第1章 集合与逻辑（知识清单）高一数学湘教版2019必修第一册

第1章 集合与逻辑 清单01 集合的含义 在数学语言中，把一些 放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个 ，给这些对象的总的名称，就是这个 的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个 ． 清单02 元素与集合 1、集合与元素的关系 属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作，读作属于． 不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作，读作不属于． 【注意】符号“”和“”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2、集合中元素的三大特征 （1） ：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2） （考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3） ：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 清单03 集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素 （不考虑元素的顺序），并且写在 ，这种表示集合的方法叫做 ， 描述法：在大括号内先写出这个集合的 ，再划一条 ，在竖线后面写上集合中元素所 ，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做 ． 清单04 区间 1.区间的概念及几何表示 2.含“∞”的区间的几何表示 清单05 子集 1、子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中 都是集合中的元素，我们就说这两个集合 有 关系，称集合为集合的 （1）记法与读法：记作 ，读作 （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2、集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 3、集合相等 一般地,如果集合的 都是集合的元素,同时集合的 都是集合的元素,那么集合与集合 ,记作 .也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 清单06 真子集的含义 如果集合，但 元素 ，且 ，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作 ，读作 （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 清单07 空集的含义 我们把 的集合，叫做 ，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 清单08全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的 ，记作 补集的性质： , , . 清单09 交集 一般地，由 集合又 集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的 ，记作 .记作： . 交集的性质：,,,,. 清单10 并集 一般地，由所有属于集合 属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的 ，记作 .记作： . 并集的性质：,,,,. 清单11 命题 1、 命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫命题． 判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题． 2、命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“ ，“ 等形式．其中称为命题的条件，称为命题的结论． 3、命题的否定：如果是一个命题，则“不成立”也是一个命题，叫作的否定，读作 ．它们之间的真假性互异． 清单12充分条件，必要条件、充要条件 1、充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 2、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的 ； （2）若且，则是的 ； （3）若且，则是的 ； （4） 若，则是的 ； （5）若且，则是的 . 3、从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 清单13 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号“”表示.含有 ,叫做 . 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为 . 2、存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ,用符号“”表示.含有存在 ,叫做存在 . 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为 . 3、全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定： . （2）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定： . 易错点1 忽略集合元素互异性 错误：元素与集合关系中，求解出参数忽视了回代检验集合元素的互异性 注意：集合元素互异性是集合的重要特征，求解时要特别注意代入参数检验是否满足集合元素的互异性 例题1-1．已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 例题1-2 若集合A由三个元素组成，且，则 . 易错点2 混淆点集，数集 错误：在用描述法表示集合时特别注意判断一般元素代表：如表示的是数集，表示的是点集 注意：注意看清一般元素代表 例题2 若集合，则（    ） A． B． C． D． 易错点3 忽视了空集 错误：包含关系，最容易忽视空集，空集是任何集合的子集 注意：包含关系，空集优先 例题3 -1已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 例题3 -2已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是 ． 易错点4 集合运算时混淆了端点可取等（不可取等） 错误：在包含关系中，最容易混淆端点是否可以取到等号 注意：可采用①先确定大范围②单独验证端点能否取到 例题4-1若集合，则（    ） A． B． C． D． 例题4-2已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 易错点5 充分必要性中混淆“是”字正序和“的”字倒序 错误：混淆了“是”字正序和“的”字倒序 注意：①是的充分不必要条件等价于：且 ②的充分不必要条件是等价于：且 例题5-1已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 例题5-2已知命题，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 1．已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 2．将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D．R 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 7．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，则M=（    ） A． B． C．（1，0） D． 10．已知集合，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 11．若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 14．使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 15．不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 16．已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 17．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（多选）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 20．已知集合，，则 ． 21．设集合，若，则实数 22．已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 23．已知集合若，则实数的取值范围是 . 24．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与逻辑 清单01 集合的含义 在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素． 清单02 元素与集合 1、集合与元素的关系 属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作，读作属于． 不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作，读作不属于． 【注意】符号“”和“”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2、集合中元素的三大特征 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 清单03 集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法， 描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法． 清单04 区间 1.区间的概念及几何表示 2.含“∞”的区间的几何表示 清单05 子集 1、子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2、集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 3、集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 清单06 真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 清单07 空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 清单08全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 清单09 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 清单10 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 清单11 命题 1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若，则”，“如果，那么”等形式．其中称为命题的条件，称为命题的结论． 3、命题的否定：如果是一个命题，则“不成立”也是一个命题，叫作的否定，读作“非”．它们之间的真假性互异． 清单12充分条件，必要条件、充要条件 1、充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 2、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 3、从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 清单13 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为. 2、存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 3、全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （2）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 易错点1 忽略集合元素互异性 错误：元素与集合关系中，求解出参数忽视了回代检验集合元素的互异性 注意：集合元素互异性是集合的重要特征，求解时要特别注意代入参数检验是否满足集合元素的互异性 例题1-1．已知，则实数a的值是（    ） A．3 B．1 C．3或1 D．0 【答案】A 【分析】由元素与集合的关系可得出或，然后再检查集合元素的互异性. 【详解】由题意得或，当时，集合为，符合题意； 当时，集合为，不符合题意，所以. 故选：A 例题1-2 若集合A由三个元素组成，且，则 . 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 易错点2 混淆点集，数集 错误：在用描述法表示集合时特别注意判断一般元素代表：如表示的是数集，表示的是点集 注意：注意看清一般元素代表 例题2 若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的表示法可发现集合是点集，集合是数集，所以交集为空集. 【详解】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点， 集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数， 所以. 故选：D. 易错点3 忽视了空集 错误：包含关系，最容易忽视空集，空集是任何集合的子集 注意：包含关系，空集优先 例题3 -1已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 【答案】D 【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可. 【详解】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D 例题3 -2已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分集合B是空集和非空集合两种情况，再利用集合之间的包含关系分别求解即可. 【详解】①当时，则，即，因为集合， ，则或， 又，则或，解得或，又，所以； ②当时，则，即，此时，符合题意． 综上所述，实数的取值范围为或． 故答案为： 易错点4 集合运算时混淆了端点可取等（不可取等） 错误：在包含关系中，最容易混淆端点是否可以取到等号 注意：可采用①先确定大范围②单独验证端点能否取到 例题4-1若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再由补集运算求出，最后交集运算即可. 【详解】集合，所以， 且， 所以. 故选：D 例题4-2已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的定义即可求出答案. 【详解】因为集合，， 则. 故选：D. 易错点5 充分必要性中混淆“是”字正序和“的”字倒序 错误：混淆了“是”字正序和“的”字倒序 注意：①是的充分不必要条件等价于：且 ②的充分不必要条件是等价于：且 例题5-1已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 例题5-2已知命题，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题p为真命题时，求得，结合充分与必要条件的定义可判断每个选项的正误. 【详解】由，得，解得， 因为真包含于，所以命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是，故A正确； 所以命题p为真命题的一个充要条件可以是，故B错误； 因为真包含于，所以命题p为真命题的一个充分不必要条件可以是，故C错误； 由得不出，同时也得不出， 所以命题p为真命题的一个既不必要又不充分条件可以是，故D错误. 故选：A. 1．已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【分析】由题意得或，解方程，由集合元素的互异性即可求. 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 2．将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出当时，的值，判断是否满足即可判断． 【详解】， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ； ， 故选：D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】利用描述法表示集合的几何意义，求出两直线交点坐标即可得出结果. 【详解】根据题意可知，集合都是表示的点的集合， 联立两直线，解得， 即交点为，所以. 故选：C 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由区间及并集定义可得答案. 【详解】由题， 则. 故选：C 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集的定义即可求出答案. 【详解】因为集合，所以. 故选：D. 6．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解绝对值不等式及二次不等式可求集合A，B，再利用集合交集的运算即可求解. 【详解】根据题意，则， ，则， 故. 故选：C. 7．方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得方程组的解，由集合的表示方法，结合选项，即可求解. 【详解】由，得，所以，解集为 故选：C 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的描述法结合交集的运算分析求解. 【详解】由，解得 所以． 故选：B． 9．已知集合，则M=（    ） A． B． C．（1，0） D． 【答案】B 【分析】根据该集合元素的意义是二元一次方程组的解，解方程即可． 【详解】解：由， 解得， 故． 故选：B． 10．已知集合，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】由，得， 当时，，符合题意； 当时，，则或，解得或. 综上所述，实数的取值所组成的集合是. 故选：D. 11．若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，可得或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 12．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的含义进行辨析即可. 【详解】因为，所以， 当时，无意义，所以“”时，“”不一定成立； 当时，，所以“”能推出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 13．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即不等式的解集为， 对于A中，集合是成立的充要条件，所以A不符合题意； 对于B中，集合 是的必要不充分条件，所以B符合题意； 对于C中，集合 是的充分不必要条件，所以C不符合题意； 对于D中，集合是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意. 故选：B. 14．使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【详解】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 15．不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出一元二次不等式，再根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以解得，即不等式的解集为， 由题意可知，选项对应的集合应为的真子集. 对于选项A ，因为 ，即是的必要不充分条件，故A错误； 对于选项B，因为，即是的充要条件，故B错误； 对于选项C，因为，即是充分不必要条件，故C正确； 对于选项D，因为与不存在包含关系，即是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：C 16．已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简命题，再利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得，即命题， 对于A，是成立的充要条件，A不是； 对于B，是成立的必要不充分条件，B不是； 对于C，是成立的充分不必要条件，C是； 对于D，是成立的不充分不必要条件，D不是. 故选：C 17．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解分式不等式，再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】因为，所以，即得， 若，则；若，则不一定满足； “”是“”的 充分不必要条件. 故选：A. 18．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出不等式，设，或，由题意判断二者的关系，即可求得答案. 【详解】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以q是的充分不必要条件， 设，或， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B 19．（多选）设集合，若，则实数可以是（    ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】ACD 【分析】先求得集合，分类讨论，确定集合，根据，确定实数的值，得到答案. 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得 对于方程，当时，此时集合，满足，符合题意； 当时，可得，若，可得或，解得或， 所以实数的可能取值为. 故选：ACD. 20．已知集合，，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意，； 当时，显然，解得，集合，符合题意， 所以. 故答案为：1 21．设集合，若，则实数 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性即可求解. 【详解】，， 若，， 此时，不满足互异性，故， 所以，即，解得或（舍去）， 当时，， 所以. 故答案为：. 22．已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据集合中元素的互异性得出且，即可写出一个满足的条件的. 【详解】解：由集合中元素的互异性可知：， 解得且， 故时，，满足题意. 故答案为： 1（答案不唯一） 23．已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 24．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 【答案】0或 【分析】由，，，三种情况分别讨论即可. 【详解】， 因为， 所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$