精品解析：四川省成都市金牛区2024-2025年七年级下期末数学试题

2024－2025学年度（下）期末教学质量测评 七年级数学（样题） 注意事项： 1．全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在答题卷规定的地方、考试结束、监考人员只将答题卷收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分也必须使用黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卷上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列为成都2025年世界运动会相关会徽与图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它含有大量的有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．0.0000025用科学记数法可表示为（ ） A. 2.5×10-5 B. 0.25×10-6 C. 2.5×10-6 D. 25×10-5 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副直角三角板如图摆放，点落在边上，、则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 清明时节雨纷纷 B. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6 C. 画一个三角形，其内角和为 D. 从地面向上踢出的足球会落下 7. 如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知，，则的值是______． 10. 一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为______． 11. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 12. 如图，在 中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则的长为_____． 13. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为______． 三、解答题（共48分） 14. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中，． 15. 学习完概率知识后，某班的数学兴趣小组利用班会时间组织了一场“积分抽奖”活动．在不透明的抽奖箱中装有若干个写着获奖等级的质地均匀小球，分别是1个“一等奖”、3个“二等奖”、5个“三等奖”．同学们用自己的操行分，每10分获得摸一个球的机会（每人最多兑换5个球），每位同学一次性用完兑换的摸球次数（如甲同学用30分兑换摸3个球的机会，则1次性摸出3个球），记下获奖等级后将摸出的小球放回并摇匀．回答下列问题： （1）小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率； （2）兴趣小组往箱子里再次放入个“感谢参与”的小球，小红同学想用20分的操行分参与活动，若她获奖为必然事件，求的值． 16. 星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该情境中的自变量和因变量分别是______，______； （2）游泳馆距离小刚家______米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了______米； （3）为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑）； （2）求的面积． 18. 已知，于点，平分，交于点． （1）如图1，若，，则______； （2）如图2，点为上一点，连接，，，求的长； （3）如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由． B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若，，则______． 20. 一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，则这个角的度数为______． 21. 已知，，则______． 22. 如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是______． 23. 如图，在等腰中，，于点，是上一动点，是射线上一点，且，．当取得最小值时，______．（用含的代数式表示） 二、解答题（共30分） 24. 如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为． （1）请写出关于的关系式； （2）当的面积为4时，求点的运动时间． 25. 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）如图，一个边长为的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为______； （2）已知，，求的值； （3）如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形内作长方形，在长方形外作等腰直角和等腰直角，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积之和． 26. 已知，为等腰三角形，，点是边上一点（不与端点重合），作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点． （1）如图，求证：； （2）如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：； （3）如图，若，点是射线上一点（不与点，重合），其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．（注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度（下）期末教学质量测评 七年级数学（样题） 注意事项： 1．全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在答题卷规定的地方、考试结束、监考人员只将答题卷收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分也必须使用黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卷上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列为成都2025年世界运动会相关会徽与图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】根据轴对称图形得定义，不是轴对称图形，D是轴对称图形． 故选：D． 2. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它含有大量的有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．0.0000025用科学记数法可表示为（ ） A. 2.5×10-5 B. 0.25×10-6 C. 2.5×10-6 D. 25×10-5 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：科学记数法是指a×，且1≤＜10，小数点向右移动几位，则n的相反数就是几． 考点：科学记数法． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题的关键是掌握幂的运算法则和合并同类项的法则． 根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及合并同类项的法则，对每个选项进行计算判断． 【详解】A、是幂的乘方，应满足底数不变、指数相乘，即，但选项结果为，错误； B、中的和不是同类项，无法合并为，错误； C、是积的乘方，需将系数和字母分别乘方，即，但选项结果为，错误； D、是同底数幂相乘，应满足底数不变、指数相加，即，与选项结果一致，正确． 故选：D． 4. 如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、，添加时，根据“”不能判定，故选项A符合题意； B、，添加时，根据“”判定，故选项B不符合题意； C、如图，∵，添加时，，得到，根据＂＂判定，故选项C不符合题意； D、，添加时，根据＂＂判定，故选项D不符合题意． 故选：A． 5. 如图，将一副直角三角板如图摆放，点落在边上，、则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数． 先根据平行线的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：如图， 根据题意得，， ， ， ． 故选：B． 6. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 清明时节雨纷纷 B. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6 C. 画一个三角形，其内角和为 D. 从地面向上踢出的足球会落下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件和不可能事件的概念，解题的关键是理解这些概念的定义． 根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义，对每个选项进行分析判断． 【详解】A、清明时节雨纷纷，是随机事件，符合题意； B、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6，是不可能事件，不符合题意； C、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，不符合题意； D、从地面向上踢出的足球会落下，是必然事件，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得到． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 故选：A． 8. 在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案． 【详解】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，根据，代入即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10. 一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理． 根据三角形三边关系定理列出不等式，求出第三边的取值范围，再根据边长为整数确定最大值． 【详解】解：设三角形的第三边长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ∵三角形的三边长均为整数， ∴第三边长度的最大值为8． 故答案为：8． 11. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟知不含某项，某项的系数为零是解题的关键． 先将多项式乘以多项式计算出来，由于不含的一次项，故乘积中含项的系数为零，计算出的值． 【详解】解： 乘积中含项的系数是， ， ． 故答案为：． 12. 如图，在 中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先根据判定，可得出，从而得出． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，， ∴， 由题意可知，平分， ∴（角平分线的性质定理）， ∵， ∴的面积为， 故答案为：5． 三、解答题（共48分） 14. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）1 （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算以及负指数幂、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是关键． （1）先计算负指数幂、零指数幂和乘方，再计算加减； （2）先计算同底数幂乘法、积的乘方和单项式除单项式，再合并同类项； （3）先根据平方差公式、完全平方公式和多项式除以单项式法则计算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 将，代入可得：原式． 15. 学习完概率知识后，某班的数学兴趣小组利用班会时间组织了一场“积分抽奖”活动．在不透明的抽奖箱中装有若干个写着获奖等级的质地均匀小球，分别是1个“一等奖”、3个“二等奖”、5个“三等奖”．同学们用自己的操行分，每10分获得摸一个球的机会（每人最多兑换5个球），每位同学一次性用完兑换的摸球次数（如甲同学用30分兑换摸3个球的机会，则1次性摸出3个球），记下获奖等级后将摸出的小球放回并摇匀．回答下列问题： （1）小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率； （2）兴趣小组往箱子里再次放入个“感谢参与”的小球，小红同学想用20分的操行分参与活动，若她获奖为必然事件，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查概率问题，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率；掌握概率的计算公式以及准确理解题意是解答本题的关键． （1）利用概率公式列出方程，求得的值即可． （2）当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件； 【小问1详解】 解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个． 小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为 答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为． 【小问2详解】 解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件； 小红用 20 分操行分，可摸 2 个球（每 10 分摸一个球）． 要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量  必须小于 2． 的值为1． 16. 星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）该情境中的自变量和因变量分别是______，______； （2）游泳馆距离小刚家______米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了______米； （3）为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 【答案】（1）时间，离家的距离； （2）2000，4000 （3）14分钟 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，函数的常量与变量，解题的关键是熟练掌握函数的图象，函数的常量与变量的定义． （1）根据函数的定义可得自变量与因变量； （2）从图象获取信息，直接得到游泳馆距家距离为2000米．计算先骑行、折返、再前往游泳馆的路程和，得出总行程4000米． （3）从图象得最初骑行1000米用时4分钟，算出最初速度．求出拿装备后速度，用游泳馆距家距离除以拿装备后速度，得重新出发后用时，加上之前的时间，得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知，小刚骑车的时间自己变，带动离家距离变化， 所以自变量是时间，因变量是离家的距离． 故答案为：时间，离家的距离； 【小问2详解】 由图象可知，游泳馆距离小刚家米． 行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米． 故答案为：2000；4000 【小问3详解】 解：由图象可知： 最初速度：（米/分钟）， ∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆， ∴拿装备后速度为（米/分钟）． ∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）． ∴（分钟）． 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑）； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）3 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为． 18. 已知，于点，平分，交于点． （1）如图1，若，，则______； （2）如图2，点为上一点，连接，，，求的长； （3）如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）5 （3） ，理由如下∶ 在上截取，连接，如图所示∶ ， ， 即， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用角平分线构造全等条件，通过作辅助线创造全等三角形，借助全等实现角和线段关系的转化推导． （1）依据角平分线定义得，结合、，用证，由全等性质得，代入求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证，得． （3）截，用证，得，再用证，推导． 【小问1详解】 解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示∶ ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ； 【小问3详解】 略 B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了指数的运算性质。根据题意分别求出、的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 20. 一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，则这个角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，解一元一次方程． 设这个角的度数为x，由题意可得：，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意可得：， 解得：， ∴这个角的度数为． 故答案为：． 21. 已知，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式． 将代入得，求出，，求出． 【详解】解：将代入得： ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 22. 如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质以及平行的性质，解题的关键是通过取中点构造辅助线． 取的中点，连接，，利用直角三角形斜边中线定理等腰三角形的性质以及平行的性质求解角度． 【详解】取的中点，连接，， ， ∵是中线，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在等腰中，，于点，是上一动点，是射线上一点，且，．当取得最小值时，______．（用含的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及轴对称-最短路径问题，合理构造全等三角形是本题解题的关键．作，且，连接，，根据和全等，将转化为，根据两点之间线段最短得出此时E点位置，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作，且，连接，，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴当G，E，C共线时，最小， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 二、解答题（共30分） 24. 如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为． （1）请写出关于的关系式； （2）当的面积为4时，求点的运动时间． 【答案】（1） （2）秒或6秒． 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键． （1）根据三角形面积公式，分别计算当点P在上、在上时S关于t的关系式即可； （2）当时，求出对应t的值即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点D． ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴S关于t的关系式为． 【小问2详解】 解：当时， 解得， 当时， 解得， ∴当的面积为4时，点P的运动时间t为秒或6秒． 25. 一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）如图，一个边长为的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为______； （2）已知，，求的值； （3）如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形内作长方形，在长方形外作等腰直角和等腰直角，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1）； （2）； （3）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答题的关键. （）用两种方法，分别用代数式表示图中阴影部分的面积即可； （）根据（）的结论代入计算即可； （）由题意得，，根据长方形的面积为可得，可设设，，则，，根据 代入计算即可． 【小问1详解】 解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，图中阴影部分也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即， 所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， ∵长方形的面积为， ∴， 设，，则，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 26. 已知，为等腰三角形，，点是边上一点（不与端点重合），作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点． （1）如图，求证：； （2）如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：； （3）如图，若，点是射线上一点（不与点，重合），其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．（注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形） 【答案】（1） 证明：由对称的性质可知 又∵， ∴， ∴； （2） 证明: 连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， 由对称的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） ，理由如下： 当在线段上时，设交于，连接，如图， 由对称的性质可知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在延长线上时，设交于，如图： 同理可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 综上所述，． 【解析】 【分析】（）根据对称的性质以及等腰三角形的性质求证即可； （）连接，由为等边三角形，得，，通过对称的性质可知，，然后证明，则，再证明为等边三角形，所以，最后证明，通过全等三角形性质即可； （）根据所在位置分类讨论，当在线段上时，当在延长线上时，利用三角形全等和等腰直角三角形的性质得出结论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $