第13讲 正弦型函数的图像与性质-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第13讲 正弦型函数的图像与性质 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握正余弦型函数的相关性质 2．根据图像求正余弦型函数参数的值 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f ＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 用“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的. 3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，左右平移的量是|φ|个单位长度，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，左右平移的量是个单位长度． 4．明确以下两个关系 (1)函数的周期与图象的对称性之间的关系． ①正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期． ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期． (2)对称轴(对称中心)与函数值的关系． 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f (x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f (x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f (x0)＝0，g(x0)＝0. 考点1　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象如图，则函数的解析式为(　　) A．y＝2sin＋1 B．y＝2sin＋1 C．y＝2sin＋1 D．y＝2sin＋1 2．已知函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f (x)的部分图象如图，则f ＝(　　) A．2＋　　 B． 　　 C．　　 D．2－ 3．函数f (x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f (x)的单调递减区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 考点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 例1．将函数f (x)＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 变式：本例条件不变，将函数f (x)的图象平移后所得图象再向右平移θ(θ＞0)个单位长度，可得函数g(x)的图象．若y＝g(x)的图象关于y轴对称，则θ的最小值为 ． 练习1．已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝cos ωx的图象，则φ＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 2．已知函数f (x)＝sin.给出下列结论： ①f (x)的最小正周期为2π； ②f 是f (x)的最大值； ③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f (x)的图象． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．①　　 B．①③　　 C．②③　　 D．①②③ 3．若ω＞0，将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为 ． 考点3　三角函数模型及其应用 例2．某港口某天0时至24时的水深y(单位：米)随时间x(单位：时)的变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin＋3.24(ω>0)．若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为(　　) A．16时　　 B．17时　　 C．18时　　 D．19时 变式1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低为5 000元，则7月份的出厂价格为 元． 变式2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为 ℃． 变式3．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子的半径为3 m，它以1 rad/s的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H(单位：m)，轮子旋转时间为t(单位：s)．当t＝0时，点P在轮子的最高点处. (1)当点P第一次入水时，t＝ ； (2)当t＝t0时，函数H(t)的瞬时变化率取得最大值，则t0的最小值是 ． 考点4　三角函数图象与性质的综合问题 例3．已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．若f (0)＝，且·＝－8，B，C分别为最高点与最低点． (1)求函数f (x)的单调递增区间； (2)若将f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值． 练习1．函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f (x)，已知f (x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于直线x＝对称 B．f (x)在(0,2π)上只有3个极大值点，f (x)在(0,2π)上只有2个极小值点 C．f (x)在(0,2π)上单调递增 D．ω的取值范围是 2．已知函数f (x)＝2sincos－sin(x＋π)． (1)求f (x)的最小正周期； (2)若将f (x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值． 多解探究： 将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　) A． B． C． D． 变式：将函数f (x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f (x)在的最大值为(　　) A．0 B． C． D．1 1．为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．函数f (x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f 的值是(　　) A．－ B． C．1 D． 3．已知函数f (x)＝2cos2(ω>0)的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为(　　) A． B． C． D． 4．函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f (x)的单调递增区间为(　　) A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z) B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z) C．[－1＋4k,1＋4k](k∈Z) D．[－3＋8k,1＋8k](k∈Z) 5．(多选题)已知函数f (x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x，x∈R，则(　　) A．－2≤f (x)≤2 B．f (x)在区间(0，π)上只有1个零点 C．f (x)的最小正周期为π D．直线x＝为函数f (x)图象的一条对称轴 6．某艺术展览馆在开馆时间段(9：00－16：00)的参观人数(单位：千人)随时间t(单位：时)的变化近似满足函数关系f (t)＝Asin ＋5(A>0,9≤t≤16)，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为(　　) A．1万 B．9千 C．8千 D．7千 7．函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A，B两点间的距离为5，则ω＝ ，φ＝ ． 8．若函数f (x)＝cos ωx－sin ωx(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f (x)在内的值域为 ． 9．已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数f (x)的解析式，并写出函数图象的对称中心； (2)若方程f (x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围． 1．设函数f (x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如图，则f (x)的最小正周期为(　　) A． B． C． D． 2．水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心(即圆心)距水面1.5米．若以水面为x轴，圆心到水面的垂线为y轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点A处开始计时，经过t秒后转到P点的位置，则点P到水面的距离h与时间t的函数关系式为(　　) A．h＝3sin＋1.5 B．h＝1.5cos＋3 C．h＝3cos＋1.5 D．h＝1.5sin＋3 3．(多选题)设函数f (x)＝sin(ω>0)．已知f (x)在[0，π]内有且仅有3个零点，下列结论正确的是(　　) A．在(0，π)上存在x1，x2，满足f (x1)－f (x2)＝2 B．f (x)在(0，π)上有且仅有1个最小值 C．f (x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 4．(多选题)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)|sin x－cos x|，下列说法正确的是(　　) A．f (x)是周期函数 B．f (x)在区间上单调递增 C．若|f (x1)|＋|f (x2)|＝2，则x1＋x2＝(k∈Z) D．函数g(x)＝f (x)＋1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点 5．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x，则ω＝ ，φ＝ ． 6．已知函数f (x)＝cos xcos． (1)求f (x)的单调递增区间； (2)将函数y＝f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第13讲 正弦型函数的图像与性质 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 1．D　2．B　3．D　 例1．D　变式：　 练习1．D　练习2．B　练习3．　 考点3　三角函数模型及其应用 例2．D　变式1．6 000　变式2．20．5　变式3．π　π　 考点4　三角函数图象与性质的综合问题 例3．解：(1)由f (0)＝，得2sin φ＝，即sin φ＝. 又因为|φ|<，所以φ＝. 由题意知，＝，＝， 则·＝－8＝－8，所以T＝π. 故ω＝2，所以f (x)＝2sin. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)由题意将f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象， 所以g(x)＝f ＝2sin＝2sin. 因为x∈，所以2x＋∈，sin∈. 所以，当2x＋＝，即x＝0时，sin＝，g(x)取得最大值； 当2x＋＝，即x＝时，sin＝－1，g(x)取得最小值－2. 练习1．D　 练习2．解：(1)f (x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝2sin， 于是T＝2π. (2)由已知得g(x)＝f ＝2sin. 因为x∈[0，π]，所以x＋∈， 所以sin∈， 所以g(x)＝2sin∈[－1,2]． 故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 多解探究：B　变式：D　 1．C　2．D　3．A　4．D　5．ACD　6．B　7．　π　8．　 9． 解：(1)由图得A＝2，＝－＝， 所以T＝π，所以ω＝2. 当x＝时，f (x)＝2， 可得2sin＝2， 所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝. 所以f (x)＝2sin. 令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)， 所以函数f (x)图象的对称中心为(k∈Z)． (2)设g(x)＝f (x)＋2cos， 则g(x)＝2sin＋2cos ＝2sin＋2. 令t＝sin，t∈[－1,1]， 记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－4＋. 因为t∈[－1,1]， 所以h(t)∈， 即g(x)∈， 故a∈. 故a的取值范围为. 1．C　2．A　3．AB　4．AC　5．2　－　 6．解：(1)f (x)＝cos xcos＝cos x·＝cos2x＋sin x·cos x＝×＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋＝sin＋. 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 故函数f (x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)由(1)知， f (x)＝sin＋， 所以g(x)＝sin＋. 当－≤x≤时，－≤x＋≤， 所以－≤sin≤1， 所以－≤sin≤， 所以0≤g(x)≤， 故g(x)在上的值域为 . $$