第1章 图形的相似（复习讲义）数学青岛版九年级上册

第1章 图形的相似（复习讲义） 1．了解相似形、相似多边形意义，体会相似形及全等形之间的联系。 ①了解相似形的基本内容；②了解相似多边形的内容；③体会相似形与全等形之间的相互关系。 2．掌握相似三角形的判定与性质，并且会利用相似三角形解决实际问题。 ①掌握相似三角形的多种证明方法；②掌握并理解相似三角形的性质。③结合实例，分析相似三角形在实际问题中的应用价值，提升解决实际问题的能力。 3．理解并掌握图形的位似。 ①理解位似图形的内容；②能够在平面直角坐标系中根据位似比画出相应的位似图，找到位似中心。 知识点01：图形的相似 相似形：形状相同的平面图形。 相似多边形：两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 相似比：相似多边形对应边的比 知识点02：全等形与相似形的关系 （1）两个全等形也是相似形。 （2）两个相似形未必是全等形。 知识点03：成比例线段 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 知识点04：相似三角形的判定 （1）平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形的三边成比例。 （2）相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 （3）相似三角形判定定理2：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 （4）相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 知识点05：相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例 （2）对应高、中线、角平分线的比等于相似比 （3）周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 知识点06：相似三角形的应用 (1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的解决。 (2) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。 知识点07：图形的位似 (1) 对应边互相平行（或共线）且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上. (3) 平面直角坐标系中的位似 如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在x轴上，那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大（或缩小）相同的倍数，所得到的图形与原图形是位似图形，坐标原点是他们的位似中心。 题型一 比例的性质 【例1】已知，那么的值为 ． 【变式1-1】若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则的值（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，则 ． 题型二 相似多边形 【例2】下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 【变式2-1】如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【变式2-2】下列图形一定是相似图形的是（  ） A．任意两个菱形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个等腰三角形 D．任意两个矩形 【变式2-3】下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 题型三 相似多边形的性质 【例3】如图，四边形四边形，则的值为 ． 【变式3-1】若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【变式3-3】已知五边形五边形，且，若五边形的面积为，则五边形的面积为 ． 题型四 由平行截线求相关线段的长或比值 【例4】如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【变式4-1】一个油画架如图所示，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【变式4-3】如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 题型五 相似三角形的判定 【例5】如图，在中，，利用尺规作图法在上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式5-1】已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【变式5-2】如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】如图，已知是边上的中线，且，，求证：．     题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 【例6】如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【变式6-3】如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ． 题型七 利用相似三角形的性质求解 【例7】两个相似三角形的相似比为，那么它们的对应边上的中线的比为（    ） A． B． C． D．不同的对应边上的中线的比不同 【变式7-1】两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，，和分别是和的高，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 题型八 相似三角形—动点问题 【例8】如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ． 【变式8-1】如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【变式8-2】如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【变式8-3】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 题型九 相似三角形实际应用 【例9】我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 【变式9-1】如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【变式9-3】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 题型十 判定位似中心 【例10】如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式10-1】如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【变式10-2】如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 题型十一 求两个位似图形的相似比 【例11】如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为 ． 【变式11-1】如图，已知与关于点位似，则（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 题型十二 在坐标系中画位似图形 【例12】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，已知点． (1)将绕点顺时针旋转，画出所得的，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧缩小，使缩小后的三角形与的位似比为，画出缩小后的三角形．并写出点对应点的坐标． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，然后再把绕原点O逆时针旋转得到．画出，画出，并直接写出点的坐标； 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． (1)在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； (2)若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标． 【变式12-3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图，已知D，E分别是的，边上的点，，且，那么（   ） A． B． C． D． 5．如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 二、填空题 6．如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高 米． 7．如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 8．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 9．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将△放大为原来的2倍后的位似图形； (2)点的坐标是 ； (3)在（1）的条件下，已知△的面积为，则△的面积是 ． 12．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 13．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 14．皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 15．如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 4．“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 5．同一平面内，有6个不同的点： A、B、C、D、E、F，点B在线段上，点E在线段上，若，则对于结论：①，②，③，下列四个选项一定正确的是（   ） A．① B．②③ C．①②③ D．三个结论都不一定正确 二、填空题 6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 7．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 8．如图，已知，若，，则 . 9．在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为 10．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 三、解答题 11．已知：在中，为的平分线．求证：．    12．如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是 ； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 13．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 14．【问题背景】安澜楼，古建风格采用明清大式做法，屋面采用青灰色琉璃瓦，该楼回廊抱厦，重檐叠屋，结构严谨，姿态优美，其外观雄伟壮观，古朴典雅，是汉水人文的结晶．小华所在的数学小组想利用学过的数学知识测量安澜楼的高度． 【实践主题】测量安澜楼的高度． 【素材】皮尺、平面镜、标杆等工具． 【实践操作】如图，在阳光下，小华在安澜楼影子的末端C点处竖立一根2米长的标杆，同一时刻，小组成员测得标杆在阳光下的影长米．然后，小华在点F处放置一平面镜（大小忽略不计），小华来回走动，走到点G处时，恰好看到安澜楼顶端点A在平面镜中的像，已知小华眼睛与地面的高度米，米，米，，点B、C、E、F、G在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 【问题解决】根据上述信息，计算安澜楼的高度． 15．某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 图形的相似（复习讲义） 1．了解相似形、相似多边形意义，体会相似形及全等形之间的联系。 ①了解相似形的基本内容；②了解相似多边形的内容；③体会相似形与全等形之间的相互关系。 2．掌握相似三角形的判定与性质，并且会利用相似三角形解决实际问题。 ①掌握相似三角形的多种证明方法；②掌握并理解相似三角形的性质。③结合实例，分析相似三角形在实际问题中的应用价值，提升解决实际问题的能力。 3．理解并掌握图形的位似。 ①理解位似图形的内容；②能够在平面直角坐标系中根据位似比画出相应的位似图，找到位似中心。 知识点01：图形的相似 相似形：形状相同的平面图形。 相似多边形：两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 相似比：相似多边形对应边的比 知识点02：全等形与相似形的关系 （1）两个全等形也是相似形。 （2）两个相似形未必是全等形。 知识点03：成比例线段 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 知识点04：相似三角形的判定 （1）平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形的三边成比例。 （2）相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。 （3）相似三角形判定定理2：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 （4）相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 知识点05：相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例 （2）对应高、中线、角平分线的比等于相似比 （3）周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 知识点06：相似三角形的应用 (1) 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的解决。 (2) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。 知识点07：图形的位似 (1) 对应边互相平行（或共线）且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在一条直线上. (3) 平面直角坐标系中的位似 如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在x轴上，那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大（或缩小）相同的倍数，所得到的图形与原图形是位似图形，坐标原点是他们的位似中心。 题型一 比例的性质 【例1】已知，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：，即， ，则， 故答案为：． 【变式1-1】若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】若，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-3】已知，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型二 相似多边形 【例2】下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 【答案】C 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 【变式2-1】如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴即， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】下列图形一定是相似图形的是（  ） A．任意两个菱形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个等腰三角形 D．任意两个矩形 【答案】B 【详解】解：A、任意两个菱形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、任意两个等边三角形一定是相似图形，故本选项符合题意； C、任意两个等腰三角形的内角不一定相等，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； D、任意两个矩形的长与宽不一定成比例，不一定是相似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式2-3】下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 题型三 相似多边形的性质 【例3】如图，四边形四边形，则的值为 ． 【答案】15 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：15 【变式3-1】若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长之比为， 故选：B 【变式3-2】如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-3】已知五边形五边形，且，若五边形的面积为，则五边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：五边形五边形，且， 面积比为， 五边形的面积为， 五边形的面积为， 故答案为：． 题型四 由平行截线求相关线段的长或比值 【例4】如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：直线， ，即， ， 故答案为：． 【变式4-1】一个油画架如图所示，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式4-2】如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 【变式4-3】如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 题型五 相似三角形的判定 【例5】如图，在中，，利用尺规作图法在上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，点D即为所求． 由图得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-1】已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 【变式5-2】如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式5-3】如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且，     ∴． 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 【例6】如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，∴，即，结合可推出，故不符合题意； C、∵，，∴，故不符合题意； D、，不能推出，故符合题意； 故选：D． 【变式6-1】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式6-2】如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：和中，， 若，则需要增加的一个条件是：或或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ． 【答案】或或 【详解】解：∵， ∴，即， ∴当或或时，． 故答案为：或或 题型七 利用相似三角形的性质求解 【例7】两个相似三角形的相似比为，那么它们的对应边上的中线的比为（    ） A． B． C． D．不同的对应边上的中线的比不同 【答案】B 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应边上的中线的比为， 故选：B． 【变式7-1】两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两三角形周长的比是， 故选：A． 【变式7-2】如图，，和分别是和的高，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，和分别是和的高，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-3】如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】8 【详解】解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：8． 题型八 相似三角形—动点问题 【例8】如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 2 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 整理得：， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， 故答案为：2；． 【变式8-1】如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 【变式8-2】如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 【变式8-3】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【答案】 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 题型九 相似三角形实际应用 【例9】我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 【答案】D 【详解】解：过E作于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 其依据的图形变化是图形的相似． 故选：D． 【变式9-1】如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选B． 【变式9-2】如图是古代测量工具“水平真尺”的示意图，在尺子的表面有一条凹槽用来盛水，尺子两端各有一个小孔，通过这两个小孔去观察远处的目标，如果两个小孔和水面在同一水平线上，那么通过小孔看到的远处目标也在同一水平线上．如图，小明利用自制水平真尺测量池塘对面楼房的高度．小明在B处安置一根与地面垂直的标杆，利用水平真尺在点A处测得点A，B，楼房底端点C在同一水平线上，此时点A，标杆上的点D，楼房顶端点E恰在同一直线上．小明往后退5米到点F处，利用水平真尺测得点F，B，C在同一水平线上，此时点F，标杆顶点G，楼房顶端点E在同一直线上．测量得到米，米，米．请据此计算出楼房的高度． 【答案】楼房的高度为10米 【详解】解：楼房和标杆均与地面垂直， ， ， ， ，即， 整理，得， ，， ， ， 即， 又， 整理，得， 解得， 答：楼房的高度为10米． 【变式9-3】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 题型十 判定位似中心 【例10】如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：B． 【变式10-1】如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】A 【详解】解：如图，作直线、， 由图可知，直线、交于点， 则位似中心可以是点， 故选：A． 【变式10-2】如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 题型十一 求两个位似图形的相似比 【例11】如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为 ． 【答案】 【详解】解：∵与的面积比， ∴与的位似比为， ∴， 故答案为： 【变式11-1】如图，已知与关于点位似，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：与关于点位似， ， ， 故选：C． 【变式12-2】如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式12-3】如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【答案】/ 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 题型十二 在坐标系中画位似图形 【例12】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，已知点． (1)将绕点顺时针旋转，画出所得的，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧缩小，使缩小后的三角形与的位似比为，画出缩小后的三角形．并写出点对应点的坐标． 【答案】(1)，作图，见解析 (2)见解析， 【详解】（1）解：根据旋转的性质，作图如下： 则 （2）解：点，以点为位似中心，在轴的右侧缩小，使缩小后的三角形与的位似比为， 故，画图如下： ． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，然后再把绕原点O逆时针旋转得到．画出，画出，并直接写出点的坐标； 【答案】画图见详解， 【详解】解：如图， 、为所求作， ． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． (1)在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； (2)若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，、； (2)． 【详解】（1）解：（1）如图所示：即为所求，、； （2）以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，P在线段上， 点P在上的对应点的坐标为：． 【变式12-3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 2．如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， ∴位似中心在A、B所在的直线上， ∵点D在直线上， ∴点D为位似中心． 故选：D． 3．如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 4．如图，已知D，E分别是的，边上的点，，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴或（不符合题意，舍去）， 故选：C． 5．如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 二、填空题 6．如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高 米． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∴， 设树高米， ∵米，米，米， ∴， ∴， ∴树高米， 故答案为：． 7．如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 8．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 9．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 10．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵，与关于点位似， ∴， ∴与的相似比为， 即与的相似比为， ∵点的坐标为，且点在第三象限， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将△放大为原来的2倍后的位似图形； (2)点的坐标是 ； (3)在（1）的条件下，已知△的面积为，则△的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)14 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）由（1）得：点的坐标是， 故答案为：； （3）∵和关于原点位似， ∴， 故答案为：14． 12．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 13．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 14．皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 【答案】19米 【详解】解：， ． 又， ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ， ． 答：皇帝手植柏的高度为19米． 15．如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：B． 2．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 3．如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 【答案】C 【详解】解：画出如图，有两种画法： 由图可得，点的坐标是或， 故A选项错误，不符合题意； ∵与位似，位似比为， ∴与的周长之比为，与的边长之比为， 故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 故C选项正确，符合题意； 由图可知，在第一象限或第三象限， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 5．同一平面内，有6个不同的点： A、B、C、D、E、F，点B在线段上，点E在线段上，若，则对于结论：①，②，③，下列四个选项一定正确的是（   ） A．① B．②③ C．①②③ D．三个结论都不一定正确 【答案】D 【详解】解：如图：令，，则， ， 由图可得，不平行于，不平行于，不平行于， 综上所述，三个结论都不一定正确， 故选：D． 二、填空题 6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 【答案】195 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 7．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，已知，若，，则 . 【答案】 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 9．在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为 【答案】 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果P、Q同时出发，用表示移动的时间，那么：当 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【详解】解；根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中： ①当时，，那么有：，解得， 即当时，； ②当时，，那么有：，解得， 即当时，； 所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 三、解答题 11．已知：在中，为的平分线．求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：如图，过点做的平行线与的延长线交于点，   ， ，， ， ， 又为的角平分线， ， ， ∴． 12．如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是 ； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：由图可得：，， 故与的相似比是； （3）解：如图，即为所求， ． 13．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 14．【问题背景】安澜楼，古建风格采用明清大式做法，屋面采用青灰色琉璃瓦，该楼回廊抱厦，重檐叠屋，结构严谨，姿态优美，其外观雄伟壮观，古朴典雅，是汉水人文的结晶．小华所在的数学小组想利用学过的数学知识测量安澜楼的高度． 【实践主题】测量安澜楼的高度． 【素材】皮尺、平面镜、标杆等工具． 【实践操作】如图，在阳光下，小华在安澜楼影子的末端C点处竖立一根2米长的标杆，同一时刻，小组成员测得标杆在阳光下的影长米．然后，小华在点F处放置一平面镜（大小忽略不计），小华来回走动，走到点G处时，恰好看到安澜楼顶端点A在平面镜中的像，已知小华眼睛与地面的高度米，米，米，，点B、C、E、F、G在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 【问题解决】根据上述信息，计算安澜楼的高度． 【答案】42米 【详解】解：由题意可得， ， ，， 即，， 解得． 答：安澜楼的高度为42米． 15．某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$