以复数运算为背景的多选题 专项训练-2026届高考题型破局系列之小题狂练

多选题专练2  以复数运算为背景的多选题 一.多选题. 【复数的分类及辨析  2025湖南株洲·期中】 1．下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 【虚数单位i及其性质  2025浙江衢州市·期末】 2．在复平面内，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若复数z满足，则z是虚数 【复数的实部与虚部  2025甘肃白银·期末】 3．已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【根据相等条件求参数  2025山东聊城·阶段练习】 4．若，则下列结论正确的是（   ） A．若为实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则 【复数的相等  2025广东肇庆·阶段练习】 5．设为复数，.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【复数的基本概念  2025陕西渭南·二模】 6．已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 【已知复数的类型求参数  2025重庆长寿·期中】 7．已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若z为纯虚数，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 【复数的坐标表示  2025四川达州·期末】 8．在复平面内，点对应的复数为z，则（    ） A． B． C． D． 【在各象限内点对应复数的特征  2025安徽阜阳市·期中】 9．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【根据复数的坐标写出对应的复数  2025湖南郴州·阶段练习】 10．如图所示，在复平面内，向量对应的复数为，则（    ） A． B． C． D． 【根据复数对应坐标的特点求参数   2025河北唐山·期中】 11．已知在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【复数的模  2025山东菏泽·模拟预测】 12．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 【由复数模求参数  2025安徽蚌埠·模拟预测】 13．已知复数（为实数），若，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【与复数模相关的轨迹（图形）问题  2025广西南宁市·模拟预测】 14．复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（    ） A．若，则点Z在圆上 B．若，则点Z在椭圆上 C．若，则点Z在双曲线上 D．若，则点Z在抛物线上 【欧拉公式  2025云南玉溪·阶段练习】 15．欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【棣莫弗定理  2025山东济南·期末】 16．任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【复数的三角表示  2025重庆江北·阶段练习】 17．已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【复数加减法几何意义  2025湖南株洲·期末】 18．（多选）表示 A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模 【复数代数形式的乘法运算  2025浙江宁波·期末】 19．已知,则（    ） A． B． C． D． 【复数范围内方程的根  2025江西南昌·开学考试】 20．已知虚数是方程的两个不同的根，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【有序复数对  2025云南玉溪·阶段练习】 21．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 【复数的除法运算  2025贵州遵义·阶段练习】 22．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【共轭复数  2025四川成都·阶段练习】 23．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【复数“大小”  2025河北沧州·一模】 24．在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为 【复数新定义  2025广东韶关市期末测试】 25．已知（，是虚数单位），，定义：，则下列结论正确的是（    ） A．对任意，都有 B．若是z的共轭复数，则恒成立 C．若，则 D．对任意，则恒成立 试题特点分析：以复数运算为背景的多选题试题具有知识点覆盖广泛、出题方式灵活多变、强调数形结合思想、考查逻辑推理能力、注重基础知识应用以及综合性强等特点.此外，一些试题还会引入新的定义或运算规则，要求学生能够准确理解并应用这些新定义来解决问题. 解题方法阐述：由于复数可以表示成代数形式、三角形式和指数形式，并且可以结合向量进行展示，因此复数运算的题目形式多种多样，解题方法也较为灵活.解题时应根据题目的具体情况选择合适的解题方法.同时熟练掌握复数的基本概念和运算法则是解题的关键. 解题经验分享：高考对复数运算的要求通常是基于基础知识的理解和应用，而不是复杂的计算技巧.因此，在备考过程中，应该注重对基本概念和基本运算的掌握，同时也要培养自己的逻辑推理能力和解题技巧. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 多选题专练2  以复数运算为背景的多选题 一.多选题. 【复数的分类及辨析  2025湖南株洲·期中】 1．下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用纯虚数的定义分析求解即可. 【详解】由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0， 而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0， 故，是纯虚数，故B，D正确. 故选：BD 【虚数单位i及其性质  2025浙江衢州市·期末】 2．在复平面内，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若复数z满足，则z是虚数 【答案】BD 【分析】利用复数的运算和性质判断ABD；虚数无法比较大小判断C. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，两个虚数不能比较大小，故C错误； 对于D，设，则，，则，解得，故是虚数，故D正确； 故选：BD 【复数的实部与虚部  2025甘肃白银·期末】 3．已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误. 【详解】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 【根据相等条件求参数  2025山东聊城·阶段练习】 4．若，则下列结论正确的是（   ） A．若为实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则 【答案】AC 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的模长公式、复数相等以及复数的乘除法运算逐个选项判断可得答案. 【详解】若为实数，则虚部为，即，故A正确； 若，则， 则，解得，故B错误； 若，则，解得， 则，，故C正确； 若在复平面内对应的点位于第一象限，则， 解得，故D错误. 故选：AC. 【复数的相等  2025广东肇庆·阶段练习】 5．设为复数，.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 【复数的基本概念  2025陕西渭南·二模】 6．已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 【答案】BCD 【分析】设，，代入进行验证． 【详解】设， 选项A，若，则，不一定是实数，A错； 选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确； 选项C，是实数，C正确； 选项D，设，则 ，D正确； 故选：BCD． 【已知复数的类型求参数  2025重庆长寿·期中】 7．已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若z为纯虚数，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 【答案】ABC 【分析】由复数的概念与复数的几何意义，复数相等的条件，计算可得结论. 【详解】对于A：若，则可得，解得，故A正确； 对于B：若z为纯虚数，则可得，解得，故B正确； 对于C：若点M在第一象限，则，解得，故C正确； 对于D：若为z的共轭复数且， 又，， 所以，解得，故D错误. 故选：ABC. 【复数的坐标表示  2025四川达州·期末】 8．在复平面内，点对应的复数为z，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意写出复数的代数形式，再利用复数模的计算公式，复数的运算法则和共轭复数的意义，对各个选项逐个判断，即可得出正确选项. 【详解】因为点对应的复数为，所以，所以，故选项A错误； 因为，所以，则，故选项B正确； 因为，故选项C正确； 因为，故选项D错误. 故选：BC. 【在各象限内点对应复数的特征  2025安徽阜阳市·期中】 9．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 【根据复数的坐标写出对应的复数  2025湖南郴州·阶段练习】 10．如图所示，在复平面内，向量对应的复数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先由复数的几何意义求得，再结合复数的相关运算逐一判断即可 【详解】对于A：由题意可得，故A正确； 对于B：，，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：ABC 【根据复数对应坐标的特点求参数   2025河北唐山·期中】 11．已知在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 结合选项可知，实数的值可以是0或1． 故选：BC． 【复数的模  2025山东菏泽·模拟预测】 12．已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】设复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 【由复数模求参数  2025安徽蚌埠·模拟预测】 13．已知复数（为实数），若，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 结合选项可知：BC正确；AD错误. 故选：BC. 【与复数模相关的轨迹（图形）问题  2025广西南宁市·模拟预测】 14．复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（    ） A．若，则点Z在圆上 B．若，则点Z在椭圆上 C．若，则点Z在双曲线上 D．若，则点Z在抛物线上 【答案】BD 【分析】利用复数对应到点的坐标，再利用动点轨迹或轨迹方程来确定答案. 【详解】表示点与之间的距离， 表示点与之间的距离，记，， 对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误； 或由，整理得，所以点在，故A错误； 对于B，由得，这符合椭圆定义，故B正确； 对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误； 对于D，若，则，整理得，点在抛物线，故D正确． 故选：BD． 【欧拉公式  2025云南玉溪·阶段练习】 15．欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 【棣莫弗定理  2025山东济南·期末】 16．任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AC 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则，逐项进行运算求解. 【详解】选项A：， 故， 又因为， 所以，选项A正确； 选项B：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以选项B错误； 选项C：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以 所以选项C正确； 选项D：当，时， 由棣莫弗定理得，， 当时， ，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数， 所以选项D错误； 故选：AC. 【复数的三角表示  2025重庆江北·阶段练习】 17．已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知可得，由复数三角形式的乘方运算，即可判断各选项的正误. 【详解】由， A：，正确； B：，错误； C：由B知：，正确； D：，错误； 故选：AC 【复数加减法几何意义  2025湖南株洲·期末】 18．（多选）表示 A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模 【答案】ACD 【解析】由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；,可表示点到原点的距离,故C说法正确；,可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确, 故选:ACD 【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模 【复数代数形式的乘法运算  2025浙江宁波·期末】 19．已知,则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用复数的乘法和加法运算就可以得到结果并作出判断. 【详解】由，所以A正确； 由，所以B，D错误； 由，所以C正确； 故选：AC. 【复数范围内方程的根  2025江西南昌·开学考试】 20．已知虚数是方程的两个不同的根，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，利用立方差公式得到为的两个根，故A正确；B选项，计算出的两个根，计算出B错误；C选项，由韦达定理得到C正确；D选项，利用模长计算出D正确. 【详解】A选项，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根， 则，A正确； B选项，的两根为， 若，， 则，B错误； C选项，由韦达定理得，C正确； D选项，由B选项，或，均有，D正确； 故选：ACD 【有序复数对  2025云南玉溪·阶段练习】 21．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用 ，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可； 【详解】对于A，；故A正确； 对于B，若，则，，.故B正确： 对于C，，而，不等．故C错误； 对于D，设，则将，代入可得： 故D正确. 故选：ABD. 【复数的除法运算  2025贵州遵义·阶段练习】 22．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 所以A正确，B错误， ，C准确， 所以，D正确. 故选：ACD 【共轭复数  2025四川成都·阶段练习】 23．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】设出，，，结合共轭复数及模长定义与复数运算法则逐项计算可判断A、B、D；举出反例可判断C. 【详解】设，，且，则，； 对A：， 所以，所以，故A正确； 对B：， ，故B正确； 对C：当时，满足，但不能得出，故C错误； 对D： ，故，故D正确. 故选：ABD. 【复数“大小”  2025河北沧州·一模】 24．在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，点到直线距离公式对选项逐一判断即可. 【详解】根据已知条件表示模长为，在复平面位于轴上方的复数， 所以并不是一个圆，A错误； 若，则方程为一个实数，所以无解，B正确； 若为虚数，且，设，则，，， 所以，C正确； 复数对应的点在直线上，则最小值为： 点到直线的距离，所以最小值为：，D 正确. 故选：BCD 【复数新定义  2025广东韶关市期末测试】 25．已知（，是虚数单位），，定义：，则下列结论正确的是（    ） A．对任意，都有 B．若是z的共轭复数，则恒成立 C．若，则 D．对任意，则恒成立 【答案】BD 【分析】利用共轭复数及复数的减法法则，结合新定义逐一计算即可求解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，则，则，故B正确； 对于C，若，则错误，如，满足 ,但，故C错误； 对于D，设，则 ，，，由，，得恒成立，故D正确． 故选：BD． 试题特点分析：以复数运算为背景的多选题试题具有知识点覆盖广泛、出题方式灵活多变、强调数形结合思想、考查逻辑推理能力、注重基础知识应用以及综合性强等特点.此外，一些试题还会引入新的定义或运算规则，要求学生能够准确理解并应用这些新定义来解决问题. 解题方法阐述：由于复数可以表示成代数形式、三角形式和指数形式，并且可以结合向量进行展示，因此复数运算的题目形式多种多样，解题方法也较为灵活.解题时应根据题目的具体情况选择合适的解题方法.同时熟练掌握复数的基本概念和运算法则是解题的关键. 解题经验分享：高考对复数运算的要求通常是基于基础知识的理解和应用，而不是复杂的计算技巧.因此，在备考过程中，应该注重对基本概念和基本运算的掌握，同时也要培养自己的逻辑推理能力和解题技巧. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$