第1章 图形的相似（单元测试·提升卷）数学青岛版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 图形的相似·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 2．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等和等腰三角形，等边三角形，正方形的性质是解决此题的关键．根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； C、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意； D、各有一个角是的两个等腰三角形，的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，不符合题意； 故选：C． 3．如图，已知，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而计算判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 4．如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由相似三角形的判定方法，即可判断，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：、只有这一个条件，不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、∵， ∴，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 5．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 故选项B正确，符合题意； ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 6．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意， D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 7．两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个三角形的面积比为； 故选C． 8．如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 9．如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交于点F，证明出，得到，，设，，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．请指出图中从图到图的变换是 变换． 【答案】相似 【分析】由图可以看出，图1和图2形状相同，只是大小不同，根据相似图形的定义，即可得出结果． 【详解】解：∵   从图到图，图形形状没变，只是大小发生改变， ∴   从图到图的变换是相似变换． 故答案为：相似． 【点睛】本题考查了相似的定义，理解好相似的定义是解题关键． 11．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似多边的性质，根据周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴， ∵四边形的周长为15， ∴四边形的周长， 故答案为：9． 12．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 13．在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 【答案】或6 【分析】此题考查相似三角形的性质，题目只说两个三角形相似并没有说明对应角，应该分两种情况讨论．根据题意可得或，或，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：∵与相似， 而， 若， 则，即， 解得； 若， 则，即， 解得； 综上所述，的长为或6． 故答案为或6． 14．如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把放大为原来的3倍，可以得到，点B的坐标为， ∴点的坐标是或，即或． 故答案为：或． 15．如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，以原点为位似中心，在第二象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点的坐标． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查作图-位似变换，根据位似的性质作图，即可得出答案．熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ， 可得． 17．（本题6分）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：，，，， ，， ， 又， ． 18．（本题6分）如图所示，，且，，．求，，的长． 【答案】、、 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截得的对应线段成比例，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，即可求解，由得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 而， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 19．（本题6分）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（本题8分）在学习完投影之后，数学兴趣小组赵尧和王琦两名同学想利用太阳光线形成的投影的特点测量学校实验楼的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： （1）将实验楼的影子记为，身高为的赵亮竖直站立在距离实验楼底部的点D处； （2）王琦用皮尺测量出赵亮的影子长，赵亮与数学楼影子之间的距离为．请你求这栋实验楼的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．先根据题意求出，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：，， ． 由题意，得， ， 由题意，得，， ， ， ， ，， ， ， 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键． （1）连接，，，相交于点P，则点P即为所求． （2）由图可得点P坐标；由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    （2）解：由图可得，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， ， 故答案为：；；； （3）解：如图，即为所求． 22．（本题8分）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；理由见解析 (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 23．（本题8分）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 24．（本题10分）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)①cm；② 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证 ，，，可得，即可求解； （2）①根据（1）中的结论即可求解． ②根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 解得cm； ②解：∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 25．（本题11分）（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请写出当点C与M重合时的长，并说明理由． 【答案】（1）①1；② （2）； （3）或 【分析】本题考查图形的旋转，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键， （1）①根据题意易证得，从而得到，即可得到；②由于，可得，再由三角形内角和定理在中，可求得的度数； （2）利用锐角三角函数可证得，从而推出，即可得到的值，然后在中，利用三角形内角和定理可求得的度数； （3）①点与点在右侧重合时，由（2）中，可得，设，则，可推出，在中，易求得 ，在中，由勾股定理得：，即，解之得，从而得到；②当点与点在左侧重合时，同理设，则，可推出，在中，由勾股定理得：，即，解之得，从而得到； 【详解】解：（1）①如图1：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. ②∵ ∴， ∵， ∴， 在中， . （2）；． 理由如下：如图2，在中， ∵，， ∴， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中， . （3）AC的长为或，理由如下： ①点与点在右侧重合时，如图3， 由（2）知，；． 设，则， 在中， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴，（舍去）， ∴； ②点与点在左侧重合时，如图4， 由（2）知；． 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴（舍去），， ∴； 综上所述：AC的长为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 图形的相似·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C C A D B C C A C 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. 相似 11. 9 12. （答案不唯一） 13. 或6 14. 或 15. 2或0.8 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（4分） 【解析】解：如图，即为所求， ，（3分） 可得．（4分） 17．（6分） 【解析】证明：，，，， ，，（3分） ， 又， ．(6分） 18．（6分） 【解析】解：∵， ∴．（1分） 而， ∴． ∴． ∴．（3分） ∵， ∴，（4分） ∵， ∴，即， ∴．（6分） 19．（6分） 【解析】证明：选择②（1分） ∵， ∴，（3分） ∵， ∴．（6分） 20．（8分） 【解析】解：，， ．（1分） 由题意，得， ，（2分） 由题意，得，， ， ， ，（5分） ，， ，（7分） ，（8分） 21．（8分） 【解析】（1）解：如图，点即为所求；   （2分） （2）解：由图可得，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， ， 故答案为：；；；（8分） （3）解：如图，即为所求． 22．（8分） 【解析】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （3分） （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似．（4分） （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． （8分） 23．（8分） 【解析】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴．（3分） （2）解：，，，， ∴，， ∴，，（5分） 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴（8分） 24．（10分） 【解析】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）解：①∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 解得cm；（8分） ②解：∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9．（10分） 25．（11分） 【解析】解：（1）①如图1：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴.（1分） ②∵ ∴， ∵， ∴， 在中， .（2分） （2）；． 理由如下：如图2，在中， ∵，， ∴， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中， .（5分） （3）AC的长为或，理由如下： ①点与点在右侧重合时，如图3， 由（2）知，；． 设，则， 在中， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴，（舍去）， ∴；（8分） ②点与点在左侧重合时，如图4， 由（2）知；． 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴（舍去），， ∴； 综上所述：AC的长为或．（11分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 图形的相似·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 2．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 3．如图，已知，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 7．两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（  ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．请指出图中从图到图的变换是 变换．        11．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 12．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 13．在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 14．如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为 ． 15．如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，以原点为位似中心，在第二象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点的坐标． 17．（本题6分）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 18．（本题6分）如图所示，，且，，．求，，的长． 19．（本题6分）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 20．（本题8分）在学习完投影之后，数学兴趣小组赵尧和王琦两名同学想利用太阳光线形成的投影的特点测量学校实验楼的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： （1）将实验楼的影子记为，身高为的赵亮竖直站立在距离实验楼底部的点D处； （2）王琦用皮尺测量出赵亮的影子长，赵亮与数学楼影子之间的距离为．请你求这栋实验楼的高． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 22．（本题8分）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 23．（本题8分）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（本题10分）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 25．（本题11分）（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请写出当点C与M重合时的长，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 图形的相似·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 2．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 3．如图，已知，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 7．两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为（  ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．请指出图中从图到图的变换是 变换．        11．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 12．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 13．在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 14．如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为 ． 15．如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，以原点为位似中心，在第二象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点的坐标． 17．（本题6分）如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 18．（本题6分）如图所示，，且，，．求，，的长． 19．（本题6分）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 20．（本题8分）在学习完投影之后，数学兴趣小组赵尧和王琦两名同学想利用太阳光线形成的投影的特点测量学校实验楼的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： （1）将实验楼的影子记为，身高为的赵亮竖直站立在距离实验楼底部的点D处； （2）王琦用皮尺测量出赵亮的影子长，赵亮与数学楼影子之间的距离为．请你求这栋实验楼的高． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 22．（本题8分）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 23．（本题8分）如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（本题10分）请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 25．（本题11分）（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点．填空： ①的值为 ； ②的度数为 ． （2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请写出当点C与M重合时的长，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$