第1章 有理数（复习课件）数学沪教版五四制2024六年级上册

单元复习课件 第一章 有理数 沪教版五四制2024·六年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解有理数的相关概念，正确、合理运用有理数运算法则进行有理数混合运算. 3.在对有理数的运算过程及结果进行检验与纠错的学习活动中，初步养成严谨求实的科学态度. 2. 在解决有理数相关问题的过程中体会“转化”“数形结合”的数学思想. 单元学习目标 概念 有理数 数轴 相反数 绝对值 有理数大小比较 运算 加法 乘法 除法 乘方 有理数混合运算 减法 有理数 单元知识图谱 考点一 有理数的概念 有理数 可以写成分数形式的数叫作有理数. 0、1、2... 自然数 -1、 -2... 整数 有理数 ... 概念 有理数 考点串讲 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示. 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 数轴 概念 有理数 负数 正数 考点二 有理数的表示 考点串讲 相反数 数轴 概念 有理数 3 -3 相反数 只有符号不同的两个数，其中一个数是另一个数的相反数. 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且与原点的距离相等. . 考点三 特殊的数的关系 考点串讲 绝对值 相反数 数轴 概念 有理数 3 -3 绝对值 数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数a的绝对值. |-3|=3 |3|=3 一个正数的绝对值是它本身； . 一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值还是零. 考点三 特殊的数的关系 考点串讲 概念辨析 判断下列说法是否正确，正确的在括号里 打“√”，错误的在括号里打“×”： （1）正有理数和负有理数统称为有理数； （ ） （3）自然数就是正整数； （ ） （4）一个负数的绝对值是它的相反数； （ ） （5）任何数的绝对值都是正数. （ ） （2）4可以看做分母为1、分子为4的分数； （ ） × √ × √ × | 0 |=0 正有理数 负有理数 有理数 零 正整数 自然数 零 绝对值 相反数 数轴 概念 有理数 大 小 比 较 0 考点四 有理数的基础概念辨析 考点串讲 （1）计算： 运算 加法 法则 运算律 绝对值 相反数 数轴 概念 有理数 大 小 比 较 方法二 方法一 加法结合律 考点五 有理数的运算 考点串讲 有理数加法的运算律 加法交换律： a+b=b+a. 有理数加法法则 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时， 其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差， 其和的符号取绝对值较大的加数的符号. 考点五 有理数的运算 考点串讲 考点五 有理数的运算 （2）计算： 法则 运算律 乘法 减法 运算 加法 法则 运算律 绝对值 相反数 数轴 概念 有理数 大 小 比 较 方法二 方法一 考点串讲 考点五 有理数的运算 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与零相乘，都得零. 乘法对加法的分配律： a(b+c)=ab+ac. 有理数乘法运算律 乘法交换律：ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 几个不为零的数相乘， 积的符号由负因数的个数决定的. 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正. 考点串讲 乘方 除法 法则 运算律 乘法 减法 运算 加法 法则 运算律 绝对值 相反数 数轴 概念 有理数 大 小 比 较 （3）计算： 有理数的乘方 正数的任何次方都是正数；负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数. 考点五 有理数的运算 考点串讲 例题1 填空. (1)的相反数是 ；的绝对值是 ． (2)把各数填在相应集合：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 题型一 有理数的概念 解：的相反数是2；的绝对值是． 故答案：2；． 正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数． 解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 考点串讲 例题2 题型二 简单的有理数运算 小军、小海二位同学计算 的过程如下框，你认为他们的过程是否正确?若正确请在框内打“√”，若错误请在框内打“×”，指出错误的步骤，并写出你的解答过程. 小海： 小军： × × -100 -4 ·注意 与 的区别. 考点串讲 例题2 题型二 简单的有理数运算 小军、小海二位同学计算 的过程如下框，你认为他们的过程是否正确?若正确请在框内打“√”，若错误请在框内打“×”，指出错误的步骤，并写出你的解答过程. 归纳需要注意的地方！ 考点串讲 有理数运算需要注意的事项： 有理数混合运算的顺序， 先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右； 如果有括号先算小括号，后算中括号，再算大括号. 考点串讲 题型三 有理数的混合运算 例题3 计算 归纳需要注意的地方！ 题型剖析 有理数运算需要注意的事项： 1、有理数运算的顺序 先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右； 如果有括号先算小括号，后算中括号，再算大括号. 2、有理数运算的步骤 （1）确定运算顺序. （2）减去一个数，注意加上它的相反数. （3）除以一个数(不等于0)，注意乘它的倒数. （4）乘法运算，注意结果符号. （5）加法运算，注意同号还是异号相加. 考点串讲 题型四 有理数的应用 例题4 A、B、C、D、E 五人进行跑步比赛，在同一时间段内， A 跑了150 米，如果跑在A 前面的记为正数，跑在A 后面的记为负数，那么其他四人与A 相距的差如下表所示. （1）B 跑了多远？ （2）第一名与第五名相差多少米？ （3）平均每人跑了多少米？ 表示B跑在A后面10.5米 表示E跑在A前面13.5米 起点 A 150 B 10.5 （1）150-10.5=139.5（米）. 答：B 跑了139.5 米. ？ A B C D E A 题型剖析 题型四 有理数的应用 例题4 A、B、C、D、E 五人进行跑步比赛，在同一时间段内， A 跑了150 米，如果跑在A 前面的记为正数，跑在A 后面的记为负数，那么其他四人与A 相距的差如下表所示. （1）B 跑了多远？ （2）第一名与第五名相差多少米？ （3）平均每人跑了多少米？ A A 起点 A 150 B 10.5 答：第一名与第五名相差53米. D 21 C E 13.5 32 （2） （米）. （米）. 或 题型剖析 题型四 有理数的应用 例题4 A、B、C、D、E 五人进行跑步比赛，在同一时间段内， A 跑了150 米，如果跑在A 前面的记为正数，跑在A 后面的记为负数，那么其他四人与A 相距的差如下表所示. （3）平均每人跑了多少米？ A 答：平均每人跑了152.8米. （米）. 题型剖析 题型五 绝对值化简求最值 例题5 在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是_____． 题型剖析 题型五 绝对值化简求最值 例题5 在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________ 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可；． （1）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∵，∴， ∴的最小整数值是，故答案为：． 题型剖析 题型五 绝对值化简求最值 例题5 在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (2)若，那么的最小值是__________； 【分析】 （2）根据题意，得，得到时， 取得最小值，解答即可． （2）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：6． 题型剖析 题型五 绝对值化简求最值 例题5 在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； 【分析】（3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （3）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示0的两点在数轴上的距离的和， ∴， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：8，． 题型剖析 题型五 绝对值化简求最值 例题5 在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (4)的最小值是_____． 【分析】根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 解：根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和， 即． 故答案为：90． 题型剖析 练习1 下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 解：A：当为负数时，为正数，故原说法错误； B：根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，故原说法正确； C：有理数分为正有理数、负有理数和零，而非笼统的“正数、负数和零”，故原说法错误； D：整数包括正整数、负整数和零，选项中遗漏了零，故原说法错误； 故选：B． 针对训练 练习2 如图，数轴上点，表示的数互为相反数，该数轴的单位长度是1，则点表示的数是 ． 【分析】本题主要考查了实数与数轴，相反数，利用相反数的性质确定原点的位置，再利用原点的位置解答即可． 解：由题意得：， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点A表示的数字为，点B表示的数字为3， ∴原点距离点一个单位长度，点在原点的右侧， ∴点C表示的数字为1． 故答案为：1． 针对训练 练习3 计算 (1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加减法，有理数的乘方，有理数的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先去括号，再计算从左到右计算即可； （2）先计算乘方再根据分配律计算乘法最后加减即可． （1）解： 原式 ； （2）解：原式 ． 针对训练 练习4 简便计算 ． 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 解： 原式 ． 针对训练 练习5 规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的定义进行有关计算是解题的关键． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 针对训练 练习6 【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：(1)计算： . (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【分析】（1）根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，得，得到解答即可. （1）解：， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 得到． ∴，，0，1，2，3，4，5． 针对训练 练习6 【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：(1)计算： . (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【分析】（3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可 （3）解：根据题意，得， 当时， ，此时； 当时， ，此时； 当时，， 故当时，取得最小值，且最小值为9． 针对训练 练习6 【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：(1)计算： . (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【分析】（4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． （4）解：根据题意，当时， ，此时； 当时， ， 此时； 当时， 当时，的最小值为． 针对训练 想一想 1.本章节学了哪些新知识？ 2.之前学习的内容有怎样的关系？ 3.其中蕴含了什么样的数学思想？ 课堂总结 大 小 比 较 乘方 除法 法则 运算律 乘法 减法 运算 加法 法则 运算律 绝对值 相反数 数轴 概念 有理数 “转化” ·注意运算顺序. ·减去一个数，注意加上它的相反数. ·除以一个数(不等于0)，注意乘它的倒数. ·乘法运算，注意结果符号. ·加法运算，注意同号还是异号相加. ·注意 与 的区别. 有理数运算注意事项： “数形结合” 课堂总结 感谢聆听! $$