第1章 集合与逻辑（复习讲义）高一数学湘教版2019必修第一册

第1章 集合与逻辑（复习讲义） 1、了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义. 3、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 4、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 5、理解全称量词，存在量词及其否定。 1、有限集的子集个数确定 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 2、集合的运算性质（注意包含关系优先考虑空集） （1）,,,,. （2）,,,,. （3） , , . 3、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （2）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 题型一 判断元素（集合）与集合 【例1】已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，，并有以下9个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 其中正确的有 （填序号）． 【变式1-3】判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 题型二 根据元素与集合关系求参数 【例2】已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2-2】已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 题型三 根据集合中元素个数求参数 【例3】（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3-1】若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 【变式3-2】若集合中只有一个元素，则 . 【变式3-3】已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 题型四 两个集合相等 【例4】设，集合，则 ． 【变式4-1】已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式4-2】已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-3】已知集合，若，则 . 题型五 列举法与描述法 【例5】已知集合，求（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知集合且，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】已知，则集合的真子集的个数是 . 【变式5-3】集合，则的真子集个数为 个． 题型六 子集（真子集）个数问题 【例6】集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 【变式6-1】已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式6-2】已知集合，则的子集的个数是（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式6-3】集合，，则符合的集合B的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型七 根据集合的包含关系求参数 【例7】已知集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【变式7-1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【变式7-2】已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】设全集为，集合，. (1)求集合、； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-5】已知集合， ， ． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 题型八 集合的综合运算 【例8】 【变式8-1】 【变式8-2】 【变式8-3】 【例8】集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】设全集，则（    ） A． B． C． D． 题型九 根据集合运算结果求参数 【例9-1】已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 【例9-2】设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式9-1】已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【变式9-2】已知集合或，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式9-3】记不等式的解集为，不等式的解集为. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型十 判断充分性与必要性 【例10】“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式10-1】已知，则p是q的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-2】设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-3】若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件. 题型十一 根据充分必要性求参数 【例11】已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式11-1】设全集为实数集，集合， (1)当时，求； (2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 【变式11-2】已知集合，非空集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求m的取值范围. 题型十二“是”字正序与“的”字倒序对比 【例12-1】（多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例12-2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式12-1】使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 题型十三 全称量词命题与存在量词命题的否定 【例13】命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式13-2】已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 【变式13-3】命题“”的否定是 . 题型十四 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【例14】使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是 . 【变式14-1】若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式14-2】若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式14-3】已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为 ． 基础巩固通关测 1．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．命题，命题，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若集合非空，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 7．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C．0 D．1 9．（多选）关于集合的性质以下哪些是正确的（　　） A．若，则 B．若，则和互为补集 C． D． 10 （多选）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．设，，则是的 条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 12．命题“”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 13．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 14．已知，非空集合．若是的必要不充分条件，求的取值范围． 15．已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 16．已知集合. (1)用区间表示集合； (2)若，求a，b的取值范围. 能力提升进阶练 1．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 2．已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．若正整数，的最大公约数为1，则称，互质.对于正整数，函数表示不大于的正整数中与互质的数的个数，例如：，.已知，均为大于11的正整数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 6．若集合的两个非空子集满足，则称为集合的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则共有互斥子集 组. 7．设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的 ． 8．对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 9．已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P. (1)检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N； (2)对任意具有性质 P 的集合S，证明： (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论. 10．已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”. (1)若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明） (2)若是“积和集合”，写出的所有可能取值： (3)若，判断是否为“积和集合”，并说明理由. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与逻辑（复习讲义） 1、了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义. 3、理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 4、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 5、理解全称量词，存在量词及其否定。 1、有限集的子集个数确定 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 2、集合的运算性质（注意包含关系优先考虑空集） （1）,,,,. （2）,,,,. （3） , , . 3、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （2）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 题型一 判断元素（集合）与集合 【例1】已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 【变式1-1】已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 【变式1-2】若，，并有以下9个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【详解】因为，所以，又，故①错误；②，④，⑤正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以③，⑦，⑨正确， 又，所以⑥错误，显然⑧正确， 故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨. 【变式1-3】判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)正确 (4)正确 (5)错误 (6)错误 (7)正确 (8)正确 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断即可. 【详解】（1）任何一个集合是它本身的子集，所以，故正确. （2）元素相同的两个集合为相等集合，故正确． （3）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （4）中只有一个元素0，，故正确． （5）与是两个集合，不能用“”连接，故错误． （6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等，故错误． （7）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （8），⫋，故正确． 题型二 根据元素与集合关系求参数 【例2】已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 【变式2-1】已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 【变式2-2】已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合，得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2-3】设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先假设，即时，不等式成立，得到：，然后解不等式得到的取值范围，最后对的取值范围取补集即为最终结果. 【详解】假设，即当时不等式成立， 代入可得：，解得：或. 由于已知，故的取值范围为. 故答案为： 题型三 根据集合中元素个数求参数 【例3】（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况进行讨论. 【详解】集合只有一个元素， 所以方程只有一个实数解. 若，方程只有一解； 若，方程只有一个实数解，所以. 故选：AC 【变式3-1】若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由子集个数知，解方程求参数，即可得. 【详解】由题设，集合有且仅有1个元素， 所以，可得或1，故的取值集合为. 故答案为： 【变式3-2】若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 【变式3-3】已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 题型四 两个集合相等 【例4】设，集合，则 ． 【答案】0 【分析】由题意可得，，则，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】由题意知，因为， 所以，则， 所以．故． 故答案为：0 【变式4-1】已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【详解】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 【变式4-2】已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果. 【详解】，， 若，则，或， 解得，或，或， 经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以当时，； 当时，， 故选：C. 【变式4-3】已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可. 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 题型五 列举法与描述法 【例5】已知集合，求（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出集合A与集合B，再求交集运算即可. 【详解】或， 则. 故选：D. 【变式5-1】已知集合且，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据，判断的值可能为即可. 【详解】因，，故的值可能为， 故，集合有4个元素. 故选：C 【变式5-2】已知，则集合的真子集的个数是 . 【答案】 【分析】利用列举法表示集合，确定集合的元素个数，即可得出集合的真子集的个数. 【详解】当时，，则，若使得，则， 所以，即集合的元素个数为， 因此集合的真子集个数为. 故答案为：. 【变式5-3】集合，则的真子集个数为 个． 【答案】 【分析】根据整除且，可逐个求出，进而求出集合A的真子集个数. 【详解】解：因为，所以，又因为，即整除， 所以，，， 所以，，， 故集合， 所以集合的真子集个数为个． 故答案为：. 题型六 子集（真子集）个数问题 【例6】集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】A 【分析】由题可解集合，再利用子集个数求解公式可求. 【详解】因为， 所以则的子集有个， 故选：A. 【变式6-1】已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出集合A，再结合并集的定义，即可求解． 【详解】由题意有， 因为，所以，则满足条件的集合B为，，共2个． 故选：B. 【变式6-2】已知集合，则的子集的个数是（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】首先解不等式化简集合，再根据含有个元素的集合有个子集计算可得. 【详解】由，解得， 所以， 所以的子集有个. 故选：B 【变式6-3】集合，，则符合的集合B的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件可得集合是集合的真子集与集合的并集，进而求出集合个数. 【详解】由集合，， 由题意可知集合是集合的真子集与集合的并集，而的真子集个数为， 所以集合B的个数为7. 故选：B 题型七 根据集合的包含关系求参数 【例7】已知集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）解不等式求得集合，根据，可求得的取值范围； （2）分和两种情况解不等式求得集合，利用，可求得的取值范围. 【详解】（1）； ． 由，．故的取值范围为． （2）当时，则，又，所以． 当时，则，又，所以， 综上所述：的取值范围为． 【变式7-1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 【变式7-2】已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 【变式7-3】设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过解一元二次不等式化简集合，结合包含关系即可求解参数范围. 【详解】因为，且, 所以. 故选：D. 【变式7-4】设全集为，集合，. (1)求集合、； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解不等式可得集合，利用分式不等式的解法可得集合； （2）利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由得，解得，则， 由可得，等价于， 解得，则. （2）因为，则，解得，因此，实数的取值范围是. 【变式7-5】已知集合， ， ． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集运算求解； （2）根据子集关系列式运算得解. 【详解】（1）， ． （2）因为成立，． 由得，解得. 所以实数的取值范围为. 题型八 集合的综合运算 【例8】 【变式8-1】 【变式8-2】 【变式8-3】 【例8】集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 【变式8-1】已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入验证，再由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，又，，，， 所以，故A正确. 故选：A. 【变式8-2】已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【变式8-3】设全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集以及并集的计算，可得答案. 【详解】有题意可得，则. 故选：C. 题型九 根据集合运算结果求参数 【例9-1】已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用集合的交补运算求集合； （2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，或， 则，； （2）由，且，则， 当时，，即； 当时，，即； 所以. 【例9-2】设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，求出集合，解不等式化简集合，再根据补集和交集的定义即可求出； （2）根据，可得，对集合是否为空集分类讨论，得到关于a的不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，，由得或 所以或则 所以 （2）由得 ①若，则，解得 ②若，则或，解得或 综上，实数的取值范围是 【变式9-1】已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 【变式9-2】已知集合或，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式（组），综合可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，或， 故. （2）因为， 当时，， 解得，满足； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 【变式9-3】记不等式的解集为，不等式的解集为. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再由并集运算可得结果； （2）由补集运算可知，再根据交集结果可得的取值范围. 【详解】（1）易知不等式的解集为， 不等式的解集为或； 当时可得， 因此或； （2）由（1）可知； 若，可知需满足即可. 所以实数的取值范围为. 题型十 判断充分性与必要性 【例10】“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 【变式10-1】已知，则p是q的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解分式不等式求得，解绝对值不等式求得，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，则，可得， 由，则， 所以p是q的充分不必要条件. 故选：B 【变式10-2】设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【变式10-3】若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件. 【答案】B 【分析】当时，解不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由得，解得或，因为，故， 因为是的真子集，故当时，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型十一 根据充分必要性求参数 【例11】已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)当时，求出集合利用补集和交集的运算可求得集合； (2)由必要不充分条件的定义可知且，再利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，即， 所以集合. 又全集，所以， 当时，集合， 所以. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且. 所以或，解得. 故实数的取值范围为. 【变式11-1】设全集为实数集，集合， (1)当时，求； (2)若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得； （2）依题意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由可得，解得， 所以， 当时，， 所以； （2）由（1）知，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得． 【变式11-2】已知集合，非空集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件化简集合和，再求交集即可. （2）根据已知可得是的子集，列不等式组进而求解. 【详解】（1）解不等式，得，即， 当时，集合，显然， 所以. （2）由是的充分条件，得， 则，解得，因此 所以的取值范围为. 题型十二“是”字正序与“的”字倒序对比 【例12-1】（多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 【例12-2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】解不等式，根据必要不充分条件的定义可得出集合的包含关系，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由得，解得， 因为“”是“”的必要不充分条件， 则是的真子集，故，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式12-1】使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出不等式，求出解集，根据充分不要条件与集合之间的对应关系，判断各选项正误. 【详解】已知，化简得或， 解得， 则使不等式成立的一个充分不必要条件是的真子集， 则只有符合题意. 故选：D. 【变式12-2】“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 【变式12-3】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求． 【详解】由可得，即， 由可得， 即， 又因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或，解得， 故答案为：． 题型十三 全称量词命题与存在量词命题的否定 【例13】命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为存在量词命题，则原命题的否定为. 故选：C 【变式13-1】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定方法求解即可. 【详解】先改写量词，再改写结论， 得“，”的否定是“，”． 故选：A 【变式13-2】已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可解. 【详解】因为命题， 所以：. 故选：B. 【变式13-3】命题“”的否定是 . 【答案】 【分析】根据全称量词命题的否定为命题易知. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题“”的否定是. 故答案为： 题型十四 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【例14】使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是 . 【答案】（只需满足即可）. 【分析】根据命题“对任意，”为真命题，结合参变量分离法可求出的取值范围，再结合补集思想可得出结果. 【详解】命题“对任意，”为真命题， 则对任意的恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立， 故，解得， 所以，要使得命题“对任意，”为假命题，则. 故答案为：（只需满足即可）. 【变式14-1】若“，”是真命题，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将真命题转化为恒成立问题，结合基本不等式得出参数的最大值即可. 【详解】因为“，”是真命题， 所以恒成立， 所以， 因为，当且仅当时，的最小值为， 所以， 所以实数的最大值为. 故选：C. 【变式14-2】若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为求出的最大值即可. 【详解】因为命题为真命题， 所以在上恒成立， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式14-3】已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，恒成立，进而结合二次函数的单调性分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，，恒成立， 令函数，则在区间内，， 由于在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若，则，解得，与矛盾； 若，则，解得，则； 若，则，解得，则． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 基础巩固通关测 1．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意该命题的否定是真命题，由此求出的取值范围，再找出它的一个充分不必要条件即可. 【详解】命题“”为假命题，即命题“”为真命题. 所以，， 因为在是单调减函数，所以，所以. 因为是的真子集，而其他选项对应的集合都不是的真子集， 故B正确，A， C， D均错误. 故选：B. 2．命题，命题，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解分式不等式有，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，而， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A 3．若集合非空，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合非空问题转化为一元二次不等式有解问题，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为集合非空， 所以在上有解， 则在上有解，令， 由二次函数性质得在上单调递减， 可得，即，故D正确. 故选：D 4．已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，求出集合，再利用并集运算求出，得解. 【详解】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 5．已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 6．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 7．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集与补集的概念，可得答案. 【详解】由，则，由，且，则，所以． 故选：D. 8．已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】先分析集合中元素的特点，得出，逐个选项判断即可求解. 【详解】由可得： 则， 所以， 则，，，. 故选：D. 9．（多选）关于集合的性质以下哪些是正确的（　　） A．若，则 B．若，则和互为补集 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合间的关系及集合的运算逐项判断即可求解. 【详解】若，则，故选项A正确； 若，则，可能互为补集，也可能不互为补集，故选项B错误； 因为是由集合，的公共元素构成，所以，故选项C正确； 根据并集的知识可知，故选项D正确. 故选：ACD. 10 （多选）设，下列选项正确的是（   ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D. 【详解】因为， 所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故C错误； 对D，当时，，满足， 当时，，当时，，即， 当时，，当时，，即， 综上，，故D错误. 故选：AB 11．设，，则是的 条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】先化简，根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】因为或，， 所以由不能推出，而由可以推出， 故是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 12．命题“”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】①当时，恒成立，满足条件， ②当时，，解得， 综上，． 故答案为： 13．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 14．已知，非空集合．若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】． 【分析】根据题意得出是的真子集，且不为空集，再根据包含关系列出不等式求解即可. 【详解】由是的必要不充分条件，知， 或 解得或， ， 故m的取值范围是． 15．已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算的定义即可求解， （2）分类讨论求解集合，即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，， 故， 由于，故， （2）当时，， 当时，， 若，则需满足或，解得 故 16．已知集合. (1)用区间表示集合； (2)若，求a，b的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解分式不等式确定集合； （2）分，和确定集合，再由，所以，确定a，b的取值范围. 【详解】（1）由，有，解得或， 所以. （2）因为，所以， 不等式可化为. 时，则，解得但不满足，舍去， 时，因为但，不满足，舍去， 时，解得或， 因为，所以解得， 所以. 能力提升进阶练 1．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（   ） A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集 B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集 C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集 D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集 【答案】B 【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意a，是的子集； 再由，，求得，，即可判断与的关系. 【详解】对于集合，， 可得当即可得， 即有，可得对任意a，是的子集； 当时，， 可得是的子集； 当时，， 可得不是的子集； 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集. 故选：B 2．已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 3．已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项. 【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素， 故且，则， 解得且. 故选：C. 4．若正整数，的最大公约数为1，则称，互质.对于正整数，函数表示不大于的正整数中与互质的数的个数，例如：，.已知，均为大于11的正整数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用给定函数的定义得到，，，再否定充分性和必要性即可. 【详解】在这12个数中，与12互质的数为，则， 在这13个数中，与13互质的数为，则， 在这12个数中，与14互质的数为，则， 即“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：D 5．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可． 【详解】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 故答案为： 6．若集合的两个非空子集满足，则称为集合的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则共有互斥子集 组. 【答案】25 【分析】由新定义，通过讨论元素个数，再结合非空子集个数即可求解. 【详解】若有1个元素，这样的集合有4种情况，此时每种情况对应的为其他3个元素的非空子集，这样的有个； 若有2个元素，这样的集合有6种情况，此时每种情况对应的为其他2个元素的非空子集，这样的有个； 若有3个元素，这样的集合有3种情况，此时每种情况对应的为其他1个元素的非空子集，这样的有个. 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：25 7．设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的 ． 【答案】化学，地理，历史； 【分析】由题意符合条件的需满足与中的相同元素要一样多，与的相同元素少于与中的相同元素，写出即可. 【详解】由，可知元素越多，越少，故越大， 由，可得则与中的相同元素要一样多， 且与的相同元素少于与中的相同元素即可满足题意. 如化学，地理，历史可满足题意. 故答案为：化学，地理，历史. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，重点在于理解定义，得到需满足的条件. 8．对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1)不是“可分集合”，理由见解析； (2)是“可分集合”，理由见解析. 【分析】（1）根据可“可分集合”的定义，当去掉2时，即可判断， （2）根据可“可分集合”的定义，即可逐一论证去掉任何一个元素均满足 “可分集合”的定义求解. 【详解】（1）集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． （2）集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 9．已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P. (1)检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N； (2)对任意具有性质 P 的集合S，证明： (3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论. 【答案】(1)集合不具有性质 P， 具有性质 P，，. (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用性质的定义判断出具有性质的集合，利用集合，的定义写出，. （2）据具有性质的集合满足，总有，得到得到；当时，，求出中的元素个数. （3）当时，根据定义可得中元素的个数不多于中元素的个数，即，当时，根据定义可得中元素的个数不多于中元素的个数，即.，进而可得结论 【详解】（1）因为时，且，所以集合不具有性质. 因为时，，总有， 所以集合具有性质，其相应的集合和是 ，. （2）首先，由中元素构成的有序数对共有个. 因为，所以； 又因为当时，， 所以当时，. 从而，集合中元素的个数最多为， 即. （3），证明如下： 当时，根据定义， ，，且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立. 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 当时，根据定义，，， 且，从而. 如果与是的不同元素， 那么与中至少有一个不成立， 从而与中也至少有一个不成立， 故与也是的不同元素. 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 综上可知，. 10．已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”. (1)若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明） (2)若是“积和集合”，写出的所有可能取值： (3)若，判断是否为“积和集合”，并说明理由. 【答案】(1)是； (2) (3)不是，理由见解析. 【分析】（1）由题意可完成判断；（2）由题可得，然后分类讨论的可能情况，结合题意可得答案；（3）设集合A中全体元素乘积为，全体元素和为，由题可得，，.然后分别判断是否存在为2,3,4,5,6,7,8,9的集合A，可完成判断. 【详解】（1）注意到，则取，满足题意. 则是 “积和集合”； （2）由题可得，若，则，符合； 若，则，不满足集合互异性，排除； 若，则，符合； 若，则，符合； 若，则，不为整数，不满足题意，排除； 若，则，不为整数，不满足题意，排除； 综上，的所有可能取值为； （3）设，集合A中全体元素乘积为，全体元素和为. 假设为“积和集合”，则，. 因，则. 注意到，则. 若，则，这与题意不符，则， 故，. 若，设，则. 注意到均为奇数，则为偶数，则为偶数，这与矛盾，则不存在满足的集合A； 若，设. 若，设，则， 注意到，则可为. 则为，均不满足题意； 若，则，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 类似以上分析，可得当时，均不合题意. 综上可得，不是“积和集合 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$