第22章 一元二次方程（单元测试·基础卷）数学华东师大版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第22章 一元二次方程（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D C B C B A D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．-3 12． 13． 14．2025 15．4 三、解答题（共9小题，共72分） 16．（10分） 【解析】（1）解：，（2分） ， ，（4分） 解得：；（5分） （2）解：， （7分） （9分） 解得：．（10分） 17．（9分） 【解析】（1）解： （2分） （3分） ；（5分） （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，（7分） 即， ∴．（9分） 18．（9分） 【解析】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，（2分） 解得：（3分） （2）解：把代入方程可得， 解得：或，（5分） ∵， ∴，（6分） 此时一元二次方程化为， 解方程得，，（8分） ∴方程的另一个根为．（9分） 19．（9分） 【解析】（1）解：观察题干过程，得出小北同学选用了配方法解该一元二次方程， 则他的解法从第②步开始出现错误，第②的正确的过程为 故答案为：配方法，（2分）②；（4分） （2）解：∵ （6分） ∴ ∴，．（9分） 20．（9分） 【解析】解：设小路的宽为米， 由题意可得：，（4分） 解得：或（不符合题意，舍去），（6分） 经检验：是方程的解，且符合题意.（8分） 答：小路的宽是米．（9分） 21．（9分） 【解析】（1）解∶ ；（4分） （2）解∶ ， ，（6分） ， 或2，（8分） 又， ．（9分） 22．（10分） 【解析】（1）解：与的函数关系式为：，（1分） 把，代入得： ， 解得：，（3分） ∴与的函数关系式为：；（4分） （2）解：根据题意知，，（6分） 整理得：， 解得：或，（8分） ∵要让消费者得到实惠， ∴， 经检验：是方程的解，且符合题意. 答：该爬虾的实际售价应定为45元．（10分） 23．（10分） 【解析】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A．（2分） （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以；（6分） （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第22章 二次根式 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 3．关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 5．若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 6．若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 7．用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2025 8．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A．或4 B．4 C． D．1或 9．.某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 10．对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知是一元二次方程，则的值为 ． 12．将一元二次方程化成一般形式为 ． 13．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为 ． 14．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的长度是 ． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16．计算：(1); (2)（配方法） 17．已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 19．小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． (2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 20．某学校为落实活动育人的教育理念，计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空地改建成一个菜园，供学生使用．如图．为了方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为504平方米，问小路的宽是多少米？ 21．如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1) 求的值（用含的式子表示）； (2)若，求的值． 22．荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 23．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1） 小明配方的依据是 . A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第22章 一元二次方程 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 3．关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 5．若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 6．若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 7．用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2025 8．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A．或4 B．4 C． D．1或 9．.某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 10．对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知是一元二次方程，则的值为 ． 12．将一元二次方程化成一般形式为 ． 13．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为 ． 14．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的长度是 ． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16．计算：(1); (2)（配方法） 17．已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 19．小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． (2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 20．某学校为落实活动育人的教育理念，计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空地改建成一个菜园，供学生使用．如图．为了方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为504平方米，问小路的宽是多少米？ 21．如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1) 求的值（用含的式子表示）； (2)若，求的值． 22．荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 23．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1） 小明配方的依据是 . A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第22章 一元二次方程 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义，对每个选项逐一分析判断，看是否符合该定义 ．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义是解题的关键． 【详解】选项A：展开右边，，原方程化简为，移项后得，为一次方程，不符合定义． 选项B：方程含项，属于分式方程，非整式方程，排除． 选项C：形式类似二次方程，但未明确，若则方程退化为一次方程，无法确定，排除． 选项D：方程满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义． 故选：D． 2．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【详解】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 3．关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可．解题的关键是掌握：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项． 【详解】解：原方程移项得， 此时常数项为． 故选：D． 4．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 5．若点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，坐标平面内点的坐标特征，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，分类讨论，掌握一元二次方程解法及勾股定理是解题的关键；先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度． 【详解】解：解方程， 因式分解得 ， 解得 ，； 当6和4均为直角边时，斜边为 ； 当6为斜边，4为直角边时，另一条直角边为 ，此时斜边仍为6； 由于斜边必为最长边，4不可能是斜边， 因此，斜边可能为6或，对应选项C； 故选：C． 7．用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，通过配方法将方程转化为平方形式，确定参a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 8．现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A．或4 B．4 C． D．1或 【答案】A 【分析】此题考查了新定义，解一元二次方程．原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选：A． 9．.某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 设该厂八、九月份平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，再由八、九两月共生产146万个列出方程即可． 【详解】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为， 由题意得，． 故选：D． 10．对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 12．将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 13．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 14．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，解一元二次方程，由正方形面积计算公式可得，由全等三角形的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1， ∴ 由全等三角形的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16．解方程：(1) (2)（配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， 解得：． 17．已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【解析】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，计算即可得解； （2）把代入方程可得，求出，此时一元二次方程化为，解方程即可得解． 【解析】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： （2）解：把代入方程可得， 解得：或， ∵， ∴， 此时一元二次方程化为， 解方程得，， ∴方程的另一个根为． 19．小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． (2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 【答案】(1)配方法，② (2)，  【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干过程，得出运用配方法解该一元二次方程，且从第②步开始出现错误； （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【解析】（1）解：观察题干过程，得出小北同学选用了配方法解该一元二次方程， 则他的解法从第②步开始出现错误，第②的正确的过程为 故答案为：配方法，②； （2）解：∵ ∴ ∴，． 20．某学校为落实活动育人的教育理念，计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空地改建成一个菜园，供学生使用．如图．为了方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为504平方米，问小路的宽是多少米？ 【答案】小路的宽是米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽为米，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【解析】解：设小路的宽为米， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验：是方程的解，且符合题意. 答：小路的宽是米． 21．如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的面积列式求解即可； （2）根据列出关于a的方程，然后解方程即可． 【解析】（1）解∶ ； （2）解∶ ， ， ， 或2， 又， ． 22．荣成海鲜以其丰富的种类，优良的品质和悠久的历史而闻名．近年来，荣成市大力推进科技兴海，以养兴渔的策略．某海鲜店从当地渔民处以20元/斤的价格购进一批爬虾，经市场调研发现，这种虾爬的日销售量（斤）与每斤售价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)为使日销售这种爬虾的利润为1750元，而且尽可能让顾客得到实惠，该爬虾的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)该爬虾的实际售价应定为45元． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数应用，审清题意正确列出方程和函数的表达式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”列方程求解后，根据要让消费者得到实惠可得答案． 【解析】（1）解：与的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为：； （2）解：根据题意知，， 整理得：， 解得：或， ∵要让消费者得到实惠， ∴， 经检验：是方程的解，且符合题意. 答：该爬虾的实际售价应定为45元． 23．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1） 小明配方的依据是 . A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【解析】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$