专题01 相似多边形（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题01 相似多边形（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、比例的性质（常考题） 1 题型二、比例线段 1 题型三、成比例线段 2 题型四、黄金分割 2 题型五、相似图形 3 题型六、相似多边形的性质（重点） 4 题型七、由平行判断成比例的线段 5 题型八、由平行截线求相关线段的长或比值（难点） 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、比例的性质 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 3．若，则 ． 4．已知，求的值． 题型二、比例线段 5．如图，已知，，，，则 ． 6．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 7．若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 8．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为 ． 题型三、成比例线段 9．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 10．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 11．已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 题型四、黄金分割 12．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 13．神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 14．（跨学科融合）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 15．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 16．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 题型五、相似图形 17．如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 18．下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 19．下列图形中，是相似图形的为（    ） A．B． C． D． 题型六、相似多边形的性质 20．用打印机将如图所示的六边形放大，关于放大后的六边形，下列说法错误的是（   ） A．的对应角也放大 B．放大后内角和不变 C．各对应边放大的比例一样 D．周长也放大 21．若四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ． 22．如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 23．若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 24．如图，已知矩形矩形，矩形的长为90，宽为60，矩形 的宽为40，则x的值为 ． 题型七、由平行判断成比例的线段 25．如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 26．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 27．如图，在的方格纸中，点都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）． 28．定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 题型八、由平行截线求相关线段的长或比值 29．如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 30．（跨学科融合）如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．6 31．如图，中，，，则 ． 32．如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 1．（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   2．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 5．（2025·云南·模拟预测）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 6．（2025·河南漯河·二模）如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 8．（2025·广东深圳·一模）数学家定义：若点把线段分成两部分，满足，则点为线段的白银分割点．已知点是线段的白银分割点，且，则 ． 9．（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 10．（2025·湖北·二模）已知，，．l为过点C的直线，与边交于点M，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为点D，E． (1)如图，求证：； (2)如图，的平分线与边交于点N，与射线交于点F，作射线与直线l交于点G． ①求证：； ②如图，连接，若，试探究线段与的数量关系，请作出结论，并予以证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似多边形（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、比例的性质（常考题） 1 题型二、比例线段 2 题型三、成比例线段 3 题型四、黄金分割 4 题型五、相似图形 7 题型六、相似多边形的性质（重点） 8 题型七、由平行判断成比例的线段 10 题型八、由平行截线求相关线段的长或比值（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、比例的性质 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， 设， ∴． 故选：A． 2．已知，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴设，则， ∴， 故选：D． 3．若，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．已知，求的值． 【答案】6 【解析】解：设 那么，，， 题型二、比例线段 5．如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 7．若高邮到南京的距离约为，则在比例尺为的地图上的距离为 ． 【答案】 【解析】解：设地图上的距离为， 则， 解得：， 即地图上的距离为， 故答案为：． 8．白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为 ． 【答案】 【解析】， ，即， ， ． 故答案为：． 题型三、成比例线段 9．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解析】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 10．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，不能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，不符合题意； C、，不能成比例，不符合题意； D、，能成比例，符合题意； 故选D． 11．已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 【答案】6 【解析】解：∵a、b、b、c是比例线段，其中， ∴，即，解得：或（不合题意舍弃）． 故答案为：6． 题型四、黄金分割 12．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 【答案】 【解析】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故答案为： 13．神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【答案】C 【解析】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据题意得： ． 故选：C． 14．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 15．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设， ∵黄金三角形的底与腰之比为， 由题意得， 同理，， ∵， ∴与全等， ∴， ∴是黄金三角形， ∴， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即，， ∴， 故答案为：． 16．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【解析】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 题型五、相似图形 17．如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【答案】A 【解析】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意； 故选：A 18．下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【解析】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确． 故选：D． 19．下列图形中，是相似图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：大小不同，形状相同的图形是相似形，选项A，B，D的形状不同，都不是相似形， 选项C的图形大小不同，形状相同，是相似形， 故选：C． 题型六、相似多边形的性质 20．用打印机将如图所示的六边形放大，关于放大后的六边形，下列说法错误的是（   ） A．的对应角也放大 B．放大后内角和不变 C．各对应边放大的比例一样 D．周长也放大 【答案】A 【解析】解：用打印机将如图所示的六边形放大后所得图形与原图形相似， 则对应角相等，对应边及周长均放大，内角和不变， 故选：A 21．若四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ． 【答案】 【解析】解：∵四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为， ∴， 故答案为：． 22．如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得． 故选：B． 23．若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 【答案】 【解析】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和， ∴相似比为：， ∴面积为：， 故答案为：． 24．如图，已知矩形矩形，矩形的长为90，宽为60，矩形 的宽为40，则x的值为 ． 【答案】15 【解析】∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得． 故答案为：15． 题型七、由平行判断成比例的线段 25．如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 【答案】 【解析】解：，，，， 又， ， 解得， 经检验是原方程的解． 的长为． 26．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， 故选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 故选项B正确，符合题意； ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 27．如图，在的方格纸中，点都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见解析 【解析】解：如图所示即为所求： 28．定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； （2）作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 题型八、由平行截线求相关线段的长或比值 29．如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】解：∵将沿着边向右平移得到， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴． 故选：A． 30．如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【解析】解：如图所示，过点A作最下面那条网格线的垂线，垂足为H，设与从下往上数的第二条网格线交于E， 四线格是由等距离的四条平行横线组成的， ． ， ， 故选：C． 31．如图，中，，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 32．如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【答案】 【解析】解：直线， ，即， ， 故答案为：． 1．（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：D． 3．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【解析】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 5．（2025·云南·模拟预测）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·河南漯河·二模）如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解析】解：四边形是平行四边形， ，，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． ， ． 故选：A． 7．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】4 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：4 8．（2025·广东深圳·一模）数学家定义：若点把线段分成两部分，满足，则点为线段的白银分割点．已知点是线段的白银分割点，且，则 ． 【答案】 【解析】解：点是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【解析】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 10．（2025·湖北·二模）已知，，．l为过点C的直线，与边交于点M，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为点D，E． (1)如图，求证：； (2)如图，的平分线与边交于点N，与射线交于点F，作射线与直线l交于点G． ①求证：； ②如图，连接，若，试探究线段与的数量关系，请作出结论，并予以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，②，见解析 【解析】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）①证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 又， ∴， ∴． ②解：． 证明如下：∵，， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∵，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 设，，则，，． 在中，， ∴， 化简得， ∵， ∴． ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$