精品解析：江苏省淮安市涟水县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期七年级期末测试 数学试题 温馨提示： 本次考试分试卷和答题纸两部分，所有答案一律写在答题纸规定范围内，写在试卷上，答题无效．测试时间为90分钟，满分为120分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 4. 、、三人去公园玩跷跷板，根据以下两个示意图可以判断三人体重的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列句子中，属于命题是（ ） A. 画一条线段等于已知线段 B. 垂线段最短 C. 利用三角板画出角 D. 直角都相等吗？ 6. 如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，则正整数m的值为（ ） A. 84 B. 86 C. 94 D. 96 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将下列各题正确的结果填写在答题卡相应的位置上） 9. “内错角相等，两直线平行”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 10. 若代数式的值不大于，则的最大整数解是 _____． 11. 八边形的内角和为________度． 12. 嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据用科学记数法表示为________． 13. 如图，将沿方向平移之后得到，若，则_____． 14. 若，，则________． 15. 如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为44，则长方形的面积是____________． 16. 如图，表1，表2分别列举了关于方程和方程的部分解： x ．．． 1 2 3 4 ．．． y ．．． 0 1 2 3 ．．． 表1 x ．．． 0 1 2 3 ．．． y ．．． 3 2 1 0 ．．． 表2 则关于的方程组的解为_________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. 计算或化简 （1）﹣12020+（3.14﹣）0+2﹣2 ; （2） 18. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 填充证明过程和理由： 已知：如图，，，平分，求证：． 证明： （已知）， （___________）． 又（已知）， （___________）． 又平分（已知）， （___________）， ___________（___________）， （___________）． 21. 观察与思考： ；① ；② （1）算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 （2）计算： 22. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； （2）连接、，线段和的关系是_____． （3）在图②中画出绕点顺时针旋转后的； （4）在图中存在满足与面积相等的格点（与点不重合）共计有_______个． 23. 学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元． （1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元； （2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，且总费用不超过18400元，问最少购买甲办公桌多少张？ 24. 现有长与宽分别为的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式；（用含的代数式表示出来）； 图1表示：________；图2表示：________． （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②如果，求的值． 25. 环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞． （1）物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险． （2）如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________． （3）如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒． 26. 【综合与实践】 神州小组在探究平移、轴对称、旋转之间的关联得到的部分报告如表： 实验操作：奇妙的轴对称 三角形关于直线m对称，三角形关于直线n对称 直线平行 直线相交 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 神州小组通过查阅资料得到如下两个真命题： A．一次平移变换可以分解为两次轴对称变换． B．一次旋转变换可以分解为两次轴对称变换． 【理解运用】 如图三角形能完全重合，则三角形②一定可以由三角形①经过至少________次的轴对称变换得到． 【拓展迁移】 如图，中，把点A绕着C顺时针旋转得到点D，再把点A绕着B逆时针旋转得到点为上方一点且，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期七年级期末测试 数学试题 温馨提示： 本次考试分试卷和答题纸两部分，所有答案一律写在答题纸规定范围内，写在试卷上，答题无效．测试时间为90分钟，满分为120分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法．根据幂的乘方的运算方法，合并同类项的方法，同底数幂的乘法的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意． 故选：C． 3. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先展开，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：A 4. 、、三人去公园玩跷跷板，根据以下两个示意图可以判断三人体重的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，观察图形，可得出，，进而可判断出三人体重的大小关系，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ． 故选：D． 5. 下列句子中，属于命题的是（ ） A. 画一条线段等于已知线段 B. 垂线段最短 C. 利用三角板画出的角 D. 直角都相等吗？ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的定义，熟记能够判断一件事情的语句叫做命题是解题关键．根据命题的定义，逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.画一条线段等于已知线段，不命题； B.垂线段最短，是命题； C. 利用三角板画出的角，不是命题； D. 直角都相等吗？不是命题； 故选：B． 6. 如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．根据旋转的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是由绕着点旋转得到的， ∴，，，， 由已知条件无法得到， 故选： D． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设索长为x尺，竿子长为y尺， 根据题意得： 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 已知，则正整数m的值为（ ） A. 84 B. 86 C. 94 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将下列各题正确的结果填写在答题卡相应的位置上） 9. “内错角相等，两直线平行”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，逆命题，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质定理，难度比较小．先写出命题的逆命题，再利用平行线的性质定理，对命题进行判断即可得出答案． 【详解】解：“内错角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题． 故答案为：真． 10. 若代数式的值不大于，则的最大整数解是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，求出解集确定出的最大整数解即可． 【详解】解：根据题意得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 则的最大整数解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法及注意事项是解题的关键． 11. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 12. 嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 如图，将沿方向平移之后得到，若，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 先利用平移的性质得，然后利用，即可求出答案． 【详解】解：沿方向平移得到， ， ． 故答案为：7． 14. 若，，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法得到，，求出，，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：7． 15. 如图，长方形的周长为16，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为44，则长方形的面积是____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设，根据正方形面积计算公式得到，再由长方形周长计算公式得到，则由完全平方公式可得，据此求出即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∵长方形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即长方形的面积是10， 故答案为：10． 16. 如图，表1，表2分别列举了关于的方程和方程的部分解： x ．．． 1 2 3 4 ．．． y ．．． 0 1 2 3 ．．． 表1 x ．．． 0 1 2 3 ．．． y ．．． 3 2 1 0 ．．． 表2 则关于的方程组的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先根据两个表格中的数据得出，，将方程组变为，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：把时，，时，，分别代入得： ， 解得：， ∴可以变为，即， 把时，，时，，分别代入得： ， 解得：， ∴可以变为，即， 解方程组得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. 计算或化简 （1）﹣12020+（3.14﹣）0+2﹣2 ; （2） 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】根据幂运算法则即可进行求解. 【详解】（1）原式=-1+1+ = ； （2）原式==. 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则. 18. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，求不等式组的解集，掌握加减消元法，不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）运用不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：（1）， 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）， 解①得，， 解②得，， ∴原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；9 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和整式乘法运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式 ． 20. 填充证明过程和理由： 已知：如图，，，平分，求证：． 证明： （已知）， （___________）． 又（已知）， （___________）． 又平分（已知）， （___________）， ___________（___________）， （___________）． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法及性质，角平分线的定义，等量代换等，根据题意进行填空即可． 【详解】证明： （已知）， （两直线平行，同旁内角互补．）． 又（已知）， （同角的补角相等）． 又平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行．）． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，等量代换的定义，理解定义，掌握判定方法及性质是解题的关键． 21. 观察与思考： ；① ；② （1）算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 （2）计算： 【答案】（1）A；C （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了积乘方逆用，同底数幂乘法，幂的乘方运算及其逆用，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行判断即可； （2）逆用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：算式①的运算依据是A同底数幂乘法，算式②的运算依据是C幂的乘方． 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．仅用无刻度的直尺完成下列作图． （1）在图①中画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； （2）连接、，线段和的关系是_____． （3）在图②中画出绕点顺时针旋转后的； （4）在图中存在满足与面积相等的格点（与点不重合）共计有_______个． 【答案】（1）见解析 （2）平行且相等 （3）见解析 （4）3 【解析】 【分析】本题考查了利用平移变换作图，旋转作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移的定义先分别作出点A、B、C向右平移4个单位后得到的点，再顺次连接即可得到所求图形； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据旋转作出点、，然后再顺次连接即可； （4）利用网格，根据平行线间距离相等，作的平行线，找到格点M，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即所求； 【小问2详解】 解：根据平移可知：，，即线段和的关系是平行且相等； 【小问3详解】 解：如图，为所求作的三角形； 取的中点，连接，如图所示，即为所求； 【小问4详解】 解：根据平行线间的距离处处相等，过点C作的平行线，如图，不与点C重合的格点M共有3个． 23. 学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元． （1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元； （2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，且总费用不超过18400元，问最少购买甲办公桌多少张？ 【答案】（1）甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元 （2）最少购买甲办公桌28张 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到题中蕴含的等量关系和不等关系． （1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元”列出方程组，解之即可； （2）设购买甲种办公桌m张，乙种办公桌张，根据“总费用不超过18400元”列出不等式，解之可得最少购买甲办公桌的方案． 【小问1详解】 解：设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元， 由题意可得：， 解得：， ∴甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元； 【小问2详解】 解：设购买甲种办公桌m张，乙种办公桌张， 由题意可得：， 解得：， ∴最少购买甲办公桌28张． 24. 现有长与宽分别为的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式；（用含的代数式表示出来）； 图1表示：________；图2表示：________． （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②如果，求的值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的变形应用，平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）①将根据完全平方公式用含有的式子表示出来，然后代入求值即可． ②利用完全平方公式先求出，再根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：图1表示； 图2表示； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， 即； ②∵，， ∴ ， ∴， 当时，； 当时，； 综上分析可知：． 25. 环球飞车是一种特技表演，其中多辆摩托车在一个球形的金属笼子里高速骑行．表演者会垂直、倒置或倾斜骑行，而不会相撞． （1）物理学原理：摩托车手能在球型铁笼内骑行而不下落需满足旋转产生的离心力重力G．已知离心力，重力（其中m为车手及摩托车总质量，v为骑行速度，r为半径，g为重力加速度且），摩托车手以6米/秒的速度在半径为3米的铁笼内表演，则___（填“有”或“无”）掉落的危险． （2）如图1，两位摩托车手在周长为16米的水平圆形轨道上匀速顺时针进行骑行表演（最低安全速度为5米/秒），开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），已知位于点A处的摩托车手速度为6米/秒，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为________． （3）如图2，甲、乙两位摩托车手分别在周长均为16米的水平和竖直圆形轨道上逆时针进行骑行表演，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒，两个表演轨道的交点分别为，开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，求最多可以安全表演多少秒． 【答案】（1）无 （2） （3）最多可以安全表演14秒． 【解析】 【分析】（1）将，分别代入和求解比较判断即可； （2）根据题意得到当两车相遇时，表演时间超过16秒，然后分两种情况讨论，分别根据题意列出不等式求解即可； （3）首先根据题意得到当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q，然后求出甲第一次到达P，Q的时间，乙第一次到达P，Q的时间，然后得到甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为秒，乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为秒，然后根据题意得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴无掉落的危险； 小问2详解】 解：∵要使安全表演时间超过16秒 ∴当两车相遇时，表演时间超过16秒 当时，此时位于点A处的摩托车手速度大于位于点B处的摩托车手速度， ∵开始计时时两位车手分别位于图中两点位置（关于球心中心对称），周长为16米 ∴当两车相遇时，位于点A处的摩托车手比位于点B处的摩托车手多走了8米 ∴ 解得 ∴； 当时，同理可得， 解得 ∴ 综上所述，要使安全表演时间超过16秒，则位于B处的摩托车手速度v（米/秒）的取值范围为； 【小问3详解】 解：要求最多可以安全表演多少秒，即求相遇时最多可以安全表演多少秒 ∵两个表演轨道的交点分别为， ∴当甲乙相遇时，甲乙同时到达点P或Q ∵开始表演时，甲位于其轨道上距离P点4米的A处，乙位于轨道上距离点P点2米的B处，甲的速度为6米/秒，乙的速度为7米/秒， ∴甲第一次到达P的时间为（秒），乙第一次到达P的时间为（秒） ∴甲第一次到达Q的时间为（秒），乙第一次到达Q的时间为（秒） ∵周长均为16米 ∴甲转一圈的时间为（秒），乙转一圈的时间为（秒）， ∴设甲第n（n为正整数）次到达点P的时间为（秒），乙第m（m为正整数）次到达点P的时间为（秒）， ∴当甲乙相遇于点P时， ∴整理得， ∵m，n都为正整数 ∴当，时，等式成立 ∴此时甲到达P点的时间为（秒） ∴最多可以安全表演14秒． 【点睛】此题考查了求代数式的值，不等式的应用，二元一次方程的解等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 26. 【综合与实践】 神州小组在探究平移、轴对称、旋转之间的关联得到的部分报告如表： 实验操作：奇妙的轴对称 三角形关于直线m对称，三角形关于直线n对称 直线平行 直线相交 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 三角形③可以由三角形①经过一次________得到．（填“平移”“旋转”“翻折”） 神州小组通过查阅资料得到如下两个真命题： A．一次平移变换可以分解为两次轴对称变换． B．一次旋转变换可以分解为两次轴对称变换． 【理解运用】 如图三角形能完全重合，则三角形②一定可以由三角形①经过至少________次的轴对称变换得到． 【拓展迁移】 如图，中，把点A绕着C顺时针旋转得到点D，再把点A绕着B逆时针旋转得到点为上方一点且，连接，求的度数． 【答案】[综合与实践] 平移，旋转；[理解运用]2；[拓展迁移] 【解析】 【分析】[综合与实践]两条对称轴平行时，图形经过两次轴对称，相当一次平移．两条对称轴相交时，图形经过两次轴对称，相当一次一次旋转． [理解运用]根据对称轴垂直平分对称点的连线，在平面内取点,连接，作线段的垂直平分线m，再作出点B，C关于m的对称点,在直线上取点，连接,作的垂直平分线n，作出点关于n的对称点，首尾连接即得，至少2次轴对称； [拓展迁移]作点P关于的对称点F，连接,根据轴对称性质得，求出 ，，由旋转性质得，,根据P为上方一点，分当点P在内时，当点P在的边上时，设在边上；当点P在的边延长线上时，设在延长线上；当点P在点A上时；当点P在外时；均得, ，得,，得，即得． 【详解】解：[综合与实践] 直线平行，三角形③可以由三角形①经过一次平移得到． 直线相交，三角形③可以由三角形①经过一次旋转得到． 故答案为：平移，旋转； [理解运用] 解：如图，∵作三角形①关于直线m对称的三角形③， 再作三角形③关于直线n对称的三角形②， ∴三角形②一定可以由三角形①经过至少2次的轴对称变换得到． 故答案为：2； [拓展迁移] 解：作点P关于的对称点F，连接， 则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转知，， ∵P为上方一点， ∴当点P在内时， ∵， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在的边上时，设在边上， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在的边延长线上时，设在延长线上， 同理， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在点A上时， 同理， ∴ ∴, ∵, ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在外时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 【点睛】本题主要考查了几何变换的几种类型．熟练掌握轴对称性质，平移性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．平移变换：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．在平移变换下，对应线段平行且相等．轴对称变换：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形互相重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称．在轴对称变换下，对应线段相等，对应线段所在直线或者平行，或者交点在对称轴上，且这两条直线的夹角被对称轴平分．旋转变换：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．旋转不改变图形的形状和大小．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$