精品解析：湖北省咸宁市通城县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2025年春季期末教学质量监测 八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷分试题卷（共6页）和答题卷；全卷24小题，满分120分；考试时间120分钟． 2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置，同时认真阅读答题卷上的注意事项．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效． 试题卷 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ） A. 金额 B. 单价 C. 数量 D. 金额和数量 3. 用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），则的值是（　　） A. 5 B. 7 C. 2 D. 12 4. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，假命题是( ) A. 两组对边平行的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 6. 在平面直角坐标系中，点在直线上，则值为（ ）． A. B. 9 C. 6 D. 7. 某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表，依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（ ） 书名 《西游记》 《水浒传》 《三国演义》 《红楼梦》 销量 180 120 125 85 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 9. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 2025 10 关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，y值随着x的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则，； ④当时，无论a取何值，直线一定过定点． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上） 11. 在函数中，自变量x的取值范围为_________ 12. 某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中2人每人采集到6件，4人每人采集到3件，5人每人采集到4件，则这个兴趣小组平均每人采集标本的件数是___________件． 13. 已知点和点是直线上的两个点，则m，n的大小关系为m_________n．（填“”、“”或“”） 14. 如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米． 15. 如图①，在矩形中，E为边上一点．现有点P以的速度沿运动，到达点E停止．的面积y（单位：）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则的值为________，当点P运动的时间t为________s时为直角三角形． 三、专心解一解（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 化简：． 17. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动． 项目主题 测量隧道的长度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量示意图 数据说明 ，米，米 特别说明 测量过程中注意保障人身安全！ 请你根据以上测量结果，计算隧道的长度． 18. 已知与成正比例，且时， （1）求y与x的函数表达式； （2）点在该函数图象上，求点M的坐标． 19. 如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足条件：________，四边形是矩形； 当与满足条件：________，四边形是菱形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． （1）求和值； （2）不等式的解集为________； （3）设一次函数的图象与轴交于点，将一次函数的图象向右平移个单位长度，交的图象于点，交轴于点，四边形的面积为________． 21. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计： 七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87 八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________； A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 22. 某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． （1）求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ （2）结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 23. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． （1）如图1，在四边形中，，，对角线平分．判断四边形是否是邻等四边形，并证明你的结论； （2）如图2，在的方格纸中，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． （3）如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，，求四边形的面积． 24. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E． （1）求证：； （2）点M是线段DE上的一个动点． ①是否存在点M使得和最小，若存在，请作图找出点M；若不存在，请说明理由； ②请探究：在x轴上方平面内的是否存在点N，使得以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期末教学质量监测 八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷分试题卷（共6页）和答题卷；全卷24小题，满分120分；考试时间120分钟． 2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置，同时认真阅读答题卷上的注意事项．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效． 试题卷 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定，根据最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数；被开方数不含分母，由这两条逐项判定即可得到答案，熟记最简二次根式的要求是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ） A. 金额 B. 单价 C. 数量 D. 金额和数量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量．根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量即可求解． 【详解】解：在金额、数量和单价中，金额和数量是变量，单价是常量． 故选：D． 3. 用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），则的值是（　　） A. 5 B. 7 C. 2 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对边相等即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，用长分别为的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等是解题的关键． 4. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴墨迹覆盖了的运算符号是：． 故选：D． 5. 下列命题中，假命题是( ) A. 两组对边平行的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项判断即可. 【详解】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，本选项正确； B、三个角是直角的四边形是矩形，本选项正确； C、四条边相等的四边形是菱形，本选项正确； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项为假命题； 故选D. 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，掌握判定定理是解题的关键. 6. 在平面直角坐标系中，点在直线上，则的值为（ ）． A. B. 9 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上的点，由点在直线上，可得，将其代入所求代数式中，通过化简计算即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴ 将代入，得 故选A． 7. 某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表，依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（ ） 书名 《西游记》 《水浒传》 《三国演义》 《红楼梦》 销量 180 120 125 85 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一 组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货销的最多，故值得关注的是众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数． 故选：B． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 8. 如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，解题的关键是掌握以上知识点． 根据菱形的性质得出，，，然后证明出是等边三角形，得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵E为的中点， ∴． 故选：C． 9. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，找到规律即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， 生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为， 故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是， 故选D． 10. 关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，y的值随着x的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则，； ④当时，无论a取何值，直线一定过定点． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，包括增减性、图象所过象限、平移规律及定点问题，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】①当时，，故随增大而增大，正确． ②当且时，，故图象经过第一、二、三象限，正确． ③原函数向下平移2个单位后为，与对比得，，解得，，正确． ④当时，函数为，变形为．令，则，无论取何值，直线必过定点，正确． 故选A． 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上） 11. 在函数中，自变量x的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围以及二次根式有意义的条件，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中2人每人采集到6件，4人每人采集到3件，5人每人采集到4件，则这个兴趣小组平均每人采集标本的件数是___________件． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平均数的计算方法，解题的关键是熟练掌握平均数的相关知识．根据平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：平均每人采集标本的件数为：（件）， 故答案为：． 13. 已知点和点是直线上的两个点，则m，n的大小关系为m_________n．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据一次项系数的正负判断函数图象的增减性，即可求解． 【详解】解：中，一次项系数， y随x的增大而增大， ，点，， ， 故答案为：． 14. 如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米． 【答案】1.5## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），     故答案为：1.5． 15. 如图①，在矩形中，E为边上一点．现有点P以的速度沿运动，到达点E停止．的面积y（单位：）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则的值为________，当点P运动的时间t为________s时为直角三角形． 【答案】 ①. 8 ②. 2或12 【解析】 【分析】由图①②的关联信息可知，当点P从点A运动到点B的运动时间为，即可求得第一空答案； 当点P运动到点B处，由求得，当点P运动到点C处，由求得， （1）当时，根据矩形的判定与性质，即可求得t的值； （2）当时，分点P在和上两种情况讨论，根据勾股定理分别列方程求解，即得t的值． 【详解】解：由图①②可知，当点P从点A运动到点B的运动距离为； 故答案为：8； 当点P运动到点B处，， ， 解得， 当点P运动到点C处，， ， 解得， （1）当时， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ； （2）当时，分两种情况： ①若点P在上，则，， 过点P作于点M， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， 在中，， ， 解得， ， 舍去； ②若点P在上，则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得； 当点P运动的时间t为或时为直角三角形． 故答案为：2或12． 【点睛】本题考查了利用函数图象解题，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理列方程解题是关键． 三、专心解一解（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 化简：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，混合运算，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 先计算除法，平方并化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 17. 为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动． 项目主题 测量隧道的长度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量示意图 数据说明 ，米，米 特别说明 测量过程中注意保障人身安全！ 请你根据以上测量结果，计算隧道的长度． 【答案】720米 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 根据题意证明为直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为直角三角形． 米，米， （米）． 即隧道的长度为720米． 18. 已知与成正比例，且时， （1）求y与x的函数表达式； （2）点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）点M的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【小问1详解】 设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； 【小问2详解】 ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 19. 如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足条件：________，四边形是矩形； 当与满足条件：________，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形和菱形的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，再由线段中点的定义可得，据此可证明结论； （2）当时，由三线合一定理得到，则四边形是矩形；当时，由直角三角形的性质可得，则平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别为和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形，证明如下： ∵，点M为的中点， ∴， ∴平行四边形是矩形； 当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，点M为的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． （1）求和的值； （2）不等式的解集为________； （3）设一次函数的图象与轴交于点，将一次函数的图象向右平移个单位长度，交的图象于点，交轴于点，四边形的面积为________． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式、一次函数图象的平移． （1）因为正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为，把点的坐标代入正比例函数，可以求出，从而可得点的坐标是，把点的坐标代入，即可求出的值； （2）由（1）可知，从而可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （3）首先求出直线与轴的交点的坐标为，根据平移的方向和距离可知点的坐标为，从而求出直线的解析式，解方程组求出点的坐标，再根据即可求出结果． 【小问1详解】 解：把点代入， 可得：， 点的坐标为， 把点坐标为的坐标代入， 可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：由（1）可知一次函数的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 把一次函数向右平移了个单位长度， 平移后的函数解析式经过点， ， 设平移后的函数解析式是， 可得：， 解得：， 平移后的函数解析式是， 解方程组， 解得：， 点的坐标是， ，， ， 故答案为：. 21. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计： 七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87 八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________； A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）90，87，七 （2）220人 （3）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的成绩中90分的最多有2人，所以众数， 把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：75， 76， 78，79，87，87，87，88，90，93，根据中位数的定义可知中位数； 由于A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85，八年级中位数为87，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 小问3详解】 解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 22. 某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． （1）求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ （2）结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】（1）电子白板单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【小问1详解】 解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； 【小问2详解】 由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 23. 定义：有两个相邻内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． （1）如图1，在四边形中，，，对角线平分．判断四边形是否是邻等四边形，并证明你的结论； （2）如图2，在的方格纸中，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． （3）如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形为邻等四边形，证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定等等，正确理解新定义是解题的关键． （1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点D；②，结合图形再确定满足的格点D； （3）先证明，再由新定义得到；过点D作于F，则四边形是矩形，可得，设，则，由勾股定理得，解方程得到，证明四边形是平行四边形，得到，则，据此根据梯形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为邻等四边形，证明如下： ∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． 【小问2详解】 解：如图所示，，，即为所求； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是邻等四边形，为邻等角， ∴； 如图所示，过点D作于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E． （1）求证：； （2）点M是线段DE上的一个动点． ①是否存在点M使得的和最小，若存在，请作图找出点M；若不存在，请说明理由； ②请探究：在x轴上方平面内的是否存在点N，使得以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）存在，作图见解析；或． 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得轴，轴，再根据一次函数的图象与性质求出点D和点E的坐标，进而即可求得答案． （2）①作点C关于对称的点，连接，交于点M，连接，此时的值最小； ②分两种情况讨论：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边分别交于点D、E，点B的坐标为， 当时，，即， 当时，，即， ， ； 【小问2详解】 存在，作图如下： 作点C关于对称的点，连接，交于点M，连接，此时的值最小， 如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，M和N关于对称， ， 点M和N的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，过点M作轴于点G， 设点M的横坐标为a，则纵坐标为， ， ， 即， 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点； 综上所述，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质，正确根据菱形的性质进行分类讨论求得M的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$