精品解析：广东省汕头市第一中学2024-2025学年高一下学期3月阶段考试数学试题

2024—2025学年度第二学期第一次阶段考试 高一级数学科试题 试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 若集合，，则( ) A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与反向，则（ ） A. -30 B. 30 C. -100 D. 100 4. 若，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 在△中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设实数满足，则函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. （多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足，则O是的______心． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． （1）请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） （2）若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 16. 已知向量，满足，，，且与不共线． （1）若向量与为方向相反的向量，求实数的值； （2）若向量与的夹角为，求与的夹角． 17. 在中，角、、所对的边为、、，已知. （1）求角的值； （2）若为边的中点，且，，求的面积. 18. 已知函数最小正周期为. （1）求的值和函数图象的对称中心； （2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性； （3）已知，k为给定的正实数，若函数具有性质，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期第一次阶段考试 高一级数学科试题 试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 若集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式解法解出集合A，根据对数的运算法则计算出集合B，再根据集合交集运算得结果. 【详解】， ， ∴. 故选：C. 3. 已知向量，，若与反向，则（ ） A. -30 B. 30 C. -100 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】由向量共线求出x的值，进而由向量数量积的坐标表示可求. 【详解】解：由已知得与共线，则，解得，所以， 所以，因此． 故选：D. 4. 若，则，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得在的取值范围，进而得到的大小顺序. 【详解】当时，，， 则，则 故选：C 5. 在△中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C. 考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断. 6. 设实数满足，则函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值. 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当时，等号成立， 故选：D. 7. 如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在中，点在线段上，且， 则， ，而，因此， 即，所以. 故选：A 8. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得值，再由不等式恒成立得的范围． 【详解】由题意的最大值是5，所以由的图象与直线相邻两个交点的距离为知，．即，即， 时，， 因为，所以，， 所以，解得． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如，而的求法有两种： （1）由的范围，求出的范围，并根据的范围得出和的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系． （2）先利用余弦函数性质，求出时，的范围，再由已知区间是这个范围的子集，得出结论． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. （多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由数量积的坐标表示求得，再分类讨论，根据投影向量的概念求解． 【详解】由向量，，，得，所以，解得或. 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为； 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：BC 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据函数解析式作出其图象，利用图象特征进行逐一判断，即得A,B项，对于C,D项，则必须结合图象分类考虑，并求解不等式即得. 【详解】 如图，依题意作出函数的图象， 因在上单调递增，在上单调递减，观察图形易判断A，B项正确； 对于C，D项，当时，若，则成立； 若，则由，即， 故得：，则成立，故C项正确，D项错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】## 【解析】 【分析】 【详解】由题得 . 故答案为： 13. O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足，则O是的______心． 【答案】垂 【解析】 【分析】根据向量数量积及其运算律可证垂直，从而得出结果. 【详解】因为， 同理，，故O为的垂心. 故答案为：垂. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件中的边长将化为，再结合正、余弦定理即可求解. 【详解】，， 则即为， 由正弦定理得：，即， 又由余弦定理得：， ， 由正弦定理有：，，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． （1）请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） （2）若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 【答案】（1） （2）无触礁危险，理由如下： 在中， （海里）， ． 由正弦定理得， 又， 所以（海里）． 故A到航线的距离为（海里）． 由， 则，所以货轮无触礁危险． 【解析】 【分析】（1）根据方向角的定义在图中确定岛的位置； （2）通过解三角形求出岛到货轮航行路线的距离，与8海里比较大小，判断有无触礁危险. 【小问1详解】 【小问2详解】 货轮无触礁危险，理由略. 16. 已知向量，满足，，，且与不共线． （1）若向量与为方向相反的向量，求实数的值； （2）若向量与的夹角为，求与的夹角． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由平面向量共线定理可设，，由，系数相等列方程组，解方程组即可求解； （2）分别计算、、、的值，再由平面向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为向量与为方向相反的向量， 所以存在实数，使得，且与不共线， 所以，解得：或（舍）； 所以实数的值为； （2）因为向量与的夹角为，，， 所以， ， ， ， 所以， 因为，所以. 17. 在中，角、、所对的边为、、，已知. （1）求角的值； （2）若为边的中点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的可得出角的值； （2）由题意可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算性质得出关于的等式，解出的值，结合三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由余弦定理可得，因为，故. 【小问2详解】 在中，因为为边的中点，所以 故，即， 所以，，即 解得或（舍）， 所以. 18. 已知函数最小正周期为. （1）求的值和函数图象的对称中心； （2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数周期可得，再借助正弦型函数对称性可得对称中心； （2）得到后，结合换元法可得的单调性，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由的最小正周期为，得，故，所以， 令，得，故函数的对称中心为； 【小问2详解】 令，由，得， 在递减，在递增，所以， 又，所以有两个解时，. 19. 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性； （3）已知，k为给定的正实数，若函数具有性质，求a的取值范围. 【答案】（1）具有性质，不具有性质，理由见解析 （2）偶函数 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由性质的定义，代入计算，即可判断； （2）根据题意，由性质的定义，即可得到，结合函数奇偶性的定义即可判断； （3）根据题意，由性质的定义，列出不等式，结合对数函数的单调性以及运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得. 当时，，所以不具有性质. 【小问2详解】 设二次函数满足性质，则对任意， 满足. 当时，，此时b可以为任何实数； 当时，恒成立，所以，又，故. 综上所述，函数具有性质时，， 此时，即为偶函数. 【小问3详解】 由于，函数的定义域为， 易得， 若函数具有性质，则对于任意实数x， 有， 即，即， 由于函数在上单调递增，得，即， 当时，，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数x恒成立， 所以即，所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $