第十二章 分式和分式方程（单元测试·提升卷）数学冀教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十二章 分式和分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级下·河北·期末）下列式子是分式的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（   ） A．5 B．10 C． D． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）要使分式有意义，则x的取值需满足（    ） A． B． C．或 D．且 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）下面是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（   ） _________________ …… A． B． C． D． 6．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍 8．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当时，原方程无解 C．为正数时， D．为负整数时，有4个整数值 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 10．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（    ） A． B． C． D． 11．当x分别取，，，，时，计算分式的值，再将所有结果相加，其和等于（  ） A． B．1 C．0 D．2023 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 14．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为 ． 15．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 16．（2024·河北张家口·二模）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，故 ；按照这个规定，方程的解为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 18．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）先化简，再求值：，其中x满足． 19．（8分）（24-25八年级上·河北唐山·期末）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 21．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元， (1)分别求、品牌的足球的单价； (2)由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？ 22．（9分）（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 23．（11分）（24-25七年级下·河北廊坊·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 24．（12分）（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十二章 分式和分式方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B D D B B C D C A D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．1 14． 15．且 16．5 或 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2)①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小王的说法不全面，见解析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴；····································3分 （2）解：①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小王认为“该分式的值不可能为6”；···································5分 ②小王的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为8．···································7分 18．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ，···································5分 ∵x满足， ∴， ∴原式．···································8分 19．（8分） 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算可得结果． 【详解】解：原式         ，            ···································5分 当时，原式．···································8分 20．（8分） 【答案】(1)学习委员说得对，见解析 (2)3或9 【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，根据买到相同数量的笔记本建立方程求出其解就可以得出结论； （2）设每本软面笔记本m元（的整数），则每本硬面笔记本元，根据能买到相同数量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立方程是关键． 【详解】（1）解：设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元， 根据题意，得， 解得． 此时，不是整数，所以学习委员说得对．···································3分 （2）解：存在； 设每本软面笔记本m元（是整数），则每本硬面笔记本元， 根据题意，得． 解得． ∵a为正整数， ∴，···································6分 故，此时，，符合题意； 故，此时，，不符合题意； 故，此时，，符合题意； ∴a的值为3或9．···································8分 21．（9分） 【答案】(1)购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元 (2)第二次购买费用与第一次费用相同 【分析】（1）本小问主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程，并且一定要检验，即可得到答案； （2）本小问一定要认真审题，先根据（1）的结果分别求出购买球的数量，再根据总价=单价×数量，把前后两次花费的总钱数进行比较即可； 【详解】（1）解：设购买一个品牌的足球器元，则购买一个品牌的足球箭元，则 解得 ， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元．···································4分 （2）解：第一次购买品牌足球个，购买品牌足球个， 第一次购买足球总费用为： 第二次总费用为：， 答：第二次购买费用与第一次费用相同，···································9分 22．（9分） 【答案】(1)①买到的竹条捆数为，；②， (2)个 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到的竹条捆数为，；···································2分 ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，；···································6分 （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个．···································9分 23．（11分） 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确；···································2分 （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ；· ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值；···································6分 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值．···································11分 24．（12分） 【答案】(1)减少，减小 (2)①2；②2、3、5 (3) 【分析】本题考查分式的性质. （1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小；···································4分 （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近；···································6分 ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5；···································9分 （3）解：∵，， ∴， ∴.···································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十二章 分式和分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级下·河北·期末）下列式子是分式的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（   ） A．5 B．10 C． D． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）要使分式有意义，则x的取值需满足（    ） A． B． C．或 D．且 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）下面是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（   ） _________________ …… A． B． C． D． 6．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍 8．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当时，原方程无解 C．为正数时， D．为负整数时，有4个整数值 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 10．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（    ） A． B． C． D． 11．当x分别取，，，，时，计算分式的值，再将所有结果相加，其和等于（  ） A． B．1 C．0 D．2023 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 14．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为 ． 15．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 16．（2024·河北张家口·二模）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，故 ；按照这个规定，方程的解为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 18．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）先化简，再求值：，其中x满足． 19．（8分）（24-25八年级上·河北唐山·期末）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 21．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元， (1)分别求、品牌的足球的单价； (2)由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？ 22．（9分）（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 23．（11分）（24-25七年级下·河北廊坊·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 24．（12分）（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十二章 分式和分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级下·河北·期末）下列式子是分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握定义式解题的关键．根据分母中含有字母的代数式称为分式，据此即可求解． 【详解】解：A：，分母为，是字母，符合分式的定义，故该选项符合题意； B：，分母为（圆周率，常数），不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； C：，分母为（数字），不含字母，不是分式，故该选项不符合题意； D：，是整式，没有分母，显然不是分式，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变，原分式分子加10后变为原来的3倍，因此分母也需扩大3倍，从而确定需要加上的量． 【详解】解：原分式为，分子加10后变为，即分子变为原来的3倍，根据分式的基本性质，分母也需变为原来的3倍，即，原分母为，因此需要加上． 故选：D． 3．（24-25七年级下·河北唐山·期末）要使分式有意义，则x的取值需满足（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母，确定x的取值范围即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，分式的化简，把代入计算即可求解，掌握分式的化简是解题的关键． 【详解】解：已知，则， 故选：D ． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）下面是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（   ） _________________ …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是关键．原式为分式运算，需运用乘法分配律展开括号，再约分化简，最后计算减法即可． 【详解】解： 选项D的表达式正确对应上述拆分，其余选项均不符合化简过程． 故选：D 6．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得出正确结论，即可判断． 【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误； ②，嘉淇同学解法错误； ③ ，嘉淇同学解法正确； 则嘉淇同学做对的有1个， 故选：B． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的4倍 D．缩小为原来的倍 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据分式的基本性质，进行作答，即可求解； 【详解】解：原分式为，当 和均扩大为原来的2倍时，新分式为： ， 分子扩大为原来的4倍，分母扩大为原来的2倍，因此分式的值整体扩大2倍； 故选：B； 8．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当时，原方程无解 C．为正数时， D．为负整数时，有4个整数值 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，掌握“解分式方程的方法与步骤，理解分式方程的解的含义”是解本题的关键．先解分式方程，再检验，再逐一分析各选项即可． 【详解】解： ， 去分母，得 化简得， 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故选项A正确，但不符合题意； 当时， ∴方程无解， 故选项B正确，但不符合题意； 当为正数时，，且 ∴且， 故选项C错误，符合题意； 当为负整数时，则或或或， ∴或或或， ∴或0或1或2， ∴有4个整数值， 故选项D正确，但不符合题意， 故选：C． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根得出，代入即可求出k的值． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， 把代入， 解得：， 故选：D． 10．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 11．当x分别取，，，，时，计算分式的值，再将所有结果相加，其和等于（  ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键；先求出和时，分式的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得． 【详解】解：当和时， 当时，， 则所求的和为， 故选：A． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解． 【详解】∵ ∴ ∴上述方程有解及 即及 所以原方程的解为， 故选：D 【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是掌握分式加减法的运算法则． 根据等式的性质，通过移项求出被盖住部分的值． 【详解】由题意得，被盖住的部分为： ， 故答案为：1． 14．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义可得，则去分母可得，再解方程后并检验即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴， 故答案为；． 15．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为或， 故答案为：或． 16．（2024·河北张家口·二模）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，故 ；按照这个规定，方程的解为 ． 【答案】 5 或 【分析】按照规定符号可求得5；根据与的大小关系化简所求方程，求出解即可． 【详解】5； 故答案为：5； 当，即时，方程化简得：， 去分母得：， 整理得：，即 解得：， 经检验：是分式方程的解； 当，即时，方程化简得：， 去分母得：， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)或， 经检验：是分式方程的解； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小王的说法不全面，见解析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小王认为“该分式的值不可能为6”； ②小王的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为8． 18．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， ∵x满足， ∴， ∴原式． 19．（8分）（24-25八年级上·河北唐山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算可得结果． 【详解】解：原式         ，             当时，原式． 20．（8分）（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)学习委员说得对，见解析 (2)3或9 【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，根据买到相同数量的笔记本建立方程求出其解就可以得出结论； （2）设每本软面笔记本m元（的整数），则每本硬面笔记本元，根据能买到相同数量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立方程是关键． 【详解】（1）解：设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元， 根据题意，得， 解得． 此时，不是整数，所以学习委员说得对． （2）解：存在； 设每本软面笔记本m元（是整数），则每本硬面笔记本元， 根据题意，得． 解得． ∵a为正整数， ∴， 故，此时，，符合题意； 故，此时，，不符合题意； 故，此时，，符合题意； ∴a的值为3或9． 21．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期末）某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元， (1)分别求、品牌的足球的单价； (2)由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？ 【答案】(1)购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元 (2)第二次购买费用与第一次费用相同 【分析】（1）本小问主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程，并且一定要检验，即可得到答案； （2）本小问一定要认真审题，先根据（1）的结果分别求出购买球的数量，再根据总价=单价×数量，把前后两次花费的总钱数进行比较即可； 【详解】（1）解：设购买一个品牌的足球器元，则购买一个品牌的足球箭元，则 解得 ， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元． （2）解：第一次购买品牌足球个，购买品牌足球个， 第一次购买足球总费用为： 第二次总费用为：， 答：第二次购买费用与第一次费用相同， 22．（9分）（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 【答案】(1)①买到的竹条捆数为，；②， (2)个 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到的竹条捆数为，； ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 23．（11分）（24-25七年级下·河北廊坊·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 24．（12分）（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少，减小 (2)①2；②2、3、5 (3) 【分析】本题考查分式的性质. （1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5； （3）解：∵，， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$