12.1三角形 第5课时 教案 2024-2025学年青岛版 七年级数学下册

第十二章 平面图形的认识 12.1.5 三角形的主要线段   一、教材分析 本节课《三角形的主要线段》是青岛版初中数学七年级下册第十二章第一节《三角形》第五课时的内容.本节课的学习内容是在学习了三角形的概念和分类后，又学习了三角形的角和边后，最后学习三角形的主要线段.本节课通过作图等学习三角形的主要线段，包括角平分线、中线、高线，通过作图认识和理解三角形的三条角平分线，三条中线、三条高线都交于一点.这是在初步认识角平分线、线段的中点和垂线以及三角形的分类基础上进行的，是进一步认识三角形、多边形等图形的特征的基础.   二、学情分析 学生通过过去对角平分线、线段中点和垂线的学习，初步具备了一定的作图能力，为本节课的学习奠定了基础.但是学生对不同的三角形作高线时仍会出错，尤其涉及钝角三角形仍有一定困难.此外利用角平分线、中线和高线作几何推理时,有的学生不能灵活使用主要线段的几何意义，因此在教学中注重训练学生的几何逻辑能力，培养学生空间思维能力.  三、教学目标 1.了解三角形的角平分线、高、中线并能在具体情境中作出它们; 2. 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点. 3.经历画图等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神.学会利用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.  四、教学重难点 重点：了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，尤其钝角三角形高的画法. 难点：探究三角形的三条高线、角平分线、三条中线交于一点的过程及   五、教学过程 · 复习导入 问题1：今天我们一起复习上学期学过的几何知识！ ①什么叫角的平分线? ②已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B画直线l的垂线. ③举例说明线段中点？ ④三角形按角分类可分为哪几种?？ 师生活动：学生通过已学的知识，经过个人辨别，汇报展示. 答：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线； ②利用三角板分别过点A、B作线l的垂线，作图结果如图： ③如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM，BM，那么点M叫作线段AB的中点； A B M ④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 设计意图：教师以复习的形式回顾学习过的角的平分线、垂线、线段中点和三角形的分类，为下面的探究问题的出现做好铺垫埋下 伏笔. · 探究新知 活动一：探究三角形的角平分线 问题2：学生自己画一个△ABC，按照学过的角的平分线的定义，试着作△ABC的三个内角的角的平分线. 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下作图. 答：△ABC的三个内角的角的平分线如图； 归纳：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图,AD是∠BAC的平分线,交BC于点 D,线段AD就是△ABC的一条角平分线. 问题3：分析它们有什么共同的特征? 师生活动：学生学习三角形的角平分线定义后，在教师的引导下，总结特征. 答：一个三角形有三条角平分线，且都在三角形的内部,并交于一点. 归纳：一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线都在三角形的内部,且交于一点. 设计意图：培养学生自主学习的习惯，提高作图能力. 活动二：探究三角形的中线 问题4：学生自己画一个△ABC，按照学过的线段中点的定义，试着找△ABC的三个边的中点，作连接三角形每个顶点与对边中点的线段. 师生活动：学生在教师的引导下用刻度尺作图. 答：作图如下， 归纳：连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线.如图, E为BC的中点,线段AE就是△ABC的一条中线. 问题5：分析这三条中线有什么共同的特征? 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，然后回答问题. 答：一个三角形有三条中线.三角形的三条中线都在三角形的内部,且交于一点. 归纳：一个三角形有三条中线.三角形的三条中线都在三角形的内部,且交于一点. 如图△ABC 的三条中线交于点G,点G就是△ABC的重心. 取一块质地均匀的三角形木板,用一根木棒顶在三角形木板的重心上,木板会保持平衡. 这就是重心的物理性质. 设计意图：培养学生自主学习的习惯，提高作图能力. 活动三：探究三角形的高线 问题7：学生自己画一个锐角三角形，然后作三角形的每个顶点到它的对边所在直线的垂线. 师生活动：学生在教师的引导下用三角板作图. 答：作图如下， 归纳：三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线,简称三角形的高.如图, CF⊥AB,垂足为F,线段CF就是△ABC的边 AB上的高. 问题8：分析这三条高线有什么共同的特征? 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，然后回答问题. 答：三角形有三条高线，锐角三角形的三条高线在三角形内部，且相交于一点. 问题9：分别画一个直角三角形和钝角三角形，然后作三角形的三条的高线. 师生活动：学生在教师的引导下用三角板作图. 答：作图如下， 问题10：分析三角形的高线有什么共同的特征? 师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下，然后回答问题. 答：一个三角形有三条高线，三条高所在的直线交于一点.直角三角形的两条高与边重合,钝角三角形的一条高在三角形的外部. 归纳：三角形的三条高所在的直线相交于一点,高及高的交点不一定在三角形的内部. 应用新知 经典例题 例1：过△ABC 的顶点A 画出BC 边上的中线、高和∠A 的角平分线. 解析： 师生活动：学生回答，教师点评，全班交流. 例2：如图，在△ABC中，∠BCA=40°，∠ABC=60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（　　）. A. 130° B. 70° C.110° D. 100° 解：由题意，得∠BCA=40°，∠ABC=60°， 根据三角形内角和是180°，得 ∠BAC=180°-∠BCA-∠ABC=180°-40°-60°=80°． 根据AE是∠BAC的平分线，得 ∠EAC=∠BAC=40°． 由BF是△ABC的高，得∠BFA=90°． 所以∠AOF=90°-∠EAC=90°-40°=50°． 根据外角的定义，得∠EOF=180°-∠AOF=180°-50°=130°．故选A. 师生活动：学生回答，教师点评，全班交流. 例3：已知BD 是△ABC 的中线,AB=5,BC=3.求△ABD 和△BCD 的周长的差. 解析: 由BD是△ABC的中线以及中线的定义，得AD=CD， 所以△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）-（BC+BD+CD）=AB-BC=5-3=2． 师生活动：学生回答，教师点评，全班交流. 设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，让学生通过作图加深对三角形主要线段的理解，学会应用三角形的主要线段解决几何问题. 课堂练习 1. 如图,△ABC 中,AD 是中线,BE 是角平分线. (1)写出线段BD,CD,BC的数量关系; (2)写出∠ABE,∠CBE,∠ABC 的数量关系. 解析：(1)根据AD 是中线以及中线的定义,得 BD=CD=BC. (2) 根据BE 是角平分线及角平分线的定义，得 ∠ABE=∠CBE=∠ABC. 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 2. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=60°,AD 是角平分线,求∠CAD 的度数 解：由题意，得∠C=90°，所以∠BAC=90°-∠B=90°-60°=30°， 由AD 是角平分线及角平分线的定义，得 ∠CAD=∠BAC=15°.故∠CAD 的度数是15°. 师生活动：学生先独立思考再回答问题. 3. 如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC=90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（　　） A. ∠ABE=∠FCB B. ∠GAC=∠GCA C. FG=GC D. BF=BH. 解析: A、由题意，得∠ABC=90°， 所以∠ABE+∠EBC=90°， 由高线定义，得∠BEC=90°， 所以∠ACB+∠EBC=90°，根据同角的余角相等，得 ∠ABE=∠ACB＞∠FCB，故本选项说法错误，不符合题意； B、当△ABC为等腰直角三角形时，AB≠AC， 由题意，知AD是中线， 所以AD不是角平分线， 所以∠GAC≠∠GCA，故本选项说法错误，不符合题意； C、由题意，知AD是△ABC的中线， 所以BD=DC， 当FG=GC时，DG是△CBF的中位线， 则GD∥BF，故本选项说法错误，不符合题意； D、由题意，知∠ACF=∠BCF，∠BFC=90°-∠BCF，∠BHF=∠EHC=90°-∠ACF， 根据同角的余角相等，得∠BFC=∠BHF， 所以BF=BH，故本选项说法正确，符合题意；故选D． 师生活动：学生回答，教师点评，全班交流. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解三角形内角和是180°及推论. · 课堂检测 限时训练 1. 下列说法中，正确的是（　　） A． 三角形的高、中线是线段，角平分线是射线； B． 三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部； C． 钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部； D． 在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线. 分析：本题主要考察三角形的高、中线和角平分线的相关概念. 解析：A、三角形的高、中线是线段，角平分线也是线段，故本选项说法错误，不符合题意； B、三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，说法正确，符合题意； C、钝角三角形的两条角平分线在三角形的外部，一条在三角形内部，故本选项说法错误，不符合题意； D、在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线，故本选项说法错误，不符合题意；故选B． 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 2. 下列四个图形中，线段BH是△ABC的高的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：第一个和第四个图形中，线段BH是△ABC的高， 则线段BH是△ABC的高的有2个，故选B． 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 3. 如图，已知D是BC的中点，AE、AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论正确的是（　　）. A．AD=CD B．∠CAE=∠BAC C．∠AEB=90° D．DF=CF 解析：A、因为D是BC的中点， 所有BD=DC，但AD与CD不一定相等，故本选项结论错误，不符合题意； B、因为AE是△ABC的角平分线， 所以∠CAE=∠BAC，本选项结论正确，符合题意； C、因为AE是△ABC的角平分线，不一定是高线， 所以∠AEB不一定等于90°，故本选项结论错误，不符合题意； D、DF与CF的关系不确定，故本选项结论错误，不符合题意；故选B． 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 4. 在△ABC 中,∠A 为锐角,∠B,∠C 均不是直角,高BD 和CE 所在的直线交于点H. (1)若∠A=45°,△ABC 为锐角三角形,求∠BHC 的度数; (2)若∠A=30°,△ABC 为钝角三角形,求∠BHC 的度数; (3)用等式表示∠BHC 与∠A 的数量关系,并说明理由. 分析：题目已知△ABC 中,∠A为锐角,∠B,∠C 均不是直角,由此不能判断三角形的形状,因此做题时需要分情况讨论. 解  ：(1)当△ABC是锐角三角形时，∠A=45°,如图1所示： 由BD，CE是△ABC的高及高的定义，得 ∠CDH =∠CEA=90°， 由题意∠A=45°，得 ∠ACE=90°-∠A=45°， 根据外角的定义，得 ∠BHC=∠ACE+∠CDH=45°+90°=135°,故∠BHC的度数是135°； (2)当△ABC是钝角三角形时，有以下两种情况： ①当∠ACB是钝角时，如图2所示： 由BD，CE是△ABC的高及高的定义，得 ∠ADB =∠CEA=90°， 根据三角形内角和是180°，得 ∠A+∠ABD=90°，∠BHC+∠ABD =90°， 所以∠BHC=∠A=30°； ②当∠ABC是钝角时，如图3所示： 由BD，CE是△ABC的高及高的定义，得 ∠AEH=∠BDA=90°， 根据三角形内角和是180°，得 ∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠ACE =90°， 所以∠BHC=∠A=30°； 综上所述：∠BHC的度数为30°． (3) 由（1）得，△ABC 为锐角三角形时, ∠BHC=∠ACE+∠CDH=（90°-∠A）+90°=180°-∠A， 整理得，∠BHC+∠A=180°； 由（2），得当△ABC是钝角三角形时，∠BHC=∠A， 综上所述：△ABC 为锐角三角形时, ∠BHC+∠A=180°； 当△ABC是钝角三角形时，∠BHC=∠A. 师生活动：老师提问学生举手回答问题. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解几何图形所研究的方向. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.三角形的角平分线是多少？ 3. 三角形的中线是多少？ 4. 三角形的高线是多少？ 5. 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的角平分线、中线和高线有什么特点？ 答： · 实践作业 如图,三条公路围出一个三角形区域,管理部门准备把这一区域改造成一个花园,请设计一个方案,把这个三角形区域分成面积相等的四部分，快跟你小伙伴讨论一下吧！ 学科网（北京）股份有限公司 $$