专题1.3 绝对值、有理数大小比较（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题1.3 绝对值、有理数大小比较 1. 掌握绝对值概念，能准确计算有理数绝对值. 2. 熟练用数轴、法则比较有理数大小，理解数轴上数的大小规律. 3. 理解绝对值几何意义（距离）与代数意义（正负零的绝对值结果）的联系，能简单应用. 4. 经历概念探究、大小比较过程，提升抽象思维与逻辑推理能力. 知识点1 绝对值 1．定义 在数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 |a|．读作＂ 的绝对值＂． 由绝对值的定义可知:一个数在数轴上对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大，所以没有绝对值最大的数，只有绝对值最小的数，最小为0 2.性质 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2） 0 的绝对值是 0 ； （3）一个负数的绝对值是它的相反数． 即： 知识点2 绝对值的非负性 1．非负性 任何一个有理数的绝对值总是正数或 0 （通常也称非负数）．即对任意有理数 ，总有 ． 2．绝对值等于它本身的数是非负数，绝对值等于它相反数的数是非正数， 0 是绝对值最小的数，即：若 ，则 ；若 ，则 ． 3．绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，即：若 ，则 。 4．互为相反数的两个数的绝对值相等，即： ． 5．绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若 ，则 或 ． 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别为0. 知识点3 两个负数比较大小 1.在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的 那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小 1.两个负数相比较，先确定绝对值的大小，再确定数的大小 2.多个负数比较大小，也可遵循此法进行比较 2.利用绝对值比较两个负数大小的一般步骤 第一步，分别求出两个负数的绝对值； 第二步，比较两个负数的绝对值的大小; 第三步，根据“两个负数，绝对值大的反而小”，判断两个负数的大小 知识点4 比较任意有理数的大小 1.利用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定:在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即:右边的数总比左边的数大， 2.利用数的性质比较有理数大小的法则 (1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数(2)两个负数，绝对值大的反而小.即: 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为 0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 1.比较两个有理数的大小时，一般不用数轴而比较多个有理数的大小时，使用数轴会比 较方便。 2.比较两个异号的数的大小，只需考虑它们的正负;比较两个同号的数的大小，只需考虑它们的绝对值 题型一、绝对值的几何意义 例1（24-25七年级上·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．绝对值是它本身的数是正数 D．有理数不是整数就是分数 1-1（24-25七年级上·北京·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 1-2（24-25七年级上·广东广州·期中）实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 1-3（24-25七年级上·广东惠州·期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（    ） A．a B．b C．c D．d 1-4（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 1-5（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 题型二、求一个数的绝对值 例2（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 2-1（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）的绝对值是（　　） A．8 B． C． D． 2-2（24-25七年级上·甘肃天水·期中） 的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2-3（24-25七年级上·全国·期中）若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 2-4（24-25七年级上·全国·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 2-5（24-25七年级上·北京·期中）化简： 题型三、绝对值非负性 例3（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若、满足，则的值（ ） A． B．1 C．5 D． 3-1（24-25七年级上·河南南阳·期中）若与互为相反数，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 3-2（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）若与互为相反数，则的值是（    ） A． B．5 C．2 D．-2 3-3（24-25七年级上·广东河源·期中）若与的值互为相反数，则的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 3-4（24-25七年级上·甘肃天水·期中）若，则 ， ． 3-5（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 题型四、绝对值的其他应用 例4（24-25七年级上·福建漳州·期中）某中学为召开运动会计划采购一批足球，在对市场进行调研中发现4个品牌足球的质量如图所示，超过国家规定标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，你建议学校采购的足球品牌是（    ） A．   B．   C．   D．   4-1（24-25七年级上·山东临沂·期中）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D．1.9 4-2（24-25七年级上·云南昭通·期中）在羽毛球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下检测结果中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 4-3（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 5 8 4-4（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 题型五、有理数大小比较 例5（24-25七年级上·福建南平·期中）在，，4，这4个数中，最小的有理数是（　　） A． B． C．4 D． 5-1（23-24七年级上·重庆·期中）下列四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 5-2（23-24七年级上·广东河源·期中）在，，，这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 5-3（24-25七年级上·福建南平·期中）比较大小： ．（“”，“”或“”） 5-4（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： 填“”或“号”． 题型六、有理数大小比较的实际应用 例6（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）年春节前，一轮雨雪降温席卷黔北地区，某地一周最低气温如下表，其中最低气温出现在（ ） 日期 周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六 气温（） A．周一 B．周二 C．周五 D．周六 6-1（24-25七年级上·河南南阳·期中）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（   ） A． B． C．10 D．30 6-2（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 6-3（24-25七年级上·山东青岛·期中）黑龙江省气象台年月日时分发布了寒潮预报：黑河最低气温，大庆最低气温．最低气温更低的城市是 ．（填：“黑河”或“大庆”） 易错点1 未考虑a为0的情况，误认为若lal=a,则a>0;若lal=-a，则a<0 例1 如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 易错点2 误认为绝对值小于某正数的所有整数只有非负数，从而漏解 例2 写出所有绝对值大于2而小于5的整数 【答案】±3，±4 【分析】求绝对值大于2且小于5的整数，即求绝对值等于3或4的整数．根据绝对值是一个正数的数有两个，它们互为相反数，得出结果． 【详解】解：绝对值大于2而小于5的整数有：±3，±4． 故答案为：±3，±4． 一、单选题 1．若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 2．给出下面四种说法：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若，则；④如果，那么．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 4．若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数m、n、p、r所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（   ） A．M或N B．M或R C．N或P D．P或R 二、解答题 6．[新方向·定义新运算]对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 7．[新思维·取中间值法]学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如：；；；． (1)根据上面的规律，______．（写成去掉绝对值符号的形式不算出结果） (2)如果有理数，则______； (3)请利用你探究的结论计算： 8．[立德树人·垃圾分类]为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 9．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量___________来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，___________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． (3)若是大于1的正数，试利用上述方法比较和的大小． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 绝对值、有理数大小比较 1. 掌握绝对值概念，能准确计算有理数绝对值. 2. 熟练用数轴、法则比较有理数大小，理解数轴上数的大小规律. 3. 理解绝对值几何意义（距离）与代数意义（正负零的绝对值结果）的联系，能简单应用. 4. 经历概念探究、大小比较过程，提升抽象思维与逻辑推理能力. 知识点1 绝对值 1．定义 在数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 |a|．读作＂ 的绝对值＂． 由绝对值的定义可知:一个数在数轴上对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大，所以没有绝对值最大的数，只有绝对值最小的数，最小为0 2.性质 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2） 0 的绝对值是 0 ； （3）一个负数的绝对值是它的相反数． 即： 知识点2 绝对值的非负性 1．非负性 任何一个有理数的绝对值总是正数或 0 （通常也称非负数）．即对任意有理数 ，总有 ． 2．绝对值等于它本身的数是非负数，绝对值等于它相反数的数是非正数， 0 是绝对值最小的数，即：若 ，则 ；若 ，则 ． 3．绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，即：若 ，则 。 4．互为相反数的两个数的绝对值相等，即： ． 5．绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若 ，则 或 ． 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别为0. 知识点3 两个负数比较大小 1.在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的 那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小 1.两个负数相比较，先确定绝对值的大小，再确定数的大小 2.多个负数比较大小，也可遵循此法进行比较 2.利用绝对值比较两个负数大小的一般步骤 第一步，分别求出两个负数的绝对值； 第二步，比较两个负数的绝对值的大小; 第三步，根据“两个负数，绝对值大的反而小”，判断两个负数的大小 知识点4 比较任意有理数的大小 1.利用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定:在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即:右边的数总比左边的数大， 2.利用数的性质比较有理数大小的法则 (1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数(2)两个负数，绝对值大的反而小.即: 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为 0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 1.比较两个有理数的大小时，一般不用数轴而比较多个有理数的大小时，使用数轴会比 较方便。 2.比较两个异号的数的大小，只需考虑它们的正负;比较两个同号的数的大小，只需考虑它们的绝对值 题型一、绝对值的几何意义 例1（24-25七年级上·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．绝对值是它本身的数是正数 D．有理数不是整数就是分数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值、有理数等概念，逐一分析各选项的正确性，结合绝对值、有理数等概念进行判断． 【详解】解：A. 0既不是正数也不是负数，正确； B. 当时，表示非零数的绝对值，必大于0，正确； C. 绝对值是它本身的数是非负数（包括0和正数），但选项仅提到“正数”，忽略了0，错误； D. 有理数包括整数和分数（含有限小数、无限循环小数），正确． 故选：C． 1-1（24-25七年级上·北京·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，距离越大，绝对值越大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，表示数的点到原点的距离最大， ∴绝对值最大的是； 故选A． 1-2（24-25七年级上·广东广州·期中）实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可． 【详解】解：A．，互为相反数，，，，，故A错误； B．，互为相反数，，，故B错误； C．，互为相反数，，故C错误； D．，互为相反数，，，故D正确． 故选∶D． 1-3（24-25七年级上·广东惠州·期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数大小比较，正确理解绝对值的意义是解题关键． 直接利用绝对值的意义进而得出答案． 【详解】如图所示：实数a，b，c，d在数轴上的对应点，只有d距离原点的距离最远，故这四个数中，绝对值最大的是D， 故答案为：D． 1-4（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 1-5（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 题型二、求一个数的绝对值 例2（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据绝对值的性质可得：的绝对值是5， 故选：A． 2-1（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）的绝对值是（　　） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的概念．负有理数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 2-2（24-25七年级上·甘肃天水·期中） 的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，可直接得出答案． 【详解】解： 的绝对值是2， 故选A． 2-3（24-25七年级上·全国·期中）若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的代数意义判断即可． 【详解】∵ ∴，即a是非负数． 故选：C． 2-4（24-25七年级上·全国·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 2 /0.5 【分析】本题主要考查相反数的概念，绝对值的概念等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点 【详解】解：的相反数是2；的绝对值是． 故答案：2；． 2-5（24-25七年级上·北京·期中）化简： 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的化简，根据多重符号的化简方法及绝对值的定义化简即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：，，，． 题型三、绝对值非负性 例3（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若、满足，则的值（ ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握其性质并加以应用是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选A． 3-1（24-25七年级上·河南南阳·期中）若与互为相反数，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的定义，求代数式的值等知识，新根据相反数的定义得出，然后根据绝对值的非负性可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3-2（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）若与互为相反数，则的值是（    ） A． B．5 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．本题考查了相反数的性质，绝对值的非负性：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3-3（24-25七年级上·广东河源·期中）若与的值互为相反数，则的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性、相反数，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题关键．先根据相反数的定义可得，再根据绝对值和偶次方的非负性可得，，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3-4（24-25七年级上·甘肃天水·期中）若，则 ， ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 3-5（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 题型四、绝对值的其他应用 例4（24-25七年级上·福建漳州·期中）某中学为召开运动会计划采购一批足球，在对市场进行调研中发现4个品牌足球的质量如图所示，超过国家规定标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，你建议学校采购的足球品牌是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数所对应的足球是越接近标准，且是四个选项的足球中是最接近标准，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴A选项的足球最接近标准， 故选：A． 4-1（24-25七年级上·山东临沂·期中）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D．1.9 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵，，，， 且， ∴最接近标准的是选项A中的零件． 故选：A． 4-2（24-25七年级上·云南昭通·期中）在羽毛球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下检测结果中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的应用．根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准质量的是， 故选：D． 4-3（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 5 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 4-4（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）绝对值不小于2且小于的负整数是 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查绝对值和有理数大小比较，关键是掌握绝对值的性质；找出绝对值不小于2且小于的所有负整数即可得解． 【详解】解：绝对值不小于2且小于的整数包括：，，，， ∴绝对值不小于2且小于的负整数有：，，，． 故答案为：，，，． 题型五、有理数大小比较 例5（24-25七年级上·福建南平·期中）在，，4，这4个数中，最小的有理数是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解题的关键． 先化简多重符号和绝对值，再根据有理数的大小比较法则进行比较，即可得出结果． 【详解】解：，， ∵正数大于负数， ∴最小的有理数是． 故选：D． 5-1（23-24七年级上·重庆·期中）下列四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较解答此题的关键． 根据有理数的大小比较方法比较各数的大小，确定最小值，即可得到答案． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：B． 5-2（23-24七年级上·广东河源·期中）在，，，这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握“两个负数的大小比较”是解本题的关键． 有理数的大小比较：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法比较四个数的大小，从而可得答案． 【详解】解：，，， ， ， 故选：D． 5-3（24-25七年级上·福建南平·期中）比较大小： ．（“”，“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了有理数比较大小，熟练掌握“两个负数比较大小，绝对值的负数反而小”是解题的关键． 根据“两个负数比较大小，绝对值的负数反而小”进行比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 5-4（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： 填“”或“号”． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较．根据正数大于负数、负数都小于0、两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∵，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 题型六、有理数大小比较的实际应用 例6（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）年春节前，一轮雨雪降温席卷黔北地区，某地一周最低气温如下表，其中最低气温出现在（ ） 日期 周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六 气温（） A．周一 B．周二 C．周五 D．周六 【答案】A 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，根据有理数的大小比较的方法，确定最小的那个数所在的日期即可． 【详解】解：， 最低气温出现在周一， 故选：A． 6-1（24-25七年级上·河南南阳·期中）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（   ） A． B． C．10 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较方法解答即可，熟练掌握有理数的大小比较是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得，大于的需要放松，小于的需要拧紧，且， ∴指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是， 故选：B． 6-2（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，得最低气温是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则最低气温是， 故答案为： 6-3（24-25七年级上·山东青岛·期中）黑龙江省气象台年月日时分发布了寒潮预报：黑河最低气温，大庆最低气温．最低气温更低的城市是 ．（填：“黑河”或“大庆”） 【答案】黑河 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：黑河． 易错点1 未考虑a为0的情况，误认为若lal=a,则a>0;若lal=-a，则a<0 例1 如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 易错点2 误认为绝对值小于某正数的所有整数只有非负数，从而漏解 例2 写出所有绝对值大于2而小于5的整数 【答案】±3，±4 【分析】求绝对值大于2且小于5的整数，即求绝对值等于3或4的整数．根据绝对值是一个正数的数有两个，它们互为相反数，得出结果． 【详解】解：绝对值大于2而小于5的整数有：±3，±4． 故答案为：±3，±4． 一、单选题 1．若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 2．给出下面四种说法：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；③若，则；④如果，那么．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义和相反数的意义．根据相反数的性质，绝对值的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①互为相反数的两个数绝对值相等，那么这两个数可能不相等,故①正确，符合题意； ②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数，故②正确，符合题意； ③若，则，故③正确，符合题意； ④ 若，，则，若，，则，故④不正确，不符合题意； 故选A． 3．若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 4．若实数，在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的性质，利用绝对值的意义，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，且，， A、∴， 该选项错误，不符合题意； B、∵， 该选项错误，不符合题意； C、根据题意，得， 该选项错误，不符合题意； D、根据题意，得， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键． 5．如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数m、n、p、r所对应的点，其中有一点是原点，并且．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若，则原点是（   ） A．M或N B．M或R C．N或P D．P或R 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴的定义以及绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．先利用数轴的特点确定的关系，从而确定的值，确定原点即可． 【详解】解：， ， ， ， 设数a对应的点为点A，数b对应的点为点B， ①当原点在或点时，， 和题意相互矛盾，故原点不可能在或点； ②当原点在时且时，， 故原点应该在M或R点． 故选B． 二、解答题 6．[新方向·定义新运算]对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 【答案】(1)3，8； (2)6或0. (3) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算、即可求解； （2）解绝对值方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可得： 1和2关于0的“美好关联数”为：； 和5关于2的“美好关联数”为：； 故答案为：3，8； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或 ∴的值为6或0. （3）解：由已知得：， ∵，， ∴的最小值； ， ∵，， ∴的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值；……； ∴，的最小值是， ∴的最小值为. 故答案为：． 7．[新思维·取中间值法]学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如：；；；． (1)根据上面的规律，______．（写成去掉绝对值符号的形式不算出结果） (2)如果有理数，则______； (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，化简绝对值，掌握绝对值的意义，是解题的关键： （1）根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （2）根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （3）先化简绝对值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3） ． 8．[立德树人·垃圾分类]为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 9．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量___________来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，___________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． (3)若是大于1的正数，试利用上述方法比较和的大小． 【答案】(1) ，绝对值 (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据阅读材料得出两个分数大小比较方法是解答本题的关键． （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可； （3）找中间量，然后根据题中所给解法进行求解即可． 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）解：， ， ． （3）解：∵是大于1的正数，且，， ∴， ∴． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$