以函数性质导数为背景的多选题 专项训练-2026届高考题型破局系列之小题狂练

多选题专练8  以函数性质导数为背景的多选题 一．多选题. 【已知函数的定义域求参数  2025黑龙江牡丹江·期中】 1．已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得：，即时，恒成立，符合题意； 时，的定义域是，只需， 解得：，综上所述：. 故选：BCD 【根据函数值域求参数  2025黑龙江齐齐哈尔·期中】 2．若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则； 综上，． 故选：BCD 【函数的定义域、值域  2025陕西西安·期末】 3．下列说法错误的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 【答案】BD 【分析】利用抽象函数的定义域求解判断A；分离常数法求解值域判断B；换元后利用二次函数值域求法判断C；利用二次函数性质求出值域判断D. 【详解】对于A、在函数中，，于是在函数中，， 解得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B、，因为，所以的值域为， 故B错误； 对于C、令，则，， 因为，所以，所以函数的值域为，故C正确； 对于D、，开口向上，对称轴为， 因为，， 所以函数在上的值域为，故D错误． 故选：BD 【根据函数的值域求定义域  2025江西景德镇·期中】 4．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值； 当时，区间的长度取最大值. 所以，区间的长度的取值范围是. 故选：BC. 【求曲线切线的斜率（倾斜角）2025四川巴中·阶段练习】 5．点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求导，得到曲线在点处切线的斜率大于等于，结合的范围，得到答案. 【详解】因为， 所以，设切点的坐标为，则， 则曲线在点处切线的斜率为， 所以，又，切线斜率存在，故， 则. 故选：ABD. 【导数的几何意义  2025江苏徐州市·期中】 6．直线可以作为下列函数图象的切线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数的几何意义，判断选项中的导数是否有解，即可判断选项. 【详解】因为的斜率为1，根据导数的几何意义，判断选项中的导数值能否为1. A.，无解，故A不正确； B.，解得：，故B正确； C.，即，，无解，故C不正确； D.，解得：，故D正确. 故选：BD 【函数周期性的应用  2025福建厦门·阶段练习】 7．对于，满足，，且对于任意，恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】抽象函数，对于ACD选项采用赋值法求解，B选项倒序相加即可； 【详解】A选项：因为，所以取得，，A选项正确； B选项：令，则， 两式相加得， 解得，B选项错误； C选项：因为，所以取得，，由， 取得，，解得， 因为，所以，，，，，C选项正确； D选项：因为，，且， 所以，即，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数，赋值法是基本，针对选项进行赋值即可. 【抽象函数问题  2025江苏南通·开学考试】 8．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法，分别求出，，然后令，求出，最后得到函数解析式求解即可，对于选项D，需要用分析法判断的大小关系即可. 【详解】选项A：令，得， 因为，所以，所以选项A正确； 令，得，因为，所以； 令，得，所以， 选项B：所以，故选项B正确； 选项C：，显然不为奇函数，故选项C错误； 选项D： 因为，显然单调递增， 要证明， 即证， 而； 构造函数， 得， 显然当时，，单调递减， 所以，即，即选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：赋值法，常用的赋值有等；对于的判断，常用方法是分析法，在此过程中需要取对数，然后构造函数，利用函数的单调性求解即可. 【利用导数研究能成立问题  2025安徽铜陵·阶段练习】 9．若关于的不等式有实数解，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AB 【分析】依题意可得关于的不等式有实数解，令，，则问题转化为有实数解，只需，利用导数求出，由二次函数的性质求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】关于的不等式有实数解， 等价于关于的不等式有实数解， 令，， 则问题转化为有实数解， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，所以当时， 要使不等式有实数解，则，即， 结合选项可知只有A、B符合题意. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为关于的不等式有实数解，只需满足. 【分段函数性质  2025四川成都·阶段练习】 10．设，函数，则（   ） A．函数的最小值是0 B．函数的最大值是2 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】BCD 【分析】化简函数的表达式，再分析其性质，逐项判断作答. 【详解】令函数，，显然，在上单调递增， 而，当时，，即， 则有， 当时，在上单调递增，，其值域为， 当时，在上单调递减，，其值域为， 因此函数的值域是，A不正确；B，C，D都正确. 故选：BCD 【比较函数值的大小  2025山东潍坊·期中】 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用单调性比较大小对选项逐一分析即可. 【详解】对于：函数为增函数，且当时，， 因为，所以，且，故正确； 对于：因为，所以， 当时，函数为增函数， 所以， 当时，函数为减函数， 所以，故错误； 对于：在上单调递增，又， 所以，所以，故正确； 对于：， 在上单调递减，当时， ，即，故错误. 故选：. 【函数不等式恒成立问题  2025浙江温州·期中】 12．定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，一步步转化到时，， 则，作函数的图象，结合图象可求出的最大值. 【详解】由题意可知，如图所示 当时，， 即； 当时，， 故； 当时，， 故； 令， 解得或， 所以或， 所以的最大值为. 即. 故选：ABC.    【函数对称性的应用  2025河南郑州·二模】 13．已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 【答案】ABD 【分析】由中令可得A正确；由可得B正确；由可得C错误；换元法求出可得D正确. 【详解】对于A，由可得； 对于B，由可得，即， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误； 对于D，由中令可得， 设，① 又，② 由①②可得， 所以，即， 所以，所以 所以，故D正确； 故选：ABD 【导数实际应用  2025甘肃庆阳·阶段练习】 14．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法中正确的有（    ）    A．冰块最大体积为 B．冰块的最大体积为 C．冰块体积达到最大时，冰块的高度为 D．冰块体积达到最大时，冰块的高度为 【答案】BC 【分析】求出该圆锥的轴截面三角形的边长，设圆柱的底面半径为r，高为h，建立出体积的函数，利用导数求出最大值． 【详解】由圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形，可算出该三角形直角边长为，斜边长为，如图所示，    即圆锥母线长，高和底面半径， 设冰块的底面半径为，高为， 由，冰块体积要最大，此时冰块的高度， 故圆柱的体积为，其中；则有， ，解得；，解得， 则在区间单调递增，在区间单调递减， 所以当时，冰块的体积最大，最大值为，此时冰块高度. 故选：BC. 【函数基本性质的综合应用  2025江西南昌·模拟预测】 15．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由为奇函数与为偶函数，得到函数的对称性与周期性，先由特值待定，再根据性质求值即可， CD选项结合周期特点进行数列求和，使用并项求和法. 【详解】由为奇函数， 得关于对称，且满足； 由为偶函数， 得关于直线对称，且满足. 故， 所以是周期函数，且周期. 对选项A，由， 令，解得，故A错误； 对选项B，已知当时，， 则， 故当时，. 则，故B错误； 对选项C，，， ，，且周期. 则，故C正确． 对选项D， ，故D正确． 故选：CD． 【求函数的单调区间  2025江苏苏州·阶段练习】 16．若函数在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且在区间I上也是单调增函数，则称是I上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对和分别求导，结合选项，判断导数正负可得答案. 【详解】，， ，， 当时，，函数在单调递增； 由， 令，则， 此时，、恒成立，， 也即在单调递减，，则函数在单调递增， 又有是的子集，故A、B满足. 当时，，，在时，，在时，， 可能大于，也可能小于，故C不满足. 当时，，函数在单调递增， ，函数在单调递增，故D满足. 故选：ABD. 【由函数的单调区间求参数  2025浙江衢州市·期中】 17．已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解. 【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则， 即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根， 令，则，故当 单调递增， 当 单调递减，且 即， 故选：BD 【根据极值求参数  2025四川凉山·期中】 18．若函数有两个极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】借助导数计算，结合题意可得有两个变号正零点，设出两个零点，利用二次函数的性质与韦达定理计算即可得解. 【详解】，令，， 由函数有两个极值，则有两个变号正零点， 设这两个变号正零点分别为，且， 则，且有，，， 即可得，且. 故选：ACD. 【函数（导函数）图像与极值点  2025云南昆明·阶段测试】 19．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】AB 【分析】根据导函数的图象求出函数的极大值和极小值点即可. 【详解】由图象可知，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 且，，， 所以和是函数的极小值点，是函数的极大值点. 故选：AB． 【由导数求函数的最值  2025福建厦门·期中】 20．已知函数，则函数在上的最小值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用导函数对进行分类讨论即可求出结果. 【详解】， 因为，所以， 当时，，， 所以，在单调递增， ； 当时，， 单调递减， 单调递增， ； 当时，，， 所以，在单调递减， ， 故选：ABC. 【函数对称性的应用  2025河南焦作·期末】 21．已知定义在上的函数和满足，则（    ） A．若为奇函数，则的图象关于点对称 B．若为偶函数，则的图象关于直线对称 C．若为偶函数，则的图象关于直线对称 D．若为奇函数，则 【答案】AB 【分析】应用函数的奇偶性结合已知等式计算求解对称中心及对称轴判断A，B，C，再根据倒序相加计算求解判断D. 【详解】选项A：因为为奇函数，所以，所以， 所以，因此的图象关于点对称，故A正确； 选项B：因为为偶函数，所以，所以， 所以，因此的图象关于直线对称，故B正确； 选项C：由可得，所以， 因为为偶函数，所以，所以， 所以，所以的图象关于直线对称，无法得到其他对称轴，故C不正确； 选项D：由选项C知与同时成立， 因为为奇函数，所以，所以， 所以，因此， 设， 则， 所以， 所以，故D不正确． 故选：AB. 【函数单调性、极值与最值的综合应用  2025山东青岛·阶段练习】 22．已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（   ） A． B．随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】BCD 【分析】先把函数有且只有两个极值点转化为有且只有两不等实根，进而得出有两个根，再构造函数应用导函数得出函数的单调性进而分别判断各个选项. 【详解】由函数有且只有两个极值点，得导函数有且只有两个不同变号零点，函数的定义域为， 令，可得，因为函数有两个零点，即有两个根， 设，此时直线与函数的图象有两个交点，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减， 所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值， 当时，；当时，，当时，， 因为直线与函数的图象有两个交点，所以，故A错误； 因为函数有两个零点，此时， 当增大趋近于时，随之增大，趋近于1，而随之减小，也趋近于1， 则减小，所以随的增大而减小，故B正确； 由，可得，，两式相减得 设，则，，，所以. 令，对其求导得. 设，对其求导得， 所以在上单调递增，，即，所以在上单调递增. 因为随的增大而增加，而B选项知道随的增大而减小， 则根据复合函数单调性,知道随的增大而减小成立，故C正确； 因为，所以①， 不妨令，则②，联立①②，解得， 所以，不妨设，函数定义域为， 可得，不妨设， 函数定义域为，可得，在，函数定义域为，可得， 所以函数在上单调递减，此时，即函数在上单调递减，此时，即， 所以函数在上单调递减，则随着的增大而减小，知随着的增大而减小，所以随着的增大而增大，故D正确. 故选：BCD. 【利用导数研究方程的根  2025湖南娄底·期末】 23．已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不动点集的定义，根据方程的三个根化简列出等式，求解即可判断A和B；再设，对其求导，求出单调性得出m取值范围，再根据题意即可求出的范围，判断C和D即可. 【详解】因为在R上的不动点集为， 所以， 即方程在R上存在3个实数根，，， 所以 ， 从而，所以A正确，B错误； 令，则， 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则，解得. 因为， 所以C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（或方程的根）的问题的方法 （1）直接法，对函数求导，求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质结合零点存在定理求解： （2）构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题． 【利用导数研究双变量问题  2025山东菏泽市期末测试】 24．若实数，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将原不等式转化为，进一步转化为，构造并讨论的单调性与最值即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以，所以， 令，， 则，即， 所以， 令，则， 令，得；令，得， 所以在单调递增，单调递减， 则， 要使成立，即， 则当且仅当， 所以解得， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 【函数图象的应用  2025广西桂林·开学考试】 25．已知函数则关于x的方程（为常数，且）的实数解的个数可能为（    ） A．4 B．1 C．8 D．7 【答案】ABD 【分析】先做出函数的大致图象，设，则，先根据的跟的个数及根的范围分类，再迭代求的个数即可. 【详解】画出函数的大致图象，如图所示， 设，则可化为， 如图，，， 当时，有1个根，即， 此时方程有1个根； 当时，有2个根，， 时有3个根，时有1个根， 此时方程有4个根； 当时，有3个根，，， 当时有3个根，当时有3个根，当时有1个根， 此时方程有7个根； 当时，有3个根，，，， 当时有3个根，当时有2个根，当时有1个根， 此时方程有6个根. 当时，有3个根，，， 当时有3个根，当时有1个根，当时有1个根， 此时方程有5个根； 当时，有3个根，，， 当时有0个根，当时有1个根，当时有1个根， 此时方程有2个根； 当时，有1个根，， 当时有1个根，此时方程有1个根； 当时，有0个根，此时方程有0个根； 故方程的实数解的个数可能为0或1或2或4或5或6或7， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考虑的图象的特殊点，设，则，根据根的个数和范围分类即可. 试题特点分析：以函数性质导数为背景的多选题常将多个知识点融合在一起.函数性质与导数综合题，要求学生在抽象函数背景下，理解函数的奇偶性、对称性、导数等概念以及它们之间的联系，考查了学生对多个数学核心素养，像数学抽象、直观想象、逻辑推理等的综合运用能力. 解题方法阐述：解决此类多选题往往有多种方法，体现了数学解题的灵活性.比如在处理函数零点问题时，有直接法、构造新函数法、参变量分离法等.直接法是先对函数求导，根据导数求出函数的单调区间与极值，作出函数图象，将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；构造新函数法是将问题转化为研究两函数图象的交点问题；参变量分离法是由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题. 解题经验分享：首先，在求导、判断函数单调性、求函数最值等过程中，要始终注意函数的定义域，避免因忽略定义域而导致错误.其次，可导函数在某点取得极值，则该点处导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，需要进一步判断该点两侧导数的正负情况.第三，在求参数的取值范围时，要注意端点值的取舍，避免出现取值范围不准确的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 多选题专练8  以函数性质导数为背景的多选题 一．多选题. 【已知函数的定义域求参数  2025黑龙江牡丹江·期中】 1．已知函数的定义域为，则的取值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【根据函数值域求参数  2025黑龙江齐齐哈尔·期中】 2．若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【函数的定义域、值域  2025陕西西安·期末】 3．下列说法错误的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 【根据函数的值域求定义域  2025江西景德镇·期中】 4．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 【求曲线切线的斜率（倾斜角）2025四川巴中·阶段练习】 5．点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【导数的几何意义  2025江苏徐州市·期中】 6．直线可以作为下列函数图象的切线的有（    ） A． B． C． D． 【函数周期性的应用  2025福建厦门·阶段练习】 7．对于，满足，，且对于任意，恒有，则（   ） A． B． C． D． 【抽象函数问题  2025江苏南通·开学考试】 8．已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【利用导数研究能成立问题  2025安徽铜陵·阶段练习】 9．若关于的不等式有实数解，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．1 【分段函数性质  2025四川成都·阶段练习】 10．设，函数，则（   ） A．函数的最小值是0 B．函数的最大值是2 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【比较函数值的大小  2025山东潍坊·期中】 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【函数不等式恒成立问题  2025浙江温州·期中】 12．定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 【函数对称性的应用  2025河南郑州·二模】 13．已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 【导数实际应用  2025甘肃庆阳·阶段练习】 14．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法中正确的有（    ）    A．冰块最大体积为 B．冰块的最大体积为 C．冰块体积达到最大时，冰块的高度为 D．冰块体积达到最大时，冰块的高度为 【函数基本性质的综合应用  2025江西南昌·模拟预测】 15．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【求函数的单调区间  2025江苏苏州·阶段练习】 16．若函数在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且在区间I上也是单调增函数，则称是I上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是（    ） A． B． C． D． 【由函数的单调区间求参数  2025浙江衢州市·期中】 17．已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【根据极值求参数  2025四川凉山·期中】 18．若函数有两个极值，则（    ） A． B． C． D． 【函数（导函数）图像与极值点  2025云南昆明·阶段测试】 19．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【由导数求函数的最值  2025福建厦门·期中】 20．已知函数，则函数在上的最小值可能为（    ） A． B． C． D． 【函数对称性的应用  2025河南焦作·期末】 21．已知定义在上的函数和满足，则（    ） A．若为奇函数，则的图象关于点对称 B．若为偶函数，则的图象关于直线对称 C．若为偶函数，则的图象关于直线对称 D．若为奇函数，则 【函数单调性、极值与最值的综合应用  2025山东青岛·阶段练习】 22．已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（   ） A． B．随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【利用导数研究方程的根  2025湖南娄底·期末】 23．已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【利用导数研究双变量问题  2025山东菏泽市期末测试】 24．若实数，满足，则（ ） A． B． C． D． 【函数图象的应用  2025广西桂林·开学考试】 25．已知函数则关于x的方程（为常数，且）的实数解的个数可能为（    ） A．4 B．1 C．8 D．7 试题特点分析：以函数性质导数为背景的多选题常将多个知识点融合在一起.函数性质与导数综合题，要求学生在抽象函数背景下，理解函数的奇偶性、对称性、导数等概念以及它们之间的联系，考查了学生对多个数学核心素养，像数学抽象、直观想象、逻辑推理等的综合运用能力. 解题方法阐述：解决此类多选题往往有多种方法，体现了数学解题的灵活性.比如在处理函数零点问题时，有直接法、构造新函数法、参变量分离法等.直接法是先对函数求导，根据导数求出函数的单调区间与极值，作出函数图象，将问题转化为函数图象与x轴的交点问题；构造新函数法是将问题转化为研究两函数图象的交点问题；参变量分离法是由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题. 解题经验分享：首先，在求导、判断函数单调性、求函数最值等过程中，要始终注意函数的定义域，避免因忽略定义域而导致错误.其次，可导函数在某点取得极值，则该点处导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，需要进一步判断该点两侧导数的正负情况.第三，在求参数的取值范围时，要注意端点值的取舍，避免出现取值范围不准确的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$