第16章 整式的乘法（思维导图+知识点+习题精练）单元复习讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16 整式的乘法 一、知识框架 二、知识梳理 1、同底数幂的乘法 （1）运算法则：一般地，对于任意底数a与任意 m、n. （2）扩展： （m，n，p都是正整数） 【注意】 ① 底数a可以代表一个数，也可以代表一个式子； ② 指数可以是一个数，也可以代表一个式子； ③ 幂指数为1时，不要遗漏； ④ 要注意算式里的负号是属于幂的还是指数的. 2、幂的乘方 幂的乘方法则： ． （am）n＝amn（m，n是正整数） 【注意】 ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 3、积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的 ． （ab）n＝anbn（n是正整数） 【注意】 ①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用； ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 4、单项式乘单项式 运算法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的 作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【注意】 ① 单项式乘单项式的结果仍是 ； ② 系数相乘时，要注意符号； ③ 同底数幂相乘时，注意字母指数为1时，不要丢掉. 5、单项式乘多项式 （1）运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去 ，再把所得的积 ， 【注意】 ① 单项式与多项式的每一项相乘，不要漏乘， 特别是多项式最后如果有常数项的时候； ② 单项式与多项式相乘，依据的是乘法分配律. 6、 多项式乘多项式 （1）运算法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积 . 7、同底数幂相除 （1）运算法则：同底数幂相除， . （2）规定：任何不等于0的数的0次幂都 8、单项式相除 （1）运算法则：一般地，单项式相除，把 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 9、多项式除以单项式 （1）运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 . 三、题型分类 （1）同底数幂的乘法及逆运算 （2）幂的乘法和积的乘方及逆运算 （3）单项式乘以单项式 （4）单项式乘以多项式 （5）多项式乘以多项式 （6）同底数幂的除法 （7）单项式除以单项式 （8）多项式除以单项式 （9）运用完全平方公式进行计算 （10）通过对完全平方公式变形求值 （11）完全平方公式在几何图形中的应用 （12）求完全平方式中的字母系数 （13）整式的混合运算 四、分类练习 一、单选题 1．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则“？”是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．计算：（    ） A． B． C． D． 6．计算：（   ） A． B． C． D．a 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．定义运算a⊗b＝a（1﹣b），下列给出了关于这种运算的几个结论： ①2⊗（﹣2）＝6； ②2⊗3＝3⊗2； ③若a＝0，则a⊗b＝0； ④若2⊗x+x⊗＝3，则x＝﹣2． 其中正确结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．从边长为的正方形内剪掉一个边长为的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（图②）．这样操作能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 10．在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 11．若，，则的值是（   ） A．4 B．7 C．13 D．16 12．若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 13．已知实数a、b、c满足，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若且，则 二、填空题 14．计算： ． 15．计算： ． 16．若，，则 ． 17．计算： ． 18．若，则的值为 ． 19．已知，，则的值为 ． 20．若，则 ． 三、解答题 21．计算： (1) (2) 22．先化简，再求值：，其中． 23．先化简，再求值：，其中，． 24．已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 25．①先化简，再求值：（a2b－2ab2－b3）÷b－（a－b）（a＋b），其中a＝－2，． ②若x2＋ax＋8和多项式x2－3x＋b相乘的积中不含x3、x2项，求ab的值． 26．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个． (1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式________； (2)用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________； (3)根据上面的解题思路与方法，若，，则________； (4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题的关键是掌握幂的运算法则和合并同类项的法则． 根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及合并同类项的法则，对每个选项进行计算判断． 【详解】A、是幂的乘方，应满足底数不变、指数相乘，即，但选项结果为，错误； B、中的和不是同类项，无法合并为，错误； C、是积的乘方，需将系数和字母分别乘方，即，但选项结果为，错误； D、是同底数幂相乘，应满足底数不变、指数相加，即，与选项结果一致，正确． 故选：D． 3．B 【分析】根据幂的乘方法则，计算指数即可得出结果． 本题考查了幂的运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方法则，进行计算判断即可． 【详解】解：； 故选D． 5．C 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故选：D． 7．B 【详解】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及零指数幂． 根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方以及零指数幂计算即可． 【分析】解：A：，原计算错误； B：，原计算正确； C：，原计算错误； D：，原计算错误； 故选：B 8．C 【分析】根据题目定义的运算依次判断①②③④再进行选择即可． 【详解】解：对于①，2⊗（﹣2）＝2×[1﹣（﹣2）]＝2×（1+2）＝2×3＝6． 故①符合题意． 对于②，2⊗3＝2×（1﹣3）＝2×（﹣2）＝﹣4，3⊗2＝3×（1﹣2）＝3×（﹣1）＝﹣3．． 故②不符合题意． 对于③，若a＝0，则a⊗b＝a（1﹣b）＝0×（1﹣b）＝0． 故③符合题意． 对于④． ∵2⊗x+x⊗（﹣）＝3． ∴2（1﹣x）+x[1﹣（﹣）]＝3． 解得x＝﹣2． 故④符合题意． 所以①③④符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，整式的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握这些知识点是解题关键． 9．B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别由代数式表示出两个阴影部分面积，再由图1和图2中阴影部分面积关系即可得到答案．数形结合，准确表示出图1和图2中阴影部分的面积是解决问题的关键． 【详解】解：图1阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积：； 图2矩形面积：； 由题意可知图1和图2阴影部分的面积相等，则， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征（两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数）是解题的关键．根据平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、可变形为，属于完全平方公式，不能用平方差公式计算，符合题意； B、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； C、可变形为，符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； D、符合平方差公式，能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 11．D 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开并代入已知条件求解． 【详解】解：根据完全平方公式，展开得： 题目中已知，，代入公式得： 计算得： 因此，的值为16， 故选：D． 12．B 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键， 利用完全平方公式展开已知等式，联立相加直接求解． 【详解】∴ 和 ， ∴，， 将两式相加：， ， 两边同时除以2，得： 故选：B． 13．D 【分析】本题考查整式的加减，完全平方公式，根据已知条件，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：代入，，得，与结论矛盾，故A错误． 选项B：若，则．因，故，结论不成立，故B错误． 选项C：已知，，由，得．代入得，即或，结论不一定成立，故C错误． 选项D：由，得，即．代入得．结合，得，结论成立，故D正确． 故选：D． 14． 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方的运算法则即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 16．10 【分析】本题考查了积的乘方，根据即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：10． 17． 【分析】本题考查了单项式乘以单项式法则，单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式中只含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式．根据单项式乘以单项式法则进行计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 19．4 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的逆用是解题的关键． 将利用平方差公式变形后代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 20． 【分析】本题考查了完全平方公式． 直接根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式，整式的除法，整式的混合运算，熟练掌握算理正确运算是解决此问题的关键； （1）先运用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并同类项； （2）先利用完全平方公式计算，然后合并同类项，最后运用整式的除法进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 22． 【分析】本题是化简求值题，考查了整式的乘法及求代数式的值，熟练运用乘法公式及单项式乘多项式是关键． 用乘法公式及单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可化简；再所给的值代入化简后的式子中即可求得值． 【详解】解： 当时， 原式． 23．； 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简的结果，注意运算顺序，根据非负数之和为0的性质确定字母的值，，代入计算即可. 【详解】解： ； ∵， ∴，， 解得：，， 将代入化简后的式子： 原式． 24．(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 25．①-2ab，2；②3． 【分析】①先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可． ②多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求出后再求代数式值，即可求得ab的值．． 【详解】解：①（a2b-2ab2-b3）÷b-（a-b）（a+b） =a2-2ab-b2-a2+b2 =-2ab， 当a=-2，时， 原式=； ②∵（x2+ax+8）（x2-3x+b） =x4+（-3+a）x3+（b-3a+8）x2+（ab-24）x+8b， 又∵不含x2、x3项， ∴-3+a=0，b-3a+8=0， 解得a=3，b=1， ∴ab=3×1=3． 【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式乘多项式．①中主要考查学生的化简能力和计算能力；②中根据不含某一项就是这一项的系数等于0列式求解a、b的值是解题的关键． 26．(1) (2) (3)17 (4)8 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是数形结合思想的运用． （1）根据大正方形的面积等于两个正方形的面积加上两个长方形的面积可得答案； （2）根据大正方形的面积等于一个小正方形的面积加上四个长方形的面积可得答案； （3）根据完全平方公式的变形式，可得答案； （4）利用，，设，，得出，从而求得． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，两个小正方形的面积为，，两个小长方形的面积和为， ； （2）大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个小长方形的面积和为， ； （3），， ； （4）， ， 设，． ． ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$