绝对值，根据数轴可以确定，，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，， ①，①正确； ②，②正确； ③，③错误； ④，④正确； ⑤，则，⑤错误； 故选：B． 3．已知4个数，，，它们两两之和为5，8，9，11，12，15，则四个数的乘积的所有可能值为（    ） A．214和304 B．234和314 C．224和324 D．234和334 【答案】C 【分析】不妨设，根据，，，之间的大小关系，得出方程组，得出它们的解，再进行验证求解． 【详解】解：设 则，，， 解得：，，，，或者，，，， 当，，，时，， 当，，，时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，合情推理是解题的关键． 4．若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 5．下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①根据绝对值的性质可判定①；根据绝对值的意义得到或或或，然后分情况讨论即可判断②；③根据题意得到或或，然后分情况求解即可判断③；根据题意得到中有两个负数一个正数，然后不妨设，进而代入即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴或或或 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数； 当时， ∴是正数，故②错误； ∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等 ∴或或 ∴或或 解得：或或，故③错误； ∵， ∴中有两个负数一个正数 不妨设 则，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式，有理数的运算等知识点．熟记相关结论是解题关键． 6．鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题． 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 7．已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 8．在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，根据题意分别计算出温度上升伸长的长度和温度下降缩短的长度，再相减即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 1 0或/或0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键． （1）由给出条件和绝对值的性质即可解答； （2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：（1）当时，． 故答案为：1． （2）∵， ∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或． 故答案为：0或． 10．新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的四则运算，熟练掌握运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先将除法转换为乘法后，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【答案】(1)科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； (2)科考队的船只总共行驶了海里； (3)船只共耗油升． 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法和乘法，绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，再由结果即可得出答案； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据单位耗油量乘以行驶里程即可求解． 【详解】（1）解：（海里）， ∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； （2）解：由题意可得： （海里）， ∴科考队的船只总共行驶了海里； （3）解：（升）， ∴船只共耗油升． 13．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他记录了连续7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米； (3)若行驶需用汽油，汽油价为元/L，请估计小明家一个月（按30天计算）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是元 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，最后乘以油价8，即得小明家一个月的汽油费用． 【详解】（1）（千米）， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了千米； （2） （千米）， 答：这七天中平均每天行驶千米； （3）（元）， 答：小明家一个月的汽油费用约为元． 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$