第十二章 分式和分式方程（单元测试·基础卷）数学冀教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十二章 分式和分式方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B C B B C C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．1 14． 15．1（答案不唯一） 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程等知识，正确进行计算是解题的关键； （1）先通分化简，再把分子相减即可． （2）由题意得分式方程，解分式方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：；····································3分 （2）解：由题意得：， 即， 解得：，····································6分 经检验，是原方程的解． 即被污染的x的值为5．····································7分 18．（8分） 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌握分式的运算法则是关键．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 【详解】解： ，····································5分 当时，原式．····································8分 19．（8分） 【答案】(1)淇淇的速度为，嘉嘉的速度为 (2)淇淇先到学校 【分析】本题考查分式方程的应用，分式的加减的应用，熟练根据题意找到等量关系并列式是解题的关键． （1）设淇淇的速度为，则嘉嘉的速度为，利用二人同时到达学校进行列式求解，并验根，即可解答； （2）分别列出嘉嘉到达学校需，淇淇到达学校需，再利用分式的减法比较大小即可． 【详解】（1）解：当时，嘉嘉比淇淇的速度快， 设淇淇的速度为，则嘉嘉的速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：淇淇的速度为，嘉嘉的速度为；····································4分 （2）解：∵淇淇的速度为，嘉嘉比淇淇的速度快， ∴嘉嘉的速度为， ∴嘉嘉到达学校需，淇淇到达学校需， ∵， ∴， 所以淇淇先到学校．····································8分 20．（8分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算； （1）由已知等式总结归纳可得； （2）先计算等式的右边括号内分式的减法运算，再乘以，再结合运算结果可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得：（n为正整数）；···································4分 （2）证明： ∴这个结论是正确的．····································8分 21．（9分） 【答案】(1)学习委员说得对，见解析 (2)3或9 【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，根据买到相同数量的笔记本建立方程求出其解就可以得出结论； （2）设每本软面笔记本m元（的整数），则每本硬面笔记本元，根据能买到相同数量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立方程是关键． 【详解】（1）解：设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元， 根据题意，得， 解得． 此时，不是整数，所以学习委员说得对．····································3分 （2）解：存在； 设每本软面笔记本m元（是整数），则每本硬面笔记本元， 根据题意，得． 解得．····································4分 ∵a为正整数， ∴，····································6分 故，此时，，符合题意； 故，此时，，不符合题意； 故，此时，，符合题意； ∴a的值为3或9．····································9分 22．（9分） 【答案】(1)分式A与分式B是互为“和整分式”， (2) 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算．理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把A与B相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把C与D相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据C与D互为“和整分式”且“和整值”，求出多项式G． 【详解】（1）解：， ∴分式A与分式B是互为“和整分式”， “和整值”；····································4分 （2）解：①分式，， C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ，····································6分 两边都乘以得，， ∴ ····································9分． 23．（11分） 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真；····································2分 （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或；····································6分 （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为．····································11分 24．（12分） 【答案】(1)> (2) (3)小王的加油方式平均单价更低 【分析】本题考查了分式的减法及利用作差法比较两个分式的大小． （1）由可得． （2）先将化简，再求出，将结果化简成最简分式，再判断结果的符号，即可比较A与的大小； （3）先分别用代数式表示出小王和小张平均每次加油的单价，再利用作差法比较大小即可． 熟练掌握异分母分式的相加减，并且能正确的列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴． 故答案为：>····································3分 （2）， ， ， ， ， ， ．····································6分 （3）小王的平均单价为： ， 设油箱的容积为V，则小张的平均单价为：， 则 ． ， ， ， ∴小王的加油方式平均单价更低．····································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十二章 分式和分式方程·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若分式有意义，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·河北邯郸·二模）若运算的结果不是分式，则“（   ）”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 7．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？马的速度为多少？下列说法错误的是（ ） A．设规定的时间为x天，所列方程为B．设慢马的速度为y里/天，所列方程为 C．快马用了4天送达 D．慢马用了8天送达 9．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 11．（24-25八年级上·河北唐山·期中）对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若分式的值为零，则x的值等于 ． 14．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要 小时．（用含的代数式表示） 15．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2025·河北石家庄·模拟预测）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． 先化简，再求值． ，其中 解：原式① ． (1)正确化简___________ (2)求图中被污染的的值． 18．（8分）（24-25八年级上·河北保定·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉嘉家和淇淇家分别在点，处，学校在点处，，．嘉嘉和淇淇同时从自家出发匀速去学校，嘉嘉比淇淇的速度快． (1)若，结果二人同时到达学校，求二人的速度； (2)设淇淇的速度为，则嘉嘉和淇淇谁先到学校？ 20．（8分）（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 21．（9分）（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 22．（9分）（2025九年级下·河北·专题练习）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G． 23．（11分）（24-25八年级上·河北保定·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 24．（12分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 (1)例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十二章 分式和分式方程·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若分式有意义，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·河北邯郸·二模）若运算的结果不是分式，则“（   ）”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 7．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？马的速度为多少？下列说法错误的是（ ） A．设规定的时间为x天，所列方程为B．设慢马的速度为y里/天，所列方程为 C．快马用了4天送达 D．慢马用了8天送达 9．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 11．（24-25八年级上·河北唐山·期中）对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若分式的值为零，则x的值等于 ． 14．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要 小时．（用含的代数式表示） 15．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2025·河北石家庄·模拟预测）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． 先化简，再求值． ，其中 解：原式① ． (1)正确化简___________ (2)求图中被污染的的值． 18．（8分）（24-25八年级上·河北保定·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉嘉家和淇淇家分别在点，处，学校在点处，，．嘉嘉和淇淇同时从自家出发匀速去学校，嘉嘉比淇淇的速度快． (1)若，结果二人同时到达学校，求二人的速度； (2)设淇淇的速度为，则嘉嘉和淇淇谁先到学校？ 20．（8分）（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 21．（9分）（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 22．（9分）（2025九年级下·河北·专题练习）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G． 23．（11分）（24-25八年级上·河北保定·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 24．（12分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 (1)例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十二章 分式和分式方程·基础通关 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断．本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【详解】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式2，不属于最简分式，故A选项不符合题意； B、该分式的分子、分母中不含有公因数，则该分式是最简分式，故B选项符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，故C选项不符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若分式有意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期末）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为，宽为， 根据题意，得， 故选：C 4．（2024·河北邯郸·二模）若运算的结果不是分式，则“（   ）”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．本题根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案． 【详解】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（ ）”内的式子一定是含的单项式， ∴只有A选项符合题意． 故选：A． 5．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 6．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变． 【详解】解：分式中的与都扩大2倍，得 ， 故选：B． 7．（2025·河北邯郸·二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解决本题的关键． 由题意列出盖住部分的代数式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选C． 8．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？马的速度为多少？下列说法错误的是（ ） A．设规定的时间为x天，所列方程为 B．设慢马的速度为y里/天，所列方程为 C．快马用了4天送达 D．慢马用了8天送达 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程．设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，根据速度关系列分式方程得，；设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为2y里/天，根据时间关系列分式方程得，；求解方程，然后进行判断作答即可． 【详解】解：依题意得，；选项A正确，故不符合题意； 解得：， 经检验，是原方程的解， 则快马用了天送达，慢马用了天送达， 选项C，选项D正确，故不符合题意； 设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为2y里/天， 依题意得，选项B错误，故符合题意； 故选： 9．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得出正确结论，即可判断． 【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误； ②，嘉淇同学解法错误； ③ ，嘉淇同学解法正确； 则嘉淇同学做对的有1个， 故选：B． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识即可求解； 本题需要将分式方程解得，根据解是非负数且不能使原分式方程的分母为0，进行作答，即可求解； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， ∵ 关于x的分式方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∵解 不能使分母为零， ∴，即， 解得：， 综上所述：且， 故选：C． 11．（24-25八年级上·河北唐山·期中）对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程．理解题意，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 由题意知，当时，，即，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 综上所述，或， 故选：C． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解． 【详解】∵ ∴ ∴上述方程有解及 即及 所以原方程的解为， 故选：D 【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若分式的值为零，则x的值等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要 小时．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，理解题意，根据题意列出分式，是解题的关键．根据时间总数工作效率，列出分式即可． 【详解】解：按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要的时间为： ． 故答案为：． 15．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简与整数条件的应用，将分式化简后，分析分式结果为整数的条件是解题的关键．先将原式进行化简，结果为，要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）． 【详解】解：由， 要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）， a可以为3或1或分数形式（为非零整数），答案不唯一， 故答案为：1（答案不唯一）． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键． 先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量即可． 【详解】解：由题意得： “丰收1号”的面积为； “丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为； “丰收2号”的单位面积产量为 因此，所求的倍数为 故答案为：， ，． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2025·河北石家庄·模拟预测）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． 先化简，再求值． ，其中 解：原式① ． (1)正确化简___________ (2)求图中被污染的的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程等知识，正确进行计算是解题的关键； （1）先通分化简，再把分子相减即可． （2）由题意得分式方程，解分式方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：由题意得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解． 即被污染的x的值为5． 18．（8分）（24-25八年级上·河北保定·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式以及平方差公式的运用，熟练掌握分式的运算法则是关键．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，嘉嘉家和淇淇家分别在点，处，学校在点处，，．嘉嘉和淇淇同时从自家出发匀速去学校，嘉嘉比淇淇的速度快． (1)若，结果二人同时到达学校，求二人的速度； (2)设淇淇的速度为，则嘉嘉和淇淇谁先到学校？ 【答案】(1)淇淇的速度为，嘉嘉的速度为 (2)淇淇先到学校 【分析】本题考查分式方程的应用，分式的加减的应用，熟练根据题意找到等量关系并列式是解题的关键． （1）设淇淇的速度为，则嘉嘉的速度为，利用二人同时到达学校进行列式求解，并验根，即可解答； （2）分别列出嘉嘉到达学校需，淇淇到达学校需，再利用分式的减法比较大小即可． 【详解】（1）解：当时，嘉嘉比淇淇的速度快， 设淇淇的速度为，则嘉嘉的速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：淇淇的速度为，嘉嘉的速度为； （2）解：∵淇淇的速度为，嘉嘉比淇淇的速度快， ∴嘉嘉的速度为， ∴嘉嘉到达学校需，淇淇到达学校需， ∵， ∴， 所以淇淇先到学校． 20．（8分）（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算； （1）由已知等式总结归纳可得； （2）先计算等式的右边括号内分式的减法运算，再乘以，再结合运算结果可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得：（n为正整数）； （2）证明： ∴这个结论是正确的． 21．（9分）（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” (1)设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； (2)在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)学习委员说得对，见解析 (2)3或9 【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，根据买到相同数量的笔记本建立方程求出其解就可以得出结论； （2）设每本软面笔记本m元（的整数），则每本硬面笔记本元，根据能买到相同数量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立方程是关键． 【详解】（1）解：设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元， 根据题意，得， 解得． 此时，不是整数，所以学习委员说得对． （2）解：存在； 设每本软面笔记本m元（是整数），则每本硬面笔记本元， 根据题意，得． 解得． ∵a为正整数， ∴， 故，此时，，符合题意； 故，此时，，不符合题意； 故，此时，，符合题意； ∴a的值为3或9． 22．（9分）（2025九年级下·河北·专题练习）如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”，如分式，，．则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G． 【答案】(1)分式A与分式B是互为“和整分式”， (2) 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算．理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把A与B相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把C与D相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据C与D互为“和整分式”且“和整值”，求出多项式G． 【详解】（1）解：， ∴分式A与分式B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）解：①分式，， C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， 两边都乘以得，， ∴ ． 23．（11分）（24-25八年级上·河北保定·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 24．（12分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】 (1)例如：若，要比较、大小，只需要用， 所以可得：______（填>，=，<）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，利用做差法说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（）． ①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【答案】(1)> (2) (3)小王的加油方式平均单价更低 【分析】本题考查了分式的减法及利用作差法比较两个分式的大小． （1）由可得． （2）先将化简，再求出，将结果化简成最简分式，再判断结果的符号，即可比较A与的大小； （3）先分别用代数式表示出小王和小张平均每次加油的单价，再利用作差法比较大小即可． 熟练掌握异分母分式的相加减，并且能正确的列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴． 故答案为：> （2）， ， ， ， ， ， ． （3）小王的平均单价为： ， 设油箱的容积为V，则小张的平均单价为：， 则 ． ， ， ， ∴小王的加油方式平均单价更低． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$